2024届福建省莆田市莆田第二中学高三10月月考数学试题含解析

这是一份2024届福建省莆田市莆田第二中学高三10月月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式再结合交集以及区间的概念即可求解.
【详解】一方面把不等式变形为，解得；
另一方面若，则；结合交集以及区间的概念可知.
故选：A.
2．已知点是角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：B.
3．若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与既互斥又相互独立
【答案】C
【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.
【详解】∵，
∴，
∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.
故选：C
4．设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分类讨论解含参一元二次不等式，原问题转化为“”是不等式的解集的真子集，从而得到结果.
【详解】由，得
当时，或；当时，或，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以“”是不等式的解集的真子集，
所以或，
即.
故选：A
5．已知函数，且，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，则，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求.
【详解】令，则，
因为，又，
为奇函数，
又因为，
由，
则在上是减函数，
，，
，，
，解得
故选：D.
6．关于函数，其中，，给出下列四个结论：
甲：6是该函数的零点；
乙：4是该函数的零点；
丙：该函数的零点之积为0；
丁：方程有两个根.
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】由已知函数的单调性判断甲､乙中有一个错误，由其中一个正确，结合丙正确求得与的值，得到函数解析式，再判断丁是否正确，则答案可求.
【详解】当，时，为增函数，
当，时，为减函数，故6和4只有一个是函数的零点，
即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙､丁均正确.
由两零点之积为0，则必有一个零点为0，则，得，
若甲正确，则，即，，
可得，由，
可得或，解得或，方程有两个根，故丁正确.
故甲正确，乙错误.
若乙正确，甲错误，则，则，，
可得，由，
可得或，解得或（舍去），方程只有一个根，则丁错误，不合题意．.
故选：B.
7．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，，利用导数分析这两个函数在上的单调性，可得出、的大小关系，再利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论.
【详解】因为，
令，则在上恒成立，
所以，函数在上单调递增，则，即，
因为，则，所以，，
令，则，当时，，
所以，在上单调递增，
故当时，，即，
所以，，故，
又因为，，
，，故，
故选：B.
8．若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可.
【详解】因为，
所以，设，
则，，
令
恒成立，故单调递减，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；.
故
所以，得到.
故选:A.
二、多选题
9．下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】诱导公式结合和角余弦公式计算判断A；诱导公式结合倍角余弦公式计算判断B;凑特殊角并结合差角的余弦计算判断C；切化弦并利用辅助角公式、二倍角公式计算判断D.
【详解】对于A，，A是；
对于B，，B不是；
对于C，，C是；
对于D，，D不是.
故选：AC
10．下列说法正确的有（ ）
A．从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为
B．若随机变量，则方差
C．若随机变量，则
D．已知随机变量的分布列为，则
【答案】BCD
【分析】根据古典概型的概率公式及组合数公式判断A；根据二项分布的方差公式及方差的性质判断B；根据正态分布的性质判断C；根据分布列的性质求出，即可判断D.
【详解】对于A，从3名男生，2名女生中选取2人，
则其中至少有一名女生的概率，故A错误；
对于B，随机变量，则期望，
所以，故B正确；
对于C，随机变量且，
则，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，解得，所以，故D正确.
故选：BCD.
11．函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项.
【详解】由函数解析式可知，是不变号零点，是变号零点，
A.由图可知，变号零点是0，则，则，不成立，故A错误；
B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则，此时，当，，当，，当时，，满足图象，故B正确；
C.由图可知，，，当时，，当时，，当时，，满足图象，故C正确；
D.由图可知，，，当时，，与图象不符，所以D错误.
故选：BC
12．定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ ）
A．是奇函数B．
C．的图象关于直线对称D．
【答案】ABD
【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.
【详解】对于选项，∵是偶函数，∴，
∴函数关于直线对称，∴，
∵，∴，∴是奇函数，则正确；
对于选项，∵，∴，∴,
∴的周期为，∴，则正确；
对于选项，若的图象关于直线对称，则，
但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；
对于选项，将代入，得，
将，代入，得，
同理可知，
又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，
∴
，则正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．太阳光通过一层普通玻璃时，其中的紫外线只会损失原来强度的，而通过某型号的防紫外线玻璃则能将其中的紫外线过滤为原来强度的.设太阳光中原来的紫外线的强度为，则要达到上述型号的防紫外线玻璃的过滤效果，至少需要的普通玻璃层数为 .（参考数据：）.
【答案】
【分析】设需要需要的普通玻璃层数为，根据题意可得出，利用指数函数的单调性与换底公式可求得结果.
【详解】设需要需要的普通玻璃层数为，由题意可得，可得，
所以，，
因此，至少需要的普通玻璃层数为.
故答案为：.
