2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试题（三） 解析版

这是一份2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试题（三） 解析版，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)
1.集合{0,1,2}的所有真子集的个数是( )

A.5B.6C.7D.8
2.函数f(x)=lg(x-1)的定义域是( )
A.(2,+∞)B.(1,+∞)
C.[ 1,+∞)D.[2,+∞)
3.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),若a⊥b,则实数x等于( )
A.-1B.1C.-9D.9
4.若函数f(x)=sinx+φ3(0≤φ≤2π)是偶函数,则φ=( )
A.π2B.2π3C.3π2D.5π3
5.已知直线的点斜式方程是y-2=-3(x-1),那么此直线的倾斜角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
6.如图是2019年在某电视节目中七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )
7 9
8 4 4 6 4 7
9 3

A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6D.85,4
7.要得到函数y=cs(2x+1)的图象,只要将函数y=cs 2x的图象( )
A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位
C.向左平移12个单位D.向右平移12个单位
8.下列说法不正确的是( )
A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B.同一平面的两条垂线一定共面
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9.函数y=lgax(a>0,a≠1)的反函数的图象过12,22,则a的值为( )
A.2B.12
C.2或12D.3
10.已知等差数列{an}中,a2=2,a4=6,则前4项的和S4等于( )
A.8B.10C.12D.14
11.某几何体的三视图及其尺寸如图所示,则这个几何体的体积是( )
A.6B.9
C.18D.36
12.已知0A.lg2a>0B.2a-b<12
C.lg2a+lg2b<-2D.2ab+ba<12
13.设x,y满足约束条件x+y-6≤0,x-3y+2≤0,3x-y-2≥0,则z=x-2y的最小值为( )
A.-10B.-6C.-1D.0
14.sin 47°-sin 17°cs 30°cs 17°=( )
A.-32B.-12C.12D.32
15.小李从甲地到乙地的平均速度为a,从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0),他往返甲、乙两地的平均速度为v,则( )
A.v=a+b2B.v=ab
C.ab二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)
16.首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S4= .
17.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面的概率是 .
18.已知函数f(x)=lg2x,x>0,3x,x≤0,则ff14的值是 .
19.锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asin B=b,则角A等于 .
三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)
20.已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.
(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;
(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程;
(3)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.
21.已知四棱锥A-BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥平面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC;
(2)求证:平面ADE⊥平面ACD;
(3)求四棱锥A-BCDE的体积.
22.已知等差数列{an}满足a2+a5=8,a6-a3=3.
(1)求数列{an}的前n项和Sn;
(2)若bn=1Sn+3·2n-2,求数列{bn}的前n项和Tn.
答案：
1.C 【解析】真子集个数为23-1=7,故选C.
2.B 【解析】由题意得,x-1>0,x>1,即函数的定义域是(1,+∞),故选B.
3.B 【解析】a·b=3x-3=0,即x=1,故选B.
4.C 【解析】只需φ3=π2+kπ⇒φ=3kπ+3π2(k∈Z),而φ∈[0,2π],所以φ=3π2,选C.
