专题22 解三角形（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题22 解三角形（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共49页。试卷主要包含了正弦、余弦、正切的概念，特殊角的三角函数值，同一锐角的三角函数之间的关系，解直角三角形，解直角三角形在实际问题中的应用等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
1．正弦、余弦、正切的概念
如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦 ，即sin A＝eq \f(a,c)；
（2）∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即cs A＝eq \f(b,c)；
（3）∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即tan A＝eq \f(a,b)；
锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数．
2．特殊角的三角函数值
（1）sin 30°＝，cs 30°＝，tan 30°＝
（2）sin 60°＝，cs 60°＝，tan 60°＝
（3）sin 45°＝，cs 45°＝，tan 45°＝1．
3．同一锐角的三角函数之间的关系
（1）；
（2）．
4．解直角三角形
（1）任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
（2）在ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．
①两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°；
②三边满足勾股定理，即a2＋b2＝c2；
③三边与角的关系：
sin A＝cs B＝eq \f(a,c)，cs A＝sin B＝eq \f(b,c)，tan A＝ eq \f(a,b) ，tan B＝eq \f(b,a)．
5．解直角三角形在实际问题中的应用
（1）俯角、仰角
在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
（2）方向角
①方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．
②如图，我们说点A在O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者点B在点O的西南方向．
（3）坡度、坡角
①坡度通常写成1∶tanα的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝eq \f(h,l)．
②一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为1∶．
（4）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型）；
②根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；
③得到数学问题的答案；
④得到实际问题的答案．
吃透考点
1．锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为（∠A可换成∠B）．
对边
邻边
斜边
A
C
B
【注意事项】
（1）sinA、csA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角（注意数形结合，构造直角三角形）．
（2）sinA、csA是一个比值（数值，无单位）．
（3）sinA、csA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关．
2．特殊角的三角函数值
3．直角三角形的边角关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
（2）锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
（3）边角之间的关系：
sin A＝eq \f(a,c)，cs A＝eq \f(b,c)，tan A＝eq \f(a,b)，
sin B＝eq \f(b,c)，cs B＝eq \f(a,c)，tan B＝eq \f(b,a)．
4．解直角三角形的几种类型及解法
（1）已知一条直角边和一个锐角（如a，∠A），
其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝eq \f(a,sin A)，b＝eq \f(a,tan A)（或b＝eq \r(c2－a2)）；
（2）已知斜边和一个锐角（如c，∠A），
其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cs A（或b＝eq \r(c2－a2)）；
（3）已知两直角边a，b，
其解法为：c＝eq \r(a2＋b2)，
由tan A＝eq \f(a,b)，得∠A，∠B＝90°－∠A；
（4）已知斜边和一直角边（如c，a），
其解法为：b＝eq \r(c2－a2)，由sin A＝eq \f(a,c)，求出∠A，∠B＝90°－∠A．
5．解直角三角形的应用
（1）仰角与俯角
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
（2）坡角与坡度
坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比），常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．
考点1 锐角三角函数的定义
【例1】（2023•嘉定区一模）在中，，，，那么的正弦值是
A．B．C．3D．
【答案】
【分析】先在中，利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：在中，，，，
，
，
故选：．
【变式练1】（2023•柳州二模）如图，在中，，，，则等于
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据锐角三角函数的正弦值进行解答即可．
【解答】解：在中，，，，，
故选：．