14．已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下：
由上表可得线性回归方程，则 ．
【答案】/
【分析】根据表格数据求，代入回归方程求参数a，结合得，由方程的形式可知，即可求c.
【详解】由表格数据知：.
由，得，则.
∴，
由，得，
∴，即.
故答案为：.
15．已知，，，则 ．
【答案】
【分析】已知等式利用倍角公式求得，则，又，可求出，由，得．
【详解】由，两边平方得，所以，
故，因为，所以，
解得，又因为，所以．
故答案为：.
16．若函数的最小值为0，则实数a的最大值为 .
【答案】/
【分析】根据函数解析式利用换元法可构造函数，再由其单调性可得，再根据函数与方程的思想利用数形结合即可求出实数a的最大值为.
【详解】由题意知，
令，原函数变为.
令，则，易知当，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
即对于，，即，当且仅当时取最小值，
所以当，取得最小值0，即只需方程有解即可；
也即函数与函数图象有交点即可；
令，则，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，所以，
在同一坐标系下画出两函数图象如下图所示：

即即满足题意；
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造函数并利用其单调性，根据函数与方程的思想利用数形结合求参数取值范围是求解此类问题常用的方法，特别要注重函数构造过程中需要的变形技巧.
四、解答题
17．已知实数，且.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，由已知可得，然后利用乘1法，结合基本不等式可求；
（2）当时，，然后结合基本不等式可求.
【详解】（1）当时，，
，
当且仅当且，即时取等号，
此时取得最小值；
（2）当时，，
，解得，
当且仅当且，即时取等号，
故的最小值4.
18．已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用平方关系及和角的余弦公式计算作答.
（2）切化弦并结合差角的正弦公式求出，再不出的值作答.
【详解】（1）由，，得，而，
则，
又，则，
所以
.
（2）由，得，即，
由，得，
解得，则，
而，所以.
19．设为实数，函数，．
(1)求的极值；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．
【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；
（2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）解：函数的定义域为，，
令，可得或，列表如下：
故函数的极大值为，极小值为.
（2）解：对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且，则且不恒为零，
故函数在上单调递增，故，
由题意可得，故.
20．甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．
(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；
(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)
【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；
（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算.
【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立，
由题意得：，，
甲的得分X的可能取值为，
，
，
所以X的分布列为：
.
（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，
甲3轮各得1分的概率为，
甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为，
甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分的概率为，
甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为，
所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率.
21．中国男篮历史上曾次参加亚运会，其中次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队第届亚运会将于年月日至月日在杭州举办．
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各名进行调查，得到列联表如下：
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（i）求，，并证明：为等比数列；
（ii）比较第次触球者是甲与第次触球者是乙的概率的大小．
参考公式：，其中为样本容量．
参考数据：
【答案】(1)认为喜爱足球运动与性别有关
(2)(i)，，证明见解析；(ii)第次触球者是甲的概率比第次触球者是乙的概率大
【分析】（1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，计算，对照附表即可得出结论．
（2）根据题意写出、的值，第次触球者是甲的概率记为，时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，由此得出，即可判断是等比数列；写出，计算和的值，比较大小即可．
【详解】（1）解：假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，
计算，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过．
（2）由题意知，，，，；
证明：第次触球者是甲的概率记为，
则当时，第次触球者是甲的概率为，
第次触球者不是甲的概率为，
则，
从而，
又，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
第次触球者是甲的概率为，
所以，
第次触球者是乙的概率为，
所以第次触球者是甲的概率比第次触球者是乙的概率大．
22．已知函数．
(1)若在R上单调递减，求a的取值范围；
(2)当时，求证在上只有一个零点，且．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意和函数的单调性可得即在R上恒成立，利用导数研究函数的性质求出即可求解；
（2）由函数零点的存在性定理可得，使得,进而得出函数的单调性，结合、即可证明函数在上只有一个零点；由得，将不等式变形为，则证明即可，构造函数，结合分析法，利用导数研究函数的性质即可证明.
【详解】（1）因为，所以．
由在R上单调递减，得，即在R上恒成立．
令，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
故，解得，
即a的取值范围为．
（2）由（1）可知，在上单调递减，且，，
故，使得．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
因为，，所以在上只有一个零点，
故函数在上只有一个零点．
因为，所以要证，即证，即证．
因为，得，
所以，故需证即可．
令，，则．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
故．即，
原不等式即证.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点问题，不论哪种方法，其核心步骤都是构造函数.利用已知的函数或已知条件将问题转化，重新构造函数模型，通过导数研究函数模型的单调性、极值或最值等达到解决问题的目的.
4
6
8
10
2
3
5
6
增
极大值
减
极小值
增
X
0
1
p
喜爱篮球
不喜爱篮球合计
男生
女生
合计