2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（二）数学试题（解析版）

这是一份2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（二）数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先通过解二次不等式确定集合范围，然后根据集合交集运算定义进行求解即可.
【详解】，，
.
故选：A
2．下列运算错误的是（ ）
A．a3+a3=2a6B．a6÷a-3=a9
C．a3·a3=a6D．（-2a2）3=-8a6
【答案】A
【分析】根据指数幂的运算规则，逐个验证选项.
【详解】，选项A的运算错误；
，选项B的运算正确；
，选项C的运算正确；
，选项D的运算正确；
运算错误的是A，
故选：A
3．已知，则
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二倍角正弦公式可知同号，又，从而得到结果.
【详解】由可得，即同号，
又，∴
故选A
【点睛】本题考查二倍角正弦公式，同角关系中的商数关系，属于基础题.
4．在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由向量加法的三角形法则可判断AD，由向量减法的运算法则可判断B，由向量加法的平行四边形法则可判断C.
【详解】根据三角形法则可得，所以A错误；
根据向量减法的运算法则可得，所以B错误；
四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有，C错误；
根据三角形法则可得正确，所以D正确.
故选：D.
5．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（ ）
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第74个数据的平均数
【答案】C
【分析】举反例否定选项AB；依据第75百分位数的定义去判断选项CD.
【详解】若100个数据全为9.3，满足题意，但不满足选项A，故A错误；
当这100个数据均为9.3时，把这100个数据从小到大排列后，9.3不一定是第75个数据.选项B判断错误；
把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数.
则选项C判断正确，选项D判断错误.
故选：C
6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件利用对立事件的概率计算公式即可计算作答.
【详解】“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件，而事件{抽到一等品}，且，
于是得，
所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.
故选：B
7．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】A选项在 上是增函数；B选项在 是减函数，在 是增函数；C选项在是减函数；D选项 在是减函数，在是增函数；故选C.
【点睛】对于二次函数判定单调区间通常要先化成 形式再判定.当 时，单调递减区间是 ，单调递减区间是 ； 时，单调递减区间是，单调递减区间是.
8．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1CB．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB
【答案】B
【分析】由题意逐一考查直线与所给平面的位置关系即可.
【详解】如图所示，因为AD1⊥A1D，且AD1⊥A1B1，故AD1⊥平面A1DB1，
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，直线与平面的关系判定等知识，意在考查学生的转化能力和空间想象能力.
9．某商场在今年端午节的促销活动中，对6月9日时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为
A．万元B．万元C．万元D．万元
【答案】C
【详解】试题分析：由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为 （万元），又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为万元．
【解析】频率分布直方图.
10．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】利用对数函数的单调性解不等式，即可判断.
【详解】当时，，又因为是上的减函数，所以，则；当时，，即，则.故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
11．若函数是偶函数，则可取一个值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的定义得,结合选项可确定答案.
【详解】∵函数是偶函数，∴，即.
∴或.
当时，可得，不满足函数定义.
当时，,
若，解得，故A错误;
若，解得，故B正确;
若，解得，故C错误;
若，解得，故D错误;
故选:B.
12．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为（ ）
A．25B．
C．D．
【答案】D
【分析】由a>0，b>0知，结合基本不等式有目标式，又a＋2b＝5即可求最大值
【详解】a>0，b>0，a＋2b＝5
而，当且仅当时取等号
故选：D
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，找到目标式与已知等式中代数式的关系，应用基本不等式的知识转化为不等式形式且让不等号的一边含已知等式的代数式部分即可求最值，另外注意基本不等式使用前提“一正二定三相等”
13．幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．
【详解】设幂函数的解析式为y=xa，
∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），
∴2=4a，
解得a=
∴，其定义域为[0，+∞），且是增函数，
当0＜x＜1时，其图象在直线y=x的上方．对照选项．
故选C．
【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求解及幂函数图象及其与指数的关系，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法．
14．在△ABC中，角的对边分别是，若，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵在中，∴由正弦定理可得①，又∵，∴②，由①②可得，可得，故选B.
