2024届河北省沧州市联考高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届河北省沧州市联考高三上学期10月月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式得解集，从而得集合，再利用补集与交集的运算即可得答案.
【详解】由于，可得，则集合，
，可得，则集合，
所以.
故选：B．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】C
【分析】根据复数的运算先化简复数，再结合复数的模长公式即可.
【详解】根据题意，，所以，
故.
故选：C．
3．为了解某班学生数学学习的情况，连续进行了六次考试，甲同学与乙同学的考试成绩情况如下表，则以下叙述正确的是（ ）
A．甲同学成绩的极差低于乙同学成绩的极差
B．甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩
C．甲同学成绩的众数为136，乙同学成绩的中位数为122
D．甲同学成绩的波动幅度低于乙同学成绩的波动幅度
【答案】C
【分析】根据表格中的数据，结合极差、平均数的计算公式，众数与中位的概念，以及数据的波动性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于选项A，甲同学成绩的极差为，乙同学成绩的极差为，所以甲同学成绩的极差高于乙同学成绩的极差，所以A错误；
对于选项B，甲同学的平均成绩为，
乙同学的平均成绩为，
所以甲同学的平均成绩低于乙同学的平均成绩，所以B错误；
对于选项C，甲同学成绩的众数为，乙同学成绩的中位数为，所以C正确；
对于选项D，可以观察出甲同学成绩的波动幅度高于乙同学成绩的波动幅度，所以D错误．
故选：C．
4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的概念、和角公式运算即可得解.
【详解】由题意，，解得：，则，
∴角的终边与单位圆交于点，
∴，，
∴.
故选：B．
5．在的展开式中，的系数是（ ）
A．24B．32C．36D．40
【答案】D
【分析】根据题意，的项为，化简后即可求解.
【详解】根据题意，的项为，
所以的系数是.
故选：D．
6．已知数列和均为等差数列，是数列的前n项和，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据题意结合等差数列的性质分析可得，进而可得，代入运算即可.
【详解】根据题意，设等差数列，
又因为是关于n的一次式，可得，
则，
所以.
故选：B．
7．在三棱柱中，平面，，，点D是的中点，点E是平面的中心，则点E到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，则点在上，再连接交于点，证得平面，得到点到平面的距离等价于点到平面的距离，结合，即可求解.
【详解】如图所示，连接，则点在上，再连接交于点，则为的中点，
因为为的中点，可得，
因为平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离等价于点到平面的距离，
设点到平面的距离为，由，即，
由，可得,
又由，，所以，
所以为直角三角形，所以，
所以，即点到平面的距离为.
故选：C.
8．已知函数，定义域为，在其定义域中任取（其中）都满足，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到，得出在上单调递增，令，得到在上恒成立，得出，设函数，利用导数求得函数单调性，结合，即可求解.
【详解】由，可得，
由于为函数定义域内任取的两个数，且，
所以函数在上单调递增，
令函数，
则在上恒成立，则，
设函数，则，
所以，故，即实数的取值范围为.
故选：A．
【点睛】方法总结：利用导数求解函数或不等式的恒成立（有解）问题的求解策略:
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
二、多选题
9．已知，，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据均值不等式判断A，利用“1”的变形技巧及均值不等式判断BD，由重要不等式及不等式性质判断C.
【详解】当，时，，即，所以，即，
当且仅当，即时取等号，故A错误；
因为，，所以，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
由A可知，，当且仅当，即时取等号，故C正确；
因为，，所以，
当且仅当，即时取等号，故D正确．
故选：BCD．
10．已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．椭圆C的离心率为
C．直线l的方程为D．的周长为
【答案】AC
【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D.
【详解】如图所示：

根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确；
椭圆C的离心率为，故选项B不正确；
不妨设，则，，
两式相减得，变形得，
又注意到点为线段的中点，所以，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即，故选项C正确；
因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确.
