2023届云南师范大学附属中学高三上学期适应性月考卷（三）数学试题含解析

2023届云南师范大学附属中学高三上学期适应性月考卷（三）

数学试卷

注意事项:

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 复数的虚部为

A.  B.  C.  D.

2. 设集合, 若, 则实数的取值范围是

A.      B.     C.     D.

3. 已知为幂函数, 且, 则

A.      B.     C.      D.

4. 已知某地区成年女性身高(单位:cm)近似服从正态分布, 且, 则随机抽取该地区 1000 名成年女性, 其中身高不超过162cm的人数大约为

A. 200     B. 400     C. 600     D. 700

5. 已知为等差数列, 为的前项和. 若, 则当取最大值时, 的值为

A. 3     B. 4     C. 5     D. 6

6. 设抛物线的焦点为, 若与抛物线有四个不同的交点, 记轴同侧的两个交点为, 则的取值范围是

A.     B.     C.     D.

7. 在的展开式中, 含的项的系数为

A. -120    B. -40     C. -30     D. 200

8. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家, 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五. 已知在菱形中,, 将沿进行翻折, 使得. 按张衡的结论, 三棱锥外接球的表面积约为

A. 72     B.     C.     D.

二、不定项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分,选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9. 炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的昆明成为众多游客旅游的热门选择，为了解来昆明旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100 名游客，得到如下列联表.零假设为:旅行方式与年龄没有关联，根据列联表中的数据，经计算得,则下列说法中，正确的有

附: .

A. 在选择自由行的游客中随机抽取一名, 其小于 40 岁的概率为

B. 在选择自由行的游客中按年龄分层抽样抽取 6 人, 再从中随机选取 2 人做进一步的访谈, 则 2 人中至少有 1 人不小于 40 岁的概率为

C. 根据的独立性检验, 推断旅行方式与年龄没有关联, 且犯错误概率不超过0.01

D. 根据的独立性检验, 推断旅行方式与年龄有关联, 且犯错误概率不超过0.05

10. 已知. 则下列说法中, 正确的有

A. 若在内, 则

B. 当时, 与共有两条公切线

C. 若与存在公共弦, 则公共弦所在直线过定点

D. , 使得与公共弦的斜率为

11. 函数的部分图象如图 1 所示, 则下列说法中, 正确的有

A. 的最小正周期为

B. 向左平移个单位后得到的新函数是偶函数

C. 若方程在上共有 6 个根, 则这 6 个根的和为

D. 图象上的动点到直线的距离最小时, 的横坐标为

12. 公元前 300 年前后, 欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著, 书中描述: 把一条线段分割为两部分, 使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值, 则这个比值即为“黄金分割比”, 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”. 黄金双曲线 的一个顶点为, 与不在轴同侧的焦点为的一个虚轴端点为为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦, 为中点. 设双曲线的离心率为, 则下列说法中, 正确的有

A.          B.

C.          D. 若, 则恒成立

三、填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分)

13. 已知, 则在上的投影向量为_____. (用坐标表示)

14. 在处的切线方程为_____.

15. 各数位数字之和等于 8 (数字可以重复) 的四位数个数为_____.

16. 已知非零实数满足, 则的最小值为_____.

四、解答题 (共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 10 分)

还原糖不达标会影响糖果本身的风味, 同时还原糖偏高又会使糖果吸潮, 易使糖果变质, 不耐贮存, 影响糖果的质量. 还原糖主要有葡萄糖、果糖、半乳糖、乳糖、麦芽糖等. 现采用碘量法测定还原糖含量, 用硫代硫酸钠滴定标准葡萄糖溶液, 记录耗用硫代硫酸钠的体积数, 试验结果见下表.

附：回归方程中,.

(1) 由如图 2 散点图可知,与有较强的线性相关性, 试求关于的线性回归方程;

(2) 某工厂抽取产品样本进行检测, 所用的硫代硫酸钠溶液大约为, 则该样本中所含的还原糖大约相当于多少体积的标准葡萄糖溶液?

18. (本小题满分 12 分)

在中, 角成等差数列, 角所对的边分别为.

(1) 若, 求的值;

(2) 若, 判断的形状.

