2023届上海师范大学附属中学高三上学期10月月考数学试题含解析

2023届上海师范大学附属中学高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据奇偶性的定义可判断BCD，取特值可判断A.

【详解】记，则，

显然，故为非奇非偶函数；

由奇偶性定义易知为奇函数，和为偶函数.

故选：A

2．“”是“”的（   ）条件

A．充要 B．充分非必要

C．必要非充分 D．既非充分也非必要

【答案】B

【分析】由时，，结合充分、必要条件的定义，分析即得解.

【详解】由题意，若，必有，故充分性成立；

反之若，比如时，有，故必要性不成立；

故“”是“”的充分非必要条件.

故选：B

3．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数奇偶性排除选项A；由函数单调性排除选项BC即可解决.

【详解】，定义域为R，

由，可知函数为偶函数，排除选项A；

，令，则恒成立

故为R上单调递减函数，又

可知当时，，即，函数为递增函数，

当时，，即，函数为递减函数，

故选项BC判断错误；选项D判断正确.

故选：D

4．存在函数满足，对任意都有

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】A：取，可知，即，再取，可知

，即，矛盾，∴A错误；同理可知B错误，C：取，可知

，再取，可知，矛盾，∴C错误，D：令，

∴，符合题意，故选D.

【解析】函数的概念

二、填空题

5．已知集合，则_________

【答案】

【分析】根据交集的概念与运算即可得到结果.

【详解】∵集合，

∴.

故答案为：

6．函数的定义域是_________．

【答案】

【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；

【详解】解：因为，所以，解得且，

故函数的定义域为；

故答案为：

7．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点，且点的纵坐标为，则______

【答案】

【分析】由角的象限及纵坐标可得 ，即可结合诱导公式化简求值

【详解】点P在第二象限，故， ，故，则.

故答案为：

8．已知，，则__________．

【答案】

【详解】试题分析：由得，所以，解得，故答案为.

【解析】指数方程；对数方程.

9．函数是以π为周期的奇函数，且，那么___________．

【答案】0.5

【分析】根据周期性，根据奇偶性，据此即可求值.

【详解】由题可知，.

故答案为：.

10．已知正实数，满足，则的最小值为__________．

【答案】6

【分析】利用基本不等式得到，再解一元二次不等式可得结果.

【详解】由题可得，

所以，即，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为．

故答案为：.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

11．曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【分析】求出f（x）在的导数值，根据导数的几何意义即可求切线方程.

【详解】，

则曲线在处的切线斜率，

∴切线方程为，即．

故答案为：．

12．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍（所成角记、），则_________．

【答案】

【解析】根据题意，分别写出，然后利用两角和的正切公式计算即可.

【详解】由题意，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍时，，所以

故答案为：.

13．若在上可导且，其导函数满足，则的解集是_________________

【答案】

【分析】由题意构造函数，利用导数判断出单调递减，利用单调性解不等式.

【详解】设，则，

因为，所以在上恒成立，所以单调递减，

又得，由等价于，

所以，即的解集是.

故答案为：

14．已知关于的方程有解，则实数的取值范围是_________

【答案】

【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需函数与直线相交即可.

【详解】若关于的方程有解，

即与的图像有交点，

因为与互为反函数，

所以与的图像关于直线对称，

如图所示：

设函数与直线相切，切点为，

，则有，解得：，

由图像可知，当时，曲线与直线有交点，

即与的图像有交点，

即方程有解.

故答案为：

15．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，边长为4的七巧板左下角为坐标原点，其中各点的横、纵坐标均为整数，当函数经过的顶点数最多时，的值为_________

【答案】

【分析】根据图像，列出各点坐标，然后，判断的范围即可求解.

【详解】

如图，各点的横､纵坐标均为整数，因此，

,,，

函数的最大值为，最小值为，所以，

且，又因为，所以.

根据函数的定义，可知函数经过的顶点数最多时，为五个点，且当时，只有点，所以经过的顶点数最多时一定过这个点.

由于函数的图象是一个轴对称图形，且是中心对称图形，根据题干中对应的整数点坐标的对称情况可知，经过五个点时有以下三种情况：

第一种：函数的图象经过五个点，如图，

但此时不满足，不满足题意；

第二种：函数的图象经过五个点，如图，

可知，所以；

第三种：函数的图象经过五个点，如图，

可知，所以.

故答案为：.