5.C 【解析】∵k=tan α=-3,∴α=π-π3=2π3.故选C.
6.C 【解析】由茎叶图知,去掉一个最高分93和一个最低分79后,所剩数据为84,84,86,84,87,平均数为84+84+86+84+875=85,方差为15[(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85)2]=85=1.6.故选C.
7.C 【解析】y=cs 2x→y=cs(2x+1)=cs2x+12.故选C.
8.D 【解析】A.一组对边平行且相等就决定了是平行四边形,故A正确;
B.由线面垂直的性质定理知,同一平面的两条垂线互相平行,因而共面,故B正确;
C.由线面垂直的定义知,这些直线都在同一个平面内即直线的垂面,故C正确;
D.由实际例子,如把书本打开,且把书脊垂直放在桌上,则由无数个平面满足题意,故D不正确.故选D.
9.B 【解析】函数y=lgax(a>0,a≠1)的反函数为y=ax,过点12,22,即22=a12,解得a=12,故选B.
10.C 【解析】设等差数列{an}的公差为d,则a4=a2+(4-2)d⇒d=6-22=2,a1=a2-d=2-2=0,所以S4=4(a1+a4)2=2×(0+6)=12.故选C.
11.C 【解析】由题意可知,几何体是以正视图为底面的三棱柱,其底面面积S=12×4×52-42=6,高是3,所以它的体积为V=Sh=18.故选C.
12.C 【解析】由题意知0由0由a+b=1>2ab得ab<14,因此lg2a+lg2b=lg2ab由02ba·ab=2,因此2ba+ab>22=4,D错误.
13.B 【解析】由z=x-2y得y=12x-z2,
作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分),
平移直线y=12x-z2,
由图象可知,当直线y=12x-z2过点B时,直线y=12x-z2的截距最大,此时z最小,
由x+y-6=0,3x-y-2=0解得x=2,y=4,即B(2,4).
代入目标函数z=x-2y,
得z=2-8=-6,
∴目标函数z=x-2y的最小值是-6.故选B.
14.C 【解析】 sin 47°-sin 17°cs 30°cs 17°=sin(30°+17°)-sin 17°cs 30°cs 17°
=sin 30°cs 17°+cs 30°sin 17°-sin 17°cs 30°cs 17°
=sin 30°cs 17°cs 17°=sin 30°=12.故选C.
15.D 【解析】设甲地到乙地的距离为s.
则他往返甲、乙两地的平均速度为v=2ssa+sb=2aba+b,
∵a>b>0,∴2aa+b>1,∴v=2aba+b>b.
v=2aba+b<2ab2ab=ab.∴b16.15 【解析】S4=1-241-2=15.
17.38 【解析】试验结果有:(正正正)(正正反)(正反正)(反正正)(反反正)(反正反)(正反反)(反反反)共8种情况,其中出现一次正面情况有3种,即P=38.
18.19 【解析】f14=lg214=-2,ff14=f(-2)=3-2=19.
19.π6 【解析】因为2asin B=b,由正弦定理有2sin Asin B=sin B.因为△ABC中sin B≠0,从而sin A=12,而A是锐角,故A=π6.
20.【解】(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因直线过点P,C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
(2)当弦AB被点P平分时,l⊥PC,直线l的方程为y-2=-12(x-2),即x+2y-6=0.
(3)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0.
圆心到直线l的距离为12,圆的半径为3,弦AB的长为34.
21.【解】(1)证明:如图所示,取AC中点G,连接FG,BG.
∵F,G分别是AD,AC的中点,
∴FG∥CD,且FG=12DC=1.
∵BE∥CD,∴FG与BE平行且相等,
∴EF∥BG.又∵EF⊄平面ABC,BG⊂平面ABC,
∴EF∥平面ABC.
(2)证明:由题意知△ABC为等边三角形,
∴BG⊥AC.
又∵DC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,
∴DC⊥BG,
∴BG垂直于平面ADC的两条相交直线AC,DC,
∴BG⊥平面ADC.
∵EF∥BG,∴EF⊥平面ADC.
又∵EF⊂平面ADE,
∴平面ADE⊥平面ACD.
(3)连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC.
VABCDE=VEABC+VEACD=13×34×1+13×1×32=34.
22.【解】(1)由a6-a3=3得数列{an}的公差d=a6-a33=1,
由a2+a5=8,得2a1+5d=8,
解得a1=32,
∴Sn=na1+n(n-1)2d=n(n+2)2.
(2)由(1)可得1Sn=2n(n+2)=1n-1n+2,
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=1-13+12-14+…+1n-1n+2+32(1+2+…+2n-1)
=1+12+13+…+1n-13+14+…+1n+1n+1+1n+2
+32×2n-12-1
=32-1n+1-1n+2+32×(2n-1)
=3·2n-1-1n+1-1n+2.