2024届湖北省襄阳市第五中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届湖北省襄阳市第五中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：B.
2．设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
3．已知向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由得到，根据投影向量的公式即可得出结果.
【详解】，
，
，
在上的投影向量为.
故选：C.
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先对两式进行平方，进而可求出的值，根据二倍角公式求出结论.
【详解】解：因为，，
所以平方得，，，
即，，
两式相加可得，
即，
故，
.
故选：D.
5．记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．6B．C．D．18
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，根据条件即可求得，进而求得，利用，即可求得答案.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则由得，不合题意；
故，则由得，
则，所以，
因为，所以，
所以，
故选：D
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，结合中间量法即可得解.
【详解】因为，
又，
所以.
故选：A.
7．等比数列的公比为，前项和为，则“”是“对任意的，，，构成等比数列的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分条件也不必要条件
【答案】C
【分析】利用等比数列的性质进行分析运算即可得出结果.
【详解】先证明：若，则对任意的，，，构成等比数列.
若，则，
，
，
可得对任意的，，，构成等比数列，公比为.
再证明：若对任意的，，，构成等比数列，则.
若，则n为偶数时，，此时，，不能构成等比数列，与已知矛盾，故成立.
故选：C.
8．已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于两点，为的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用数形结合方法与转换法，从而可求解.
【详解】因为，所以设，的方程为：，具体如下图所示：
连接，因为，直线与相切，所以，，连接，
因为为的中点，所以，设，，则；
当点和点在轴同侧时可得：
，
又因为，所以，当时有最大值，
所以：的最大值为：；
当点和点在轴异侧时可得：
，
又因为，所以，当时有最大值，
所以：的最大值为：.
综上可知：则的最大值为：.
故选：A.
二、多选题
9．将函数图象上点的横坐标缩短为原来的，然后将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象．则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．的单调递增区间为
D．为图象的一条对称轴
【答案】ABD
【分析】利用三角函数图象变换求出，的解析式，即可判断AB,验证在处是否取得最值，即可判断D，直接求出的单调递增区间即可判断C.
【详解】由于函数，
将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，得到，然后其图象向右平移个单位得到函数的图象，
所以，又，
所以，由于且,故，故，
因此，故AB正确，
对选项D：因为，所以是函数的一条对称轴，故D正确；
对选项C：由得，
故单调递增区间为，C不正确；
故选：ABD．
10．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．有两个极值点
B．的图像关于原点对称
C．有三个零点
D．是的一个零点
【答案】ACD
【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，作图，根据图像变换，结合奇偶性，函数零点的定义，可得答案.
【详解】
对于函数，求导可得：，
令，解得，可得下表：
则，，即可作图，
通过图像可知，有两个极值点，故A正确；
函数的图像不关于原点对称，故B错误；
函数有三个零点，故C正确；
因为
即
将代入解析式可得，
，故D正确.
故选:ACD
11．设数列前项和为，满足，且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．数列为等差数列
C．当时有最大值
D．设，则当或时数列的前项和取最大值
【答案】ABD
【分析】A选项，根据求出为等差数列，公差为，首项为，得到通项公式；B选项，计算出，得到，从而得到，得到B正确；C选项，根据及二次函数的最值得到C错误；D选项，先得到时，，，，当时，，且，得到结论.
【详解】A选项，当时，，
又，解得，
当时，①，
②，①-②得，
，
即，故，
因为，所以不能对任意的恒成立，
故，
所以，
故为等差数列，公差为，首项为，
所以通项公式为，A正确；
B选项，，
故，则当时，，
故为等差数列，B正确；
C选项，，
故当时，取得最大值，C错误；
D选项，令得，令得，
则当时，，
当时，，当时，，
当时，，
又，，
则当或时数列的前项和取最大值，D正确.
故选：ABD
12．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若满足，的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A由，得，等式两边同时求导，即可得到的图象关于点对称；对于B由函数的性质可知应满足（为常数），当时，不是奇函数；对于C可知，，所以；对于D由对称性及周期性可知，即可判断.
