2024届山东省曲阜师范大学附属中学高三上学期9月月考数学试题含解析

这是一份2024届山东省曲阜师范大学附属中学高三上学期9月月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得集合A,B,再求交集即可.
【详解】，.
故选:A．
2．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
3．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
4．的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】A. 时，不一定有，如：x=0,y=-1.所以不是的充分条件，所以该选项不符合题意；
B. 时，不成立，所以不是的充分条件，所以该选项不符合题意；
C. 时，成立，所以是的充分条件；时，一定成立，所以是成立的充要条件.所以该选项不符合题意；
D. 时，成立，所以是的充分条件；但是时，不一定成立，如：x=-3,y=0.所以是的非必要条件.所以是的充分非必要条件.
故选：D
【点睛】本题主要考查充分非必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5．函数在上是增函数，函数为偶函数，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由条件为偶函数得出，从而得出对称轴为，再利用单调性即可得出结论.
【详解】因为为偶函数，所以有，
可知函数的对称轴为，
又由在上是增函数，
故知在上是减函数，
所以.
由，
知.
故选：D
6．函数的图像可能是
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性，判断函数的图象的对称性，结合函数值的符号进行排除即可．
【详解】函数的定义域为 ，
,
则函数 是偶函数，图象关于轴对称，排除 ，
，排除 C ，故选D.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7．已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）之间满足函数关系．若该食品在4℃时的保鲜时间为192h，在12℃时保鲜时间为48h，则该食品在28℃时的保鲜时间为（ ）
A．2hB．3hC．4hD．6h
【答案】B
【分析】由题可得，代入再结合条件即得.
【详解】由题意有：①，②，
②式除以①式得，
则.
故选：B.
8．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，可将表示为关于的函数，利用导数可求得的最小值，即为的最小值.
【详解】设，即，
，，
设，
则，
令，则，
单调递增，又，
当时，，即，
则在上单调递减；
当时，，即，
则在上单调递增；
所以取得极小值，也是最小值，
，
即的最小值为.
故选：.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，关键是能够将所求最值转化为关于第三个变量的函数的形式，通过导数确定函数的单调性，进而确定最值点.
二、多选题
9．，，那么下列说法正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法逐一判断即可.
【详解】A：由，所以本选项说法正确；
B：当时，显然，成立，但不成立，所以本选项说法不正确；
C：当时，显然，成立，但不成立，所以本选项说法不正确；
D：由，所以本选项说法正确，
故选：AD
10．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．单调递增区间为
C．的极大值为D．方程有两个不同的解
【答案】AC
【解析】对求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再用两点式写出切线方程，可判断选项；利用导数分析函数的单调性，极值可判断选项，；将方程的解个数转化为两个函数图象交点个数，数形结合即可判断选项．
【详解】解：因为，所以函数的定义域为
所以，，，
∴的图象在点处的切线方程为，
即，故A正确；
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，故B错误，
的极大值也是最大值为，故C正确；
方程的解的个数，即为的解的个数，
即为函数与图象交点的个数，
作出函数与图象如图所示：
由图象可知方程只有一个解，故D错误.
故选：AC.
11．已知是正数，且，则（ ）
A．的最大值为4
B．的最大值为0
C．的最小值为4
D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据不等式的性质和基本不等式性质，以及利用“1”的妙用，进行求最值即可得解.
【详解】由是正数，且，可得，
对A，，
由可得，无最大值，故A错误；
对B，由，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故B正确；
对C，由基本不等式可得，
当且仅当时取等号，故C正确；
对D，，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：BCD
12．已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
三、填空题
13． ．
【答案】
【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可.
【详解】
.
14．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】由被开方数大于等于0、对数的真数大于0及分母不为0，列不等式组即可求解.
【详解】由解析式可得，解得，可得.
故答案为:.
15．有下列命题：①若“，则或”是真命题；②命题“，”的否定是“，”；③，为真命题，则a的最大值为2.其中正确的是 （填序号）.
