2024届上海市建平中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届上海市建平中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．若集合，，则
【答案】
【分析】计算出，从而求出交集.
【详解】，故.
故答案为：
2．不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】把分式不等式等价转化为一元二次不等式，由此求得原不等式的解集．
【详解】解：不等式等价于，解得，
故答案为：．
3．不等式的解集是 .
【答案】
【分析】根据对数函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，又在定义域上单调递增，
所以，所以，所以不等式的解集为；
故答案为：
4．已知复数，为虚数单位，则 .
【答案】/
【分析】根据复数四则运算将复数z化简成代数形式，可求得复数z的虚部.
【详解】，
复数z的虚部为.
故答案为：.
5．函数的极值点为 .
【答案】0
【分析】利用导数，结合极值点的定义得解.
【详解】，
，令解得，令解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极值点为0.
故答案为：0.
6．若幂函数（m为整数）的定义域为，则 ．
【答案】，，
【分析】利用幂函数的单调性可以得出，求解即可得到答案.
【详解】因为的定义域为
所以，
解得，
又为整数，
所以．
故答案为：，，.
7．函数的最小正周期为 .
【答案】
【详解】试题分析：，所以函数的周期等于
【解析】1.二倍角降幂公式；2.三角函数的周期.
8．已知，，且，则 ．
【答案】
【分析】利用正切的二倍角公式和两角差的公式进行求解即呆.
【详解】因为，，，
所以，，
因为，
所以，，因此，
因为，
所以，
故答案为：
9．已知关于x的方程有两个虚根与，且，实数k的值是 ．
【答案】
【分析】由求根公式得虚根，再由题意列方程求解
【详解】由求根公式得的虚根为，
故，解得，
故答案为：
10．已知对任意成立，求实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】将不等式两边取对数，分离参变量并构造函数，求出函数的最值即可得解.
【详解】，，而，
于是得：，，
令，，，
当时，，当时，，
因此，在上单调递增，在上单调递减，
即当时，，
于是得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
11．对任意的均有，则的最大值为 .
【答案】2
【分析】由已知取时，得，，继而由，可得答案.
【详解】解：对任意的，都有，所以取时，有，，
所以，所以的最大值为2，
故答案为：2.
12．已知为定义在R上的奇函数，当，，且关于直线对称．设方程（，）的正数解为，，…，…，且对无穷多个，总存在实数M，使得成立，则实数M的最小值为 .
【答案】2
【分析】根据函数具有的性质可推出其周期，从而作出其图象，结合方程（，）的正数解问题，结合极限的几何意义，数形结合，即可求解答案.
【详解】因为为定义在R上的奇函数，故，
关于直线对称，所以，
即，故是以4为周期的周期函数，
由此可作出的图象如图，
由于方程（，）的正数解为，，…，…，
且对无穷多个，总存在实数M，使得成立，
作出的大致图象，如图，
由（，）的正数解为，，…，…，
可知的几何意义为的两条渐近线之间的距离，即为2，
即，
所以对无穷多个，总成立，
故实数M的最小值为2，
故答案为：2
【点睛】方法点睛：本题涉及到抽象函数的性质问题，因此根据题意推出函数满足的性质，作出其图象，结合方程（，）的正数解的问题，数形结合，结合极限知识，即可求解.
二、单选题
13．若、为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用推理判断或举特例说明命题“若，则”和“若，则”的真假即可作答.
【详解】若成立，取，而，即命题“若，则”是假命题，
若成立，取，而，即命题“若，则”是假命题，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
14．已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合函数的奇偶性确定函数的单调性，画出函数简图，讨论，，三种情况，解得答案.
【详解】任意的，有，则函数在上单调递增，
函数为定义在上的奇函数，故函数在上单调递增.
，故，又，画出函数简图，如图所示：
当时，，即，；
当时，，即，；
当时，不成立.
综上所述：.
故选：A
15．已知函数的图像关于点中心对称，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用对称性可知为奇函数，的解集关于原点对称可求得a的值，再结合奇函数性质可求得b的值.
【详解】因为的对称中心为，所以为奇函数，
设，则，
由的解集关于原点对称，得，
此时，（）
任取，，
所以，
即：，解得，
所以图象对称中心的坐标为.
故选：B.
16．已知函数，则以下4个命题：
①是偶函数；②在上是增函数；
③的值域为Q﹔④对于任意的正有理数a，存在奇数个零点.
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】取特殊值可判断①②；根据值域中含正无理数可判断③；根据，为有理数或，为无理数，解出可判断④.