【变式练2】（2023•南岗区校级模拟）在中，，，，则的值为
A．8B．9C．10D．12
【答案】
【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．
【解答】解：，
设，，
，
，
解得，
．
故选：．
【变式练3】（2023•南岗区校级模拟）如图，在中，，，，则的值为
A．B．C．D．3
【分析】首先根据勾股定理求得的长，然后根据余弦函数的定义即可求解．
【解答】解：在直角中，，
则．
故选：．
【变式练4】（2023•越秀区校级二模）在中，，，，则等于
A．25B．12C．9D．16
【答案】
【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出，再利用勾股定理得结论．
【解答】解：在中，
故选：．
【变式练5】（2023•荔湾区一模）在中，，，则的值是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先利用勾股定理得到，然后根据余弦的定义求解．
【解答】解：在中，
，，
，
．
故选：．
考点2 锐角三角函数的增减性
【例2】（2017•河西区模拟）在中，，当的度数不断增大时，的值的变化情况是
A．不断变大B．不断减小C．不变D．不能确定
【分析】当角度在间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；依此即可求解．
【解答】解：在中，，当的度数不断增大时，的值的变化情况是不断减小．
故选：．
【变式练1】（2013•永州校级模拟）已知，那么锐角的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】首先根据正余弦的转换方法，得：，
又，即，
再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【解答】解：，
．
又正弦值随着角的增大而增大，
得，
．
又是锐角，则的取值范围是度．
故选：．
【变式练2】（2014•杭州模拟） （填大小关系）
【分析】锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．
【解答】解：余弦值随着角的增大而减小，
，
故答案为：．
【变式练3】（2013•遂宁模拟）已知，则锐角的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分别求出，，，，得出，根据正切值随角度的增大而增大即可得出答案．
【解答】解：，，，
又，
，
锐角的正切值随角度的增大而增大，
，
故选：．
【变式练4】（2013•沈阳模拟）已知为锐角，且，那么的范围是 ．
【分析】首先明确，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析．
【解答】解：，余弦函数值随角增大而减小，
当时，．
又是锐角，
．
故答案为：．
【变式练5】（2012•杭州模拟）已知是中最小的内角，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】在三角形中，最小的内角应不大于60度，找到相应的正弦值即可，再根据和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【解答】解：根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于．
根据题意，知：
．
又，
．
故选：．
考点3 同角三角函数的关系
【例3】（2023•泉港区模拟）已知是锐角的内角，，则的值是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据，进行计算即可解答．
【解答】解：，，
，
，
或（舍去），
故选：．
【变式练1】（2023•汝阳县一模）在中，，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先利用平方公式求出的值，然后利用求解．
【解答】解：，；
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•松原一模）在中，，，则 ．
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长， 再根据勾股定理求出另一直角边的长， 运用三角函数的定义解答 ．
【解答】解： 由知， 可设，则，．
．
故答案为：．
【变式练3】（2022•内黄县模拟）在中，，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意设，，然后利用勾股定理求出，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：在中，，，
，
设，，
，
，
故选：．
【变式练4】（2022•东海县一模）已知，则 ．
【答案】．
【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．
【解答】解：如图，由于，可设，则，由勾股定理得，
，
，
故答案为：．
【变式练5】（2023•钟楼区校级模拟）在中，，，则等于
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据求出第三边长的表达式，求出即可．
【解答】解：如图：
设，
，
，，
．
故选：．
考点4 互余两角三角函数的关系
【例4】（2023•杭州一模）在中，，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由锐角的正弦、正切定义即可计算．
【解答】解：，，
令，则，
，
．
故选：．
【变式练1】（2023•呈贡区校级三模）在中，，，则 ．
【答案】．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可得出答案．
【解答】解：在中，，，
．
故答案为：．
【变式练2】（2023•娄星区校级一模）在中，，若，则 ．
【答案】．
【分析】利用锐角三角函数的定义得出互余两角三角函数之间的关系，进而得出答案．
【解答】解：在直角中，，
，
所以，
故答案为：．
【变式练3】（2023•新邵县校级一模）已知中，，，则 ．
【答案】．
【分析】根据三角函数值的定义以及勾股定理的定义解决此题．
【解答】解：如图．
，，
设，则．
．
．
故答案为：．