【答案】①③
【分析】①由于原命题和逆否命题为等价命题，可利用逆否命题判定；②用全称量词的否定判定；③可利用恒成立问题，由基本不等式找到判定a的范围.
【详解】对于①，若“，则或”的逆否命题为：若且，则，显然逆否命题为真命题，
由于原命题和逆否命题为等价命题，故该命题是真命题，故①为真命题；
对于②，命题“，”的否定是“，”，故②为假命题；
对于③，因为，为真命题，所以，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即a的最大值为2，故③为真命题.
故答案为：①③.
16．已知函数，若恒成立，则a的取值范是 .
【答案】
【分析】转化为，令，利用导数判断出在上单调递增，可得在时恒成立，令，再利用导数求出最大值可得答案.
【详解】若，可得，
令，则，则在上单调递增，
由得，
即在时恒成立，
令，
则，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，
即，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是转化为，然后构造函数利用导数求出参数的取值范围，考查了学生的分析问题问题、解决问题的能力.
四、解答题
17．已知集合，．
（1）当时，求．
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据集合的补集定义、交集的定义进行求解即可；
（2）根据子集的性质进行求解即可.
【详解】（1）时，，
，
或，
；
（2）时，A是B的子集，
①当时，则有；
②当时，则有，
因为，所以，而，所以，
综上所述：．
18．已知函数f（x）＝lga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）．
(1)求f（x）的定义域．
(2)是否存在实数a，使函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）令3﹣ax＞0，解不等式即可求解；
（2）假设存在a满足题意，利用复合函数的单调性以及对数函数的性质和函数的最值即可求解．
【详解】（1）由题意可得3﹣ax＞0，即ax＜3，
因为a＞0，所以解得．
故f（x）的定义域为；
（2）假设存在实数a，使函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2．
设函数g（x）＝3﹣ax，由a＞0，得﹣a＜0，
所以g（x）在区间[1，2]上为减函数且g（x）＞0恒成立，
则g（2）＞0，解得0＜a，
又因为f（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以a＞1，即，
又因为f（x）在区间[1，2]上的最大值为2，
所以f（x）max＝f（1）＝lga（3﹣a）＝2，
整理得a2+a﹣3＝0，解得．
因为，所以，
所以存在实数，使函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2．
19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式．
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，利用，可得解析式；
（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围．
【详解】（1）因为为奇函数，，设，则，
则,
因为为奇函数，则 ，
则．
（2）当时，为单调递增函数，
由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数，
又∵，∴，
故有：，则有，解得：
所以实数a取值范围是：
20．已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】(1)函数的递增区间是，递减区间是.
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出单调区间作答即可；
（2）依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，利用不等式性质求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，即函数的定义域为，
当时，，有，，
所以，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即函数的递增区间是，递减区间是.
（2）因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以
因为，所以，即，
所以，所以，
即实数a的取值范围为.
21．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
22．已知函数，．
(1)若直线是曲线的一条切线，求的值；
(2)若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 直线是曲线的一条切线,根据切点在切线和原函数上，斜率是切点处导数列式求的值即可；
(2) 把任意的，都存在，使成立转化，在参数分离转化为恒成立,构造函数 ，求出，进而求出 的取值范围.
【详解】（1）由得,
设直线 与曲线的切点为,
则，
解得
因此的值为.
（2）由得
设，则 ,
因为当时，，所以在上单调递增，
又因为
所以存在 ，使 ,
且当时， ；当时， ；
从而 ，且当 时， ；
当 时， ,所以函数 在上单调递减，在上单调递增，
因此 ,
由，得从而 ,
所以
由对于任意的，都存在，使 成立，
得对于任意的，都有 ,
即不等式在上恒成立，
即不等式 在上恒成立.
设 ，则
因为 ，当 时，;
当 时，;
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以 ，因此 ,
故 的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：把任意的，都存在，使成立转化为，参数分离后构造函数求导即可求解.