故选：AC．
11．如图，函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，且满足的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是的一个单调递增区间
C．函数图象的对称中心为点，
D．函数的图象可由函数的图象先向右平移个单位长度，各点的横坐标再伸长为原来的2倍，纵坐标变为原来的得到
【答案】AD
【分析】由三角形面积求出，即可得到函数的最小正周期，从而求出得到函数解析式，再根据正切函数的性质判断B、C，根据三角函数的变换规则判断D.
【详解】根据题意，当时，，
又因为的面积为，所以，则，
所以函数的最小正周期为，可得，则，
可得，故A正确；
由，，则，，
所以当时，，所以是的一个单调递增区间，故B不正确；
由，，则，，
所以函数图象的对称中心为点，，故C不正确；
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标变为原来的，可得的图象，故D正确．
故选：AD．
12．现有内部直径为3的球型容器，则以下几何体能够放入该球型容器内的为（ ）
A．棱长为2的正方体
B．底面为半径为1的圆，高为2的圆柱体
C．棱长为的正四面体
D．三棱锥，其中，，平面平面
【答案】BCD
【分析】根据几何体外接球的几何性质逐项求解判断即可.
【详解】对于A，棱长为2的正方体的外接球直径为，故A不符合；
对于B，底面为半径为1的圆，高为2的圆柱体的外接球半径为，故B符合；
对于C，如图，棱长为的正四面体的底面中心为，则底面外接圆的半径为，连接
则，所以，则正四面体的高度，
设该几何体的外接球半径为，则，解得，所以直径，故C符合；
对于D，设该几何体的外接球半径为R，如图，
其中点D为线段中点，点E为中心，点F为的外心，
因为，点D为线段中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又，点E为中心，所以，
点E为中心，且在线段上，设，
又，，，
，，计算可得，故D符合.
故选：BCD．
三、填空题
13．已知向量，，满足，则 ．
【答案】
【分析】已知向量模的关系，平方得数量积，再利用向量数量积的坐标运算可得.
【详解】根据题意，，
两边平方得，，
则，所以，则．
故答案为：.
四、双空题
14．某班级数学课上教师随机地从学生甲、乙、丙、丁中选取一名学生回答问题，据了解学生甲、乙、丙、丁答对此题的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6．则此题答对的概率为 ；在此题答错的情况下，由乙回答此题的概率为 ．
【答案】 0.75/ 0.2/
【分析】直接根据全概率公式可得此题答对的概率，由条件概率公式可得此题答错的情况下，由乙回答此题的概率.
【详解】根据题意，此题答对的概率为；
设事件A：此题答错，事件B：由乙回答此题，
所以．
故答案为：0.75；0.2
五、填空题
15．已知双曲线的右顶点为A，左、右焦点分别为，，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且，直线的斜率为，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】2
【分析】根据题意，设点P的坐标为，根据，求得点P的坐标为，再由的斜率为，得到，化简得到离心率的方程，即可求解.
【详解】由双曲线，可得渐近线方程为，
设点P的坐标为，且，
因为，即，解得，即，
所以点P的坐标为，
又因为直线的斜率为，所以，可得，
两边平方得，即，
两边同时除以，可得，即，
解得或（舍去）．
故答案为：.
16．已知数列满足以下规律：，，，，，，…，，…，，，，…，，…，数列的前n项和为，则 ．
【答案】/
【分析】根据题意，得到各分母相同的项的个数分别为， 求得其前和，列出方程求得，结合，即可求解.
【详解】根据题意，各分母相同的项的个数分别为，
所以项数之和为，
令，解得，
数列，
所以．
故答案为：.
六、解答题
17．数学奥林匹克竞赛是一项传统的智力竞赛项目，旨在通过竞赛选拔优秀人才，促进青少年智力发展，很多优秀的大学在强基计划中都设置了对中学生奥林匹克竞赛成绩的要求，因此各中学学校对此十分重视．某中学通过考试一共选拔出15名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有7名、高二学生有6名、高三学生有2名．
(1)若学校随机从数学奥赛集训队抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率；
(2)现学校欲通过考试对数学奥赛集训队成员进行考核，考试一共3道题，在测试中．3道题中至少答对2道题记作合格．现已知张同学每道试题答对的概率均为，王同学每道试题答对的概率均为，并且每位同学回答每道试题之间互不影响，记X为两名同学在考试过程中合格的人数，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用组合数及古典概型求解；
（2）分别计算两位同学合格的概率，再计算合格人数的概率，列出分布列，计算期望即可.