19. (本小题满分 12 分)

某运动员多次对目标进行射击, 他第一次射击击中目标的概率为. 由于受心理因素的影响, 每次击中目标的概率会受前一次是否击中目标而改变, 若前一次击中目标, 下一次击中目标的概率为; 若第一次末击中目标, 则下一次击中目标的概率为.

(1) 记该运动员第次击中目标的概率为, 证明: 为等比数列,并求出 的通项公式;

(2) 若该运动员每击中一次得 2 分, 未击中不得分, 总共射击 2 次, 求他总得分的分布列与数学期望.

20. (本小题满分 12 分)

如图 3, 在三棱锥中, 二面角是直二面角, , 且, 为上一点, 且平面.分别为棱上的动点, 且.

(1) 证明: ;

(2) 若平面与平面所成角的余弦值为, 求的值.

21. (本小题满分 12 分)

在平面直角坐标系中, 设点, 点与两点的距离之和为为一动点, 点满足向量关系式:.

(1) 求点的轨迹方程;

(2) 设与轴交于点(在的左侧), 点为上一动点 (且不与重合). 设直线轴与直线分别交于点, 取, 连接, 证明: 为的角平分线.

22. (本小题满分 12 分) 设, 其中.

(1) 讨论的单调性;

(2) 令, 若在上恒成立, 求的最小值.

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

【解析】

1．复数的虚部为，故选A．

2．因为，所以．则由，可得，故选D．

3．因为为幂函数，所以设，则，所以，，则，故选B．

4．因为，所以，则随机抽取该地区1000名成年女性，其中身高不超过的人数服从，所以，故选D．

5．因为，所以，又，所以，所以，则，故选C．

6．将方程与抛物线方程联立，得，设，则由与抛物线有四个不同的交点可得有两个不等的正根，得即，由抛物线定义可得，故选B．

7．表示5个相乘，含的项可以是在5个中选3个2，2个相乘得到，也可以是在5个中选2个2，2个，1个相乘得到，也可以是在5个中选1个2，4个相乘得到，所以含的项为，故选C．

8．如图1，取BD的中点M，连接．由，可得为正三角形，且，所以，则

．以M为原点，MC为轴，过点M且与平面垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系如图2，则，，，所以．设为三棱锥的外接球球心，则在平面的投影必为的外心，则设．由可得，解得，所以．由张衡的结论，，所以，则三棱锥的外接球表面积为，故选B．

二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

【解析】

9．选择自由行的游客人数为，其小于40岁的概率是，故A错误；选择自由行中小于40岁和不小于40岁的人数比为2:1，则按年龄分层抽样抽取的6人中，有4人小于40岁，有2人不小于40岁，设事件A为2人均小于40岁，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为，故B正确；因为，所以可推断旅行方式与年龄没有关联，但对零假设犯错误的概率是不可知的，故C错误；因为，所以推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05，故D正确，故选BD．

10．，，则，，，，则，A错误（若在内，则，即）；当时，，，，，所以，所以两圆相交，共两条公切线，B正确；，得，即，令解得所以定点为，C正确；公共弦所在直线的斜率为，令，无解，所以D错误，故选BC．

11．因为经过点，所以，又在的单调递减区间内，所以①；又因为经过点，所以，，又是在时最小的解，所以②．联立①、②，可得，即，代入①，可得，又，所以，则．的最小正周期为，A正确．向左平移个单位后得到的新函数是，为偶函数，B正确．设在上的6个根从小到大依次为．令，则，根据的对称性，可得，则由的周期性可得，，所以，C错误．作与平行的直线，使其与有公共点，则在运动的过程中，只有当直线与相切时，直线与l存在最小距离，也是点M到直线的最小距离，令，则，解得或，又，所以（舍去），又，令，，，则由可得到直线的距离大于到直线的距离，所以到直线的距离最小时，的横坐标为，D正确，故选ABD．

12．由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确；对继续变形得，，

，，由射影定理（即三角形相似）可得B正确；设，，，将坐标代入双曲线方程，作差后整理可得，故C正确；设直线，代入双曲线方程，可得，则，，将换成即得，则与，的值有关，故D错误，故选ABC．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．不妨设，起点都在原点，设，则为，点分别在所在直线x轴上的投影为点和点，所以在上的投影向量为．