15．从一批产品中取出三件，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”， “三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）.
A．A与C互斥B．B与C互斥C．任两个均互斥D．任两个均不互斥
【答案】B
【解析】对事件进行分析，根据互斥事件的概念分析即可.
【详解】A为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B为{三件产品全是次品}，
C为{三件产品不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件
由此知：A与C是包含关系，不是互斥事件，B与C是互斥事件，
故选：B.
【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，解题的关键是正确理解互斥事件与对立事件的区别，属于基础题.
二、填空题
16．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= ______ .
【答案】
【详解】∵平面向量与的夹角为，
∴.
∴
故答案为.
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
17．函数f（x）=x2-2（a-1）x+2在区间上是减函数，则实数a的范围是___________
【答案】[2，+∞）
【分析】的单调递减区间为，其中为函数对称轴.由题有，据此可得答案.
【详解】函数f（x）图像的对称轴为直线x=a-1.因为f（x）在区间上是减函数，
所以，得.
故答案为：[2，+∞）.
18．若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，则圆柱的体积为________．
【答案】
【分析】利用圆柱的侧面积公式可以求出圆柱底面圆的半径，然后代入圆柱的体积公式即可.
【详解】设圆柱的底面半径为，则，解得，所以该圆柱的体积为.
故答案为：.
19．在中，角的对边分别为.若，则的面积为___________.
【答案】
【分析】利用已知等式和余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查解三角形的相关问题的求解，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用；关键是能够将通过已知等式配凑出余弦定理的形式，从而构造方程求得两边之积.
三、解答题
20．某班有男生27名，女生18名，用分层抽样的方法从该班中抽取5名学生去敬老院参加献爱心活动.
（1）求从该班男生、女生中分别抽取的人数；
（2）为协助敬老院做好卫生清扫工作，从参加活动的5名学生中随机抽取2名，求这2名学生均为女生的概率.
【答案】（1）从该班男生、女生中抽取的人数分别为3，2（2）
【分析】（1）根据分层抽样的基本原则可计算求得结果；
（2）列举出随机抽取名学生的所有基本事件，从中找到名学生均为女生的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】（1）设从该班男生、女生中抽取的人数分别为，则，
从该班男生、女生中抽取的人数分别为，
（2）记参加活动的名男生分别为，名女生分别为
则随机抽取名学生的所有基本事件为：
，共个
记“名学生均为女生”为事件，则事件包含的基本事件只有个：
【点睛】本题考查分层抽样、古典概型概率问题的求解；解决古典概型的常用方法为列举法，通过列举得到所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，进而根据古典概型概率公式求得结果.
21．已知函数.
(1)求函数f（x）的最小正周期和最大值；
(2)求函数f（x）的单调递减区间.
【答案】(1)最小正周期为，最大值为2
(2)
【分析】（1）用辅助角公式化简原函数，即可得到最小正周期和最值；
（2）将代入正弦函数的递减区间，解得x的范围即可.
【详解】（1）.
，
即函数的最小正周期为.
，
即，
则的最大值为2.
（2）令，
解得，
所以函数的单调递减区间为.
22．已知的斜边为AB，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求证：
(1)BC⊥平面PAC；
(2)PB⊥平面AMN.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可证得PA⊥BC，BC⊥AC，再由线面垂直的判定定理即可证明.
（2）由线面垂直的判定定理和性质定理即可证明.
【详解】（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.
∵是直角三角形，AB为斜边，∴BC⊥AC，
又AC∩PA=A，AC，PA平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
（2）由（1）知BC⊥平面PAC，
∵AN⊂平面PAC，∴BC⊥AN，
又∵AN⊥PC，BC∩PC=C，BC，PC平面PBC，
∴AN⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，AM，AN⊂平面AMN，
∴PB⊥平面AMN.