【详解】（1）设事件A为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”，
则有．
（2）设张同学、王同学答对的题数分别为Y，Z，
张同学在考试中合格的概率为：
，
王同学在考试中合格的概率为：
．
由题意得X可取0，1，2，
则，
，
，
所以X的分布列为
因此X的数学期望．
18．已知数列的前n项和为，且满足．
(1)证明：是等差数列；
(2)若，，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用，得与的关系，变形证明即可；
（2）利用（1）结论，求出代入得，裂项相消法求和后可证.
【详解】（1）根据题意，，
所以，则，
所以，所以是等差数列．
（2）由，则是以首项为1，公差为2的等差数列，
所以，所以，
所以，
所以．
19．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由可得出，由正弦定理可得，利用余弦定理结合基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理，
所以，
则，
因为、，则，所以，，所以．
（2）解：根据题意，，即，
由正弦定理得，
根据余弦定理可得，所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
20．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)棱上是否存在点M，使得二面角的大小为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）取的中点K，平面，进而即得；
（2）以K为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.
【详解】（1）证明：如图，取的中点K，连接，，
∵为正三角形，，∴．
∵底面为直角梯形，，，
，，，∴．
又，，∴．
又，，，平面，
∴平面．
∵平面，
∴平面平面．
（2）如图，以K为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
当与重合时，二面角的平面角为0，不合题意，
设，得，
∴，，
设平面的法向量为，
由得，
令，则，，∴，
由题意知平面的一个法向量为，
∴，解得或（舍），
∴，∴，
∴棱上存在点M，使得二面角的大小为，且．
21．已知抛物线过点，直线l与该抛物线C相交于M，N两点，过点M作x轴的垂线，与直线交于点G，点M关于点G的对称点为P，且O，N，P三点共线．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点作，垂足为H（不与点Q重合），是否存在定点T，使得为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点，使得为定值，该定值为
【分析】（1）将点代入抛物线方程可求出，从而可求出抛物线方程；
（2）设点，，然后表示出点的坐标，由O，N，P三点共线，化简可得，设直线l的方程为，代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系可得，则直线l过定点，从而可得点H的轨迹是以为直径的圆.
【详解】（1）因为抛物线过点，所以，所以，
所以抛物线C的方程为．
（2）设点，，联立，得，
又因为点M关于点G的对称点为P，所以点，
由O，N，P三点共线，可得，即，
化简得，
设直线l的方程为，联立，消去x，得，
则，即，可得，，
代入，可得，可得，
所以直线l的方程：，即，则，
所以直线l过定点，
因为，
所以点H的轨迹是以为直径的圆（除去E，Q两点），圆心为，半径为，
所以存在定点，使得为定值，该定值为．
.
【点睛】关键点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线中的定点问题，解题的关键是将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，再结合O，N，P三点共线的条件表示出直线方程，从而可求得直线过的定点.
22．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求导确定，又，从而可得切线方程；
（2）将不等式转化为证明，即证，设，求导确定单调性即可得最值，从而证明结论.
【详解】（1）根据题意，，，
所以，又，
所以曲线在处的切线方程为．
（2）要证明，即证，
令则，当时，，函数递减，当时，，函数递增，
所以恒成立，即可得，
所以只需证明，令，
即证，即证，
设，则，
令，则，
所以单调递增，，，
所以有零点，且，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，
所以，故，
所以，原不等式成立．
【点睛】思路点睛：导数问题中，如果导函数比较复杂，我们需要观察导函数的结构特点，从而发现导函数的零点得到导函数极值点．对于较为复杂的函数不等式，我们可把它分拆成其他的一些简单不等式（它们由常见函数形成），再利用导数去讨论这些简单不等式．
次数
1
2
3
4
5
6
甲同学成绩/分
135
104
108
136
136
116
乙同学成绩/分
116
124
123
120
121
132
X
0
1
2
P