【变式练4】（2023•红谷滩区校级一模）在中，，且，则的值为 ．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．
【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
在中，，，
设，，则，
．
故答案为．
解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．
又，
．
又，
．
、互为余角，
．
故答案为．
【变式练5】（2023•常州模拟）如图，中，，则 ．
【答案】．
【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．
【解答】解：，即，
，
或（舍去），
．
故答案为：．
考点5 特殊角的三角函数值
【例5】（2023•红桥区二模）的值等于
A．B．C．1D．
【答案】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【变式练1】（2023•河西区模拟）计算的结果为
A．B．1C．D．
【答案】
【分析】利用30度的余弦值为进行计算．
【解答】解：，
．
故选：．
【变式练2】（2023•兴宁市二模）已知实数，，，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分别求出各三角函数的值，然后比较他们的大小即可．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【变式练3】（2023•肃州区三模）的相反数
A．B．C．D．
【答案】
【分析】因为，由相反数的定义，即可求出的相反数．
【解答】解：，
的相反数是．
故选：．
【变式练4】（2023•偃师市模拟）计算的值等于
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求出答案．
【解答】解：
故选：．
【变式练5】（2023•西青区一模）的值等于
A．B．1C．D．
【答案】
【分析】由角的正切值，即可得到答案．
【解答】解：．
故选：．
考点6 计算器—三角函数
【例6】（2022•越秀区校级二模）在中，，，．下列四个选项，正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义求值即可得出答案．
【解答】解：如图，，，，
，
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2020•张店区二模）如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据计算器功能确定顺序．
【解答】解：根据计算器功能键，正确的顺序应该是．
故选：．
【变式练2】（2020•龙口市模拟）已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】已知，一般先按键“”，再按键“”，输入“0.56”，再按键“”即可得到结果．
【解答】解：已知，用计算器求锐角的大小，按键顺序“”，“ ”，“0.56”，“ ”．
故选：．
【变式练3】（2020•文登区模拟）如图，为方便行人推车过天桥，市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】先利用正弦的定义得到，然后利用计算器求锐角．
【解答】解：，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，
按键顺序为
故选：．
【变式练4】（2022•东营区校级模拟）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据正切函数的定义，可得，根据计算器的应用，可得答案．
【解答】解：由，得
．
故选：．
【变式练5】（2019•张店区一模）如图，中，，，，若用科学计算器求的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正切函数的定义，可得，根据计算器的应用，可得答案．
【解答】解：由，得
．
故选：．
考点7 解直角三角形
【例7】（2023•海港区一模）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上，则的值是
A．B．C．2D．
【答案】
【分析】连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：如图：连接，
由题意得：
，
，
，
，
是直角三角形，
，
在中，，，
，
故选：．
【变式练1】（2023•巧家县校级三模）如图，是的高，若，，则边的长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由于，从而可知，，由勾股定理可知：即可求出答案．
【解答】解：，
，
，
，，
，
由勾股定理可知：，
，
故选：．
【变式练2】（2023•萧县三模）如图，在中，，，，则的长为
A．3B．C．D．4
【答案】
【分析】过作，交延长线于，由锐角的正弦求出，由勾股定理即可解决问题．
【解答】解：过作，交延长线于，
，，
，
，
，
．
故选：．
【变式练3】（2023•京口区校级一模）如图，在中，，．分别以点，为圆心，以2和3为半径作弧，两弧交于点（点在的左侧），连接，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】作，且，连接，，，证明，求出，再根据三角形三边关系，当、、在同一直线上时取最大值，进而可以解决问题．
【解答】解：，则，
设，，
由，可得，则，
作，且，
连接，，，
由可知，，
，即，
，
，即，
则：，
，
，
，即：，
，
，
，
，
，
由题意可知，，当、、在同一直线上时取等号，
即：的最大值为：，
故选：．
【变式练4】（2023•南关区四模）如图，在中，，，，则点到的距离为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过点作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点到的距离．
【解答】解：过点作，垂足为，
在中，，，，
，
在中，，
，
点到的距离为．
故选：．
【变式练5】（2023•中山市模拟）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值是
A．B．1C．D．
【答案】
【分析】首先构造以为锐角的直角三角形，然后利用正切函数的定义即可求解．
【解答】解：如图，连接．
，，，