14．因为，所以，又，所以在处的切线方程为，即．

15．设该四位数为，则，，且．令，，则，且．所以该问题相当于把11个完全相同的小球放入4个不用的盒子，且每个盒子至少放一个小球，采用隔板法：在11个小球的10个空隙中选择3个插入隔板，所以共有种放法．

16．设，则，则点在单位圆上，根据三角函数的定义，可设，，则，则由可得，则，所以，则，又，所以当且仅当，即时，．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

解：（1），，，

，，

，………………………………（4分）

，

关于的线性回归方程为．………………………………………（6分）

（2）令，解得，

则该样本中所含的还原糖大约相当于的标准葡萄糖溶液.

……………………………………………………………………………………（10分）

18．（本小题满分12分）

解：（1）成等差数列，

，……………………………………………………………………………（1分）

又，

，，

又，

，，

………………………………………………………………………………………（3分）

．…………………………………………………………………………………（5分）

（2）由题意可得，，即，

………………………………………………………………………………………（6分）

由余弦定理结合（1）可得，

，…………………………………………………………………………………（8分）

由正弦定理可得，

又，

，…………………………………………（10分）

，

又，

，为直角三角形. ……………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（1）由题意，当时，，

………………………………………………………………………………………（2分）

则，………………………………………………………（4分）

又，

是首项为，公比为的等比数列，

，

. ……………………………………………………（6分）

（2）记为第次射击击中目标，则由题意可得，，，

可取到的值为，且

，

，

，

则的分布列为：

……………………………………………………………………………………（10分）

. …………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

（1）证明：平面平面，平面平面，，且平面，

平面，

又平面，

，

又平面，平面，

，

且，平面，

平面，

又平面，

. ……………………………………………………………………………（4分）

（2）解：法一（几何法）：，

，

如图3，过点作直线平行于，则，

则同时在平面与平面内，是两平面的交线，

又由（1）平面，可得，，

且，

由二面角的平面角的定义可得是平面与平面所成角，

………………………………………………………………………………………（8分）

设，则，

过点作于点，

则，

且，

，

，

解得. ……………………………………………………………………………（12分）

法二（向量法）：如图4，以点为原点，分别以，，过点且与平面垂直的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设，则，

，，，，

则，，，

………………………………………………………………………………………（6分）

由，可得，

，

，，

………………………………………………………………………………………（8分）

设为平面的法向量，则

可得一组解为，……………………………………………………（10分）

取平面的法向量，

则，

令，则，化简得，即，.

……………………………………………………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

（1）解：设点，，

则由点G与P，Q两点的距离之和为，

可得点G的轨迹是以P，Q为焦点且长轴长为的椭圆，其轨迹方程为．

由，可得，代入点G的轨迹方程，可得：

，即．…………………………………………………（4分）

（第一问也可以利用几何法：由条件可知G为的重心，延长PG，QG，必分别交NQ，NP的中点（分别设为H，I），取，，则

，由椭圆定义可得的方程．）

（2）证明：设点，则，即，

，

令，得，，……………………………………………（6分）

过作直线ME的垂线，垂足为点T，

则要证ER为的角平分线，只需证，

又，

，………………………………………………………………………（8分）

，

，当且仅当，

即时，

又在上，则，即，

代入上式可得恒成立，

为的角平分线得证．……………………………………………………（12分）

（第（2）问也可利用二倍角公式，证明）

22．（本小题满分12分）

解：（1），

①当时，在上恒成立，在上单调递减；

………………………………………………………………………………………（2分）

②当时，在上单调递增，且当时，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

………………………………………………………………………………………（4分）

（2），

若，，与在上恒成立矛盾，

，…………………………………………………………………………………（6分）

则，

令，

则由可知在上单调递减，

又当时，，，

，

又，

，使得，………………………………（8分）

，

，

，

且当时，单调递增；

当时，单调递减，

，

……………………………………………………………………………………（10分）

又，

，解得，

令，

则在上恒大于0，

在上单调递增，

．…………………………………………………………（12分）