2021-2022学年广东省高中学业水平合格性考试模拟测试题（二）数学试题（Word版）

这是一份2021-2022学年广东省高中学业水平合格性考试模拟测试题（二）数学试题（Word版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已如集合A＝{x|x<2}，B＝{x|y＝lg x}，则A∩B＝( )
A．(－∞，2) B．(0，2)
C．[0，2) D．(0，＋∞)
2．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则实数m的值为( )
A．－eq \f(3,2) B．eq \f(3,2)
C．2 D．6
3．若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝( )
A．0 B．2
C．5 D．1
4．设a＝50.3，b＝lg0.30.5，c＝lg30.4，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．c5．如果a>b，那么下列说法正确的是( )
A．ac>bc B．ac2C．ac＝bc D．b－a<0
6．为了让学生了解更多的“一带一路”倡议的信息，某中学举行了一次“丝绸之路知识竞赛”，全校学生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示，若60%的学生不能参加复赛，则可以参加复赛的成绩约为( )
A．72 B．73
C．74 D．75
7．已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
8．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝2eq \r(2)，则边c＝( )
A．2 B．eq \r(3)
C．eq \r(2) D．1
9．一个圆柱的轴截面是一个面积为36的正方形，则该圆柱的体积是( )
A．54π B．36π
C．16π D．8π
10．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和，例如：8＝3＋5，在不超过14的质数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,12)
C.eq \f(1,14) D.eq \f(1,15)
11．如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋k，据此图象可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．10 B．8
C．6 D．5
12．在△ABC中，“cs Asin B”的________条件．( )
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．非充分非必要
13．函数f(x)＝lg x＋x－2的零点所在区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
14．△ABC中，AB＝2，BC＝2eq \r(6)，AC＝4，点O为△ABC的外心，若eq \(AO,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))，则实数eq \f(m＋n,m－n)的值为( )
A．7 B．eq \f(1,5)
C．－eq \f(1,5) D．eq \f(1,7)
15．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a－3）x＋5，x≤1，,\f(2a,x)，x>1))是R上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0，3) B．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16．已知x>1，则x＋eq \f(1,x－1)的最小值是________．
17．若tan α＝eq \f(1,2)，则2sin2 α＋sin αcs α＝________．
18．已知平面向量a，b，c，满足|a|＝3，|b－a|＝eq \f(3,2)，c∥b，a·c＝eq \f(27,2)，则|c|的最大值为________．
19．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：
①对于任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0成立；
②存在x∈(－∞，－4)，使得f(x)·g(x)<0成立．
则m的取值范围是________．
三、解答题：本大题共3小题，第20小题12分，第21题12分，第22题12分，共36分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
20．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为eq \r(3)，侧棱长为2，D在边BC上，BD＝2DC.求：
(1)该三棱柱的体积与表面积；
(2)三棱锥D-AB1C的体积．
21．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4eq \r(3)，b＝6，cs A＝－eq \f(1,3).求：
(1)c；
(2)cs 2B的值．
22．已知函数f(x)＝eq \r(2)sin ωx·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))＋2sin2 ωx＋eq \f(1,2)，直线y＝1－eq \f(\r(2),2)与f(x)的图象交点之间的最短距离为π.
(1)求f(x)的解析式及其图象的对称中心；
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若∠A是锐角，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)＋\f(π,8)))＝eq \f(3,2)，c＝4，a＋b＝4eq \r(2)，求△ABC的面积．
答案
1-10 BDDDD DDAAD 11-15 ACBAD
16. 3
17. eq \f(4,5)
18. 3eq \r(3)
19. (－4，－2)
20.(1)该三棱柱的体积V＝eq \f(\r(3),4)×(eq \r(3))2×2＝eq \f(3\r(3),2)；该三棱柱的表面积S＝2×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(3))2＋3×eq \r(3)×2＝eq \f(15\r(3),2).
(2)因为BD＝2DC，所以三棱锥D-AB1C的体积
VD－AB1C＝VB1－ACD＝eq \f(1,3)VB1－ABC＝eq \f(1,3)×[eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(3))2×2]＝eq \f(\r(3),6).
21.(1)由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccs A，
即48＝36＋c2－2×6×c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))，
整理得，c2＋4c－12＝0，
解得c＝2或－6(舍负)，
故c＝2.
(2)因为cs A＝－eq \f(1,3)，且A∈(0，π)，
所以sin A＝eq \r(1－cs2 A)＝eq \f(2\r(2),3)，
由正弦定理知，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，即eq \f(4\r(3),\f(2\r(2),3))＝eq \f(6,sin B)，
所以sin B＝eq \f(\r(6),3)，
所以cs 2B＝1－2sin2 B＝－eq \f(1,3).
22.(1)f(x)＝eq \f(1,2)sin 2ωx－eq \f(1,2)cs 2ωx＋1＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx－\f(π,4)))＋1，
由题可知，T＝π，2ω＝eq \f(2π,T)⇒ω＝1，
所以f(x)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋1，
令2x－eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.
所以对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,8)，1))，k∈Z，
(2)因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)＋\f(π,8)))＝eq \f(3,2)，eq \f(\r(2),2)sin A＝eq \f(1,2)，
所以sin A＝eq \f(\r(2),2)，又A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，A＝eq \f(π,4)，
因为c＝4，a＋b＝4eq \r(2)，由余弦定理得，a2＝(4eq \r(2)－b)2＝b2＋16－4eq \r(2)b⇒b＝2eq \r(2).
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×4×2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝4.