，
，
．
故选：．
考点8 解直角三角形的应用
【例8】（2023•绿园区校级模拟）如图，电线杆的高度为3米，两根拉线与相互垂直，、、在同一条线上，，则拉线的长度为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】证明出，在中，求出即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：．
【变式练1】（2023•长春模拟）如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下处乘缆车上山顶处，缆车索道与水平线所成的，若山的高度米，则缆车索道的长为
A．米B．米C．米D．米
【答案】
【分析】利用直角三角形的边角关系定理列出关系式即可得出结论．
【解答】解：在中，
，，
．
，米，
（米．
故选：．
【变式练2】（2023•平阳县校级三模）如图楼梯示意图，，，米，则楼梯的高度是
A．米B．米C．米D．米
【答案】
【分析】通过解直角三角形可求解的长．
【解答】解：，
，
在中，，米，
米，
故选：．
【变式练3】（2023•江夏区校级模拟）如图，在四边形材料中，，，，，现用此材料截出一个面积最大的园形模板，则此圆的半径为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】当，，相切于于点，，时，的面积最大．连接，，，，，过点作于点，过点作于点，利用勾股定理法构建方程求解即可．
【解答】解：如图，当，，相切于于点，，时，的面积最大，连接，，，，，过点作于点，过点作于点，
，
，，
，，，
，，相切于于点，，，
，，，
，
，
，，，
，，，
四边形是矩形，
，
设，
则有，即，
，
故选：．
【变式练4】（2023•南关区校级四模）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，则点到的距离为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，过点作于点，
在中，
，
，
即点到的距离为，
故选：．
【变式练5】（2023•双柏县模拟）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是6米．若梯子与地面的夹角为，则梯子底端到墙面的距离的长为 米．
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：，
在中，，米，
（米，
梯子底端到墙面的距离的长为米，
故选：．
考点9 解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【例9】（2023•夹江县模拟）如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为的斜坡向上移动了10米．此时滑块上升的高度是 （单位：米）
A．B．C．D．10
【答案】
【分析】利用坡度关系知道铅直高度于水平宽度之比，再利用勾股定理列方程求出铅直高度的值即可．本题也可先求出的正弦，再求铅直高度．
【解答】解：如图，设，过点作于点，
由，得，
，
在中，
，
，
解得，
滑块上升的高度为：．
故选：．
【变式练1】（2023•温州模拟）在种植树木时，负责人员要求株距（相邻两树间的水平距离）为．如图，若在坡比为的山坡上种树，那么相邻两树间的坡面距离为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过点作，交的延长线于点，根据已知可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点作，交的延长线于点，
斜坡的坡比为，
，
，
，
在中，，
相邻两树间的坡面距离为，
故选：．
【变式练2】（2023•大同二模）在滑轮的牵引下，一个滑块沿坡角为的斜坡向上移动了，此时滑块上升的高度是 （单位：
A．15B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
【解答】解：如图，过点作于点，
由题意可得：，
则．
故选：．
【变式练3】（2023•玉州区模拟）如图，一个供轮椅行走的斜坡通道的长为6米，斜坡角，则斜坡的垂直高度的长可以表示为
A．米B．米C．米D．米
【答案】
【分析】在中，利用正弦的定义即可求解．
【解答】解：在中，，，，
．
故选：．
【变式练4】（2023•浦江县模拟）一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，．已知木箱高，斜面坡角为度，则木箱端点距地面的高度
A．（米B．（米
C．（米D．（米
【答案】
【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，分别在和中求出和，再利用线段的和即可解决问题．
【解答】解：过点作于点，过点作交的延长线于点，
则点距地面的高度就是的长，
由题意，知度，
在中，
，，
，
在中，
，，
，
，
故选：．
【变式练5】（2023•郧阳区模拟）如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式．已知商场的层高为，为，改造后扶梯的坡比是，则改造后扶梯相比改造前增加的长度是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】在中，利用三角函数可得，再根据坡比的定义以及勾股定理可求得，进而可得出答案．
【解答】解：在中，，，
，
解得，
改造后扶梯的坡比是，
，
解得，
，
．
故选：．
考点10 解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【例10】（2023•昆明模拟）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点处测得树的顶端仰角为，同时测得米，则树的高（单位：米）为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】通过解直角可以求得的长度．
【解答】解：如图，在直角中，，，，
，
则．
故选：．
【变式练1】（2023•二道区校级模拟）如图所示，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：，
在中，，
，
在中，，
，
，
这栋楼的高度为，
故选：．