16．已知函数，，若，，使得，则______．

【答案】78

【分析】根据题意可知，y＝f(x)的值域应该是y＝值域的子集，据此即可求解m﹒

【详解】时，，

时，，

∵，，

由题意可知，，

∴，，∴，∴﹒

故答案为：78．

三、解答题

17．已知幂函数在上单调递减.

（1）求的值并写出的解析式；

（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1），；（2）存在，.

【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出的值，将的值代入即可；

（2）求出的解析式，按照与的大小关系进行分类讨论，利用的单调性列出方程组，求解即可.

【详解】（1）（1）因为幂函数在上单调递减，

所以解得：或(舍去)，

所以；

（2）由（1）可得，，所以，

假设存在，使得在上的值域为，

①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；

②当时，，显然不成立；

③当时，，在和上单调递增，

故，解得.

综上所述，存在使得在上的值域为.

18．已知等腰三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，c(c＋b)＝(a＋b)(a－b)．

(1)求A和b；

(2)若点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF＞BE，在运动过程中始终有，求△EAF面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理结论，结合，可求得；利用余弦定理结合即可求得A,从而求得b.

（2）利用（1）中的结论，分别在三角形和三角形中利用正弦定理，结合三角形面积公式，即可解出答案.

【详解】(1)由正弦定理得：即： (R为三角形ABC的外接圆半径)，

故 ，

由 得： ，

则 ，因为 ，故 ；

由等腰三角形ABC可得 ，故 ；

(2)由（1）知： ，

由点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF>BE，在运动过程中始终有 ，

知点在点的左边,如图：

设 ，不变，可知,

在中，由正弦定理可得，

，

在中，由正弦定理可得，

，

故

，，

，

三角形的面积的最小值为，此时．

19．如图所示，两村庄和相距，现计划在两村庄外以为直径的半圆弧上选择一点建造自来水厂，并沿线段和铺设引水管道.根据调研分析，段的引水管道造价为万元，段的引水管道造价为万元，设，铺设引水管道的总造价为万元，且已知当自来水厂建在半圆弧的中点时，.

(1)求的值，并将表示为的函数；

(2)分析是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)，，其中；

(2)存在，且的最大值为.

【分析】（1）求得，根据已知条件求出的取值范围，根据题意得出，将代入函数解析式可求得的值，由此可得出表示为的函数关系式；

（2）利用导数分析函数在上的单调性，由此可得出结论.

【详解】(1)解：因为为半圆弧的直径，则，则，

由题意可得，可得，

所以，，其中，

当点在的中点时，，此时，解得，

因此，，其中.

(2)解：因为，其中，则，

因为函数在上为减函数，由可得，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

故当时，函数取最大值，即.

20．已知函数.

(1)当时，设，求的最小值；

(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；

(3)证明：.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据题意，所以，得在上恒成立，即在上单调递增，所以，即在上单调递增，求解即可；（2）根据题意得当时，恒成立，设，所以，再设，所以，可以求出的单调性，进而得到在上存在唯一零点，设为，确定的单调性，求出的最小值即可；（3）根据题意得，构造，求解证明即可.

【详解】(1)根据题意，函数，所以，

则，故在上恒成立，

所以在上单调递增，则有，所以在上单调递增，

则有，故的最小值为；

(2)根据题意得：在上恒成立，

当时，；当时，，设，

，

设，，

则时，，单调递增；时，，

单调递减.而，，，

所以在上存在唯一零点，设为，则时，，；

时，，，所以在处取得最大值，

在处取得最小值，所以，综上所述：实数的取值范围为.

(3)由（2）知：时，，所以，所以，

即，

所以

，

所以.

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

21．若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质．

（1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由；

（2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；

（3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：．

【答案】（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案；

（2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案；

（3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即．

【详解】（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下：

，

，

对任意，都有，

所以具有性质，

，，

所以，

所以不具有性质；

（2）若函数具有性质，

则有，即，

于是，结合知，

因此；

若，不妨设

由可知：

（记作），其中

只要充分大时，将大于1

考虑到的值域为为，等式（）将无法成立，

综上所述必有，即；

再由，，从而，而

当时，，

而，显然两者不恒相等（比如时)

综上所述，不存在以及使得具有性质；

(3）由函数具有性质以及（2）可知，

由函数是以为周期的周期函数，有，

即，也即

由，及题设可知

在的值域为

当时，当及时，均有，

这与零点唯一性矛盾，因此或，

当时，，在的值域为

此时

于是在上的值域为，

由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同，

因而，即．

【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解.