【详解】，
，，，所以不是偶函数，故①错误；
，，，但，
所以函数在上不是增函数，故②错误；
，的值域中有正无理数，故③错误；
的零点即，即，为有理数或，为无理数，
对于，为有理数，必有解，
对于，为无理数，有解或无解，
故有三个或一个零点，故④正确.
故选：B.
三、解答题
17．已知
(1)化简求值；
(2)若，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由二倍角公式将原式化简可得，然后由同角的平方关系可求得的值.
（2）根据题意，由同角平方关系可得，然后由代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）原式
．
由可得，，∴，
∴.
（2）由和，解得，
又∵，∴，
，∴
∴
．
18．已知复数(是虚数单位)是关于x的实系数方程在复数范围内的一个根.
（1）求p+q的值；
（2）复数满足是实数，且，求复数.
【答案】（1）0；（2）或.
【分析】（1）结合复数范围内，实系数一元二次方程的两根互为共轭复数，再利用韦达定理即可求出，进而求出结果；
（2）复数(a，bR)，根据题意得到方程组，解之即可求出结果.
【详解】（1）因为在复数范围内，实系数方程+px+q=0的两个根是互为共轭复数的，
所以实系数方程+px+q=0在复数范围内的另一个根是，
结合韦达定理得，
解得，所以p+q=0；
（2）设复数(a，bR)，
所以，
因为实数，所以，即，
又因为，所以，
联立，解得或，
因此复数或.
19．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
(2)现有两个奖励函数模型：①；②；问这两个函数模型是否符合公司要求，并说明理由？
【答案】(1)答案见解析
(2)不符合公司要求，符合公司要求，理由见解析
【分析】（1）根据题意，用数学语言依次写出函数的要求即可；
（2）判断两个函数模型的单调性，并判断，是否成立得解.
【详解】（1）设奖励函数模型为，则公司对奖励函数模型的基本要求是：
当时，是严格增函数，恒成立，恒成立.
（2）①对于函数模型，
易知当时，为增函数，且，
所以恒成立，但是，不满足恒成立，
所以不符合公司要求；
②对于函数模型，
当时，，所以为增函数，
且，所以恒成立，
令，则，所以，所以恒成立，
所以符合公司要求.
20．已知椭圆C：，其右焦点为F，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆C交于P，Q两点.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)过点的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)存在，
(3)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆标准方程得出，，进而求出，再利用离心率定义可得解；
（2）设出直线的方程与椭圆联立方程组，由根与系数关系的出线段的中点为的坐标，向量关系坐标化可得直线为直线的垂直平分线，进而求出直线的方程，求出N点的横坐标，分析得到n的范围；
（3）设出直线的方程与椭圆联立方程组，设，，表示出直线的方程，令，求得的表达式，由根与系数关系代入化简可得，当时，也满足题意，得证.
【详解】（1）因为椭圆的方程为，所以，，，即，
离心率为.
（2）
设直线的方程为：，，代入，得：
，
恒成立，
设，，线段的中点为，则
，，
由，
得：，
所以直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：，
令得：N点的横坐标，
因为，所以，
所以，
即线段上存在点，使得，其中.
（3）
设直线的方程为：，，代入，得：
，
因为过点的直线与椭圆交于A，B两点，
所以，
得：，
设，，，则，，
则直线的方程为，令得：
，
当时，也满足题意，所以直线过定点，
综上，直线过定点.
21．若定义域为D的函数满足是定义域为D的严格增函数，则称是一个“T函数”.
(1)分别判断，是否为T函数，并说明理由；
(2)已知常数，若定义在上的函数是T函数，判断和的大小关系，并证明；
(3)已知T函数的定义域为R，不等式的解集为．证明：在R上严格增.
【答案】(1)是“T函数”，不是“T函数”，并说明理由
(2)，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)求导，根据T函数的定义得到答案；
(2)构造函数，确定函数单调递增，根据得解；
(3)，设，根据单调性得到，恒成立，得到，再排除的情况得到证明.
【详解】（1），定义域为R，是R上的严格增函数，故是“T函数”；
，定义域为R，不是R上的严格增函数，故不是“T函数”.
（2），证明如下
因为定义在上的函数是T函数，则在上严格递增，
设，则，
故在上单调递增，故，
即，
即.
（3）T函数的定义域为R，故在R上严格增，
，设，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故，
即，
当时，恒成立，则恒成立，
故，
若存在，使，则当时，，
这与，矛盾，
故不存在使，
，恒成立，
故在R上严格增.