【变式练2】（2023•蕉城区校级三模）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AL为（ ）km．
A．6sin43°B．6cs43°C．D．6tan43°
【答案】D
【分析】根据正切的定义即可求解．
【解答】解：在Rt△ALR中，RL＝6，∠ARL＝43°，
∴tanR＝，
∴AL＝LR•tanR＝6•tan43°（km）．
故选：D．
【变式练3】（2023•长春模拟）如图，距离地面高米的处，用测倾仪测得树顶端点的仰角为，测得树底端点的俯角为，则树的高为 米．
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，
在中，，
（米，
在中，，
（米，
米，
故选：．
【变式练4】（2023•丹江口市模拟）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为．则自动扶梯的垂直高度约为 （保留一位小数）
A．3.9B．3.7C．3.5D．3.3
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得到，再根据三角函数的定义即可解答．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【变式练5】（2023•宁乡市模拟）如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面处测得标志物的仰角为，若到电线杆底部的距离为12米，则电线杆的长为
A．8米B．米C．米D．米
【答案】
【分析】根据题意可得：，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的中点定义即可解答．
【解答】解：由题意得：，米，
在中，，
（米，
点是的中点，
（米，
电线杆的长为米，
故选：．
考点11 解直角三角形的应用-方向角问题
【例11】（2023•顺平县模拟）如图，佳佳在点测得点在北偏东方向上，在点测得点在北偏东方向上，若，则点到的距离为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过点作于点，根据题意得出，再由正弦函数的定义求解即可．
【解答】解；如图，过点作于点，
由题意可得，，
，
，
，
，
．
故选：．
【变式练1】（2023•金东区二模）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于 米．
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，
在中，，米，
（米，
（米，
在中，，
（米，
米，
故选：．
【变式练2】（2023•宛城区一模）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 （参考数据：，，
A．27海里B．50海里C．75海里D．海里
【答案】
【分析】由题意可得，，海里，则，，在中，利用正弦函数求解即可．
【解答】解：如图所示标注字母，
根据题意得，，，海里，
，，
，
在中，，
（海里），
此时与灯塔的距离约为75海里．
故选：．
【变式练3】（2023•集美区模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口和的距离．点，点分别位于测绘点的正北和正西方向．已知测得两定位点和与隧道口和的距离分别为和，测绘点，分别为，的中点，测绘方在测绘点测得点在点的南偏西的方向上，且，则隧道的长约为 （参考数据：，，
A．1600 B．1300 C．980 D．900
【答案】
【分析】先在中，根据三角函数的定义求出，再根据三角形中位线定理求出，即可得的答案．
【解答】解：在中，，，
，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
．
答：隧道的长约为．
故选：．
【变式练4】（2023•桥西区二模）如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，则
A．5海里B．海里C．海里D．海里
【答案】
【分析】过点作于，根据等腰三角形的判定证得，在中，根据三角函数的定义求出，最后根据含30度直角三角形的性质即可求出．
【解答】解：过点作于，
由题意得海里，，，
，
，
海里，
在中，，
（海里），
在中，
，
海里．
故选：．
【变式练5】（2023•梁山县校级模拟）如图，在一次夏令营活动中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东方向走了到达地，然后再沿南偏东方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西方向，则，两地的距离为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过点作，垂足为点，利用，求得，从而得到是等腰直角三角形，设，则，在中，利用三角函数求得；在中，利用三角函数求得，据此解答．
【解答】解：如图，由题意可知，，，，，
，
，
，
，
，
，
过点作，垂足为点，
是等腰直角三角形，
设，则，
在中，
，即，
解得：，
在中，
，即，
，
故选：．定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦
（∠A为锐角）
余弦
（∠A为锐角）
正切
（∠A为锐角）
三角函数
30°
45°
60°
1
方
法
技
巧
点
拨
1．熟记锐角三角函数的概念，可以简记为“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”．
2．三角函数式乘方时，一般将指数写在三角函数符号与角之间，如的平方一般写成．
3．锐角三角函数值取决于角的度数，而不取决于它是怎么样的三角形．
4．锐角三角函数值的增减性：锐角α的正弦sinα值随着∠α的增大而增大；锐角α的余弦csα值随着∠α的增大而减小；锐角α的正切tanα值随着∠α的增大而增大．
5．在直角三角形的五个元素中，如果再知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可求出其余的元素．
6．在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，辅助线是解题关键．
7．利用三角函数解应用题时，首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角，然后再运用三角函数知识解题．