【详解】由，得，等式两边同时求导，得
即，故的图象关于点对称，故A正确；
因为的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称，
即为偶函数，则，所以应满足（为常数），
当时，不是奇函数，故B错误；
因为，，所以，故C正确；
因为的图象关于点对称，关于轴对称，且，所以，，，在一个周期内，，
所以，故D正确．
故选：ACD
三、填空题
13．已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
14．已知圆台的上下底面半径分别为2，4，母线长为6，则该圆台的表面积是 ．
【答案】
【分析】根据圆台的表面积，即可求解.
【详解】设上底面半径，下底面半径，母线，
则圆台的表面积.
故答案为：
15．已知函数，且，则的最小值是 .
【答案】2
【分析】利用，单调性与对称性，可知，若有，则必有成立.再利用基本不等式求的最小值即可.
【详解】∵在为单调递增的奇函数，
∴有且仅有一个对称中心，
∴单调递增，有且仅有一个对称中心，
又∵，
∴，则，
∴
，
当且仅当即时，等号成立，
∴的最小值是.
故答案为：.
16．已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则 .
【答案】
【分析】根据题意得到，求得，再由，得到，结合为奇函数，求得，进而得到，求得，，得到，代入即可求解.
【详解】由函数在内单调递减，且是函数的一条对称轴，
可得，即，则，因为，所以，
且，可得，则，
由函数为奇函数，所以，
可得，
因为，所以，可得，
因为，所以，所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．研学旅行作为一种新兴的教学方式，越来越受中学生的青睐，国家也颁布了一系列政策推进研学旅行发展．为了解学生对“暑期研学旅行”的满意度，某教育部门对180名初一至高三的中学生进行了问卷调查．参与问卷调查的男女比例为5：4，女生初、高中比例为3：1．
(1)完成下面的列联表，并依据的独立性检验，判断“暑期研学旅行”的满意度与性别是否有关联；
(2)该教育部门采用分层随机抽样的方法从参与问卷调查的女生中抽取了8名学生．现从这8名学生中随机抽取4人进行座谈，设抽取的女生是初中生的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
【答案】(1)表格见解析，认为“暑期研学旅行”的满意度与性别有关联
(2)分布列见解析，3
【分析】（1）先求出男，女生抽取的人数，列出列联表，求出，然后对照参照表，从而得出答案.
（2）先求出取的初中女生，高中女生的人数，得出的可能取值，并求出对应的概率，得出分布列，然后求出数学期望.
【详解】（1）男生人数为，女生人数为，
则列联表如下表所示：
零假设为：“暑期研学旅行”的满意度与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“暑期研学旅行”的满意度与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）抽取的初中女生有（人），高中女生有（人），
则的可能取值为2，3，4，
，，，
所以的分布列为
故
18．已知等比数列的第二､三､四项分别是等差数列的第二､五､十四项，且等差数列的首项，公差.
(1)求数列与的通项公式；
(2)设数列对任意均有成立，求的值.
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）由题意得，再利用等比数列和等差数列的性质列方程可求出，从而可求出公比，进而可求得数列与的通项公式；
（2）由，得，两式相减可求得，再验证，然后利用等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由题意，，
，解得，或（舍去），
，
.
（2）由题意，，①
，②
②-①得，
当时，不满足上式，所以，
.
19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）用正弦定理结合三角函数诱导公式求得结果；
（2）设，则，由正弦定理得, 将的周长表示成关于的三角函数，化简求其最大值.
【详解】（1）由正弦定理得：，
因为，所以，
所以，即，
所以，故．
（2）
由（1）知，，有，
而与的平分线交于点，即有，于是，
设，则，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，
所以的周长为
，由，得，
则当，即时，的周长取得最大值，
所以周长的最大值为．
五、证明题
20．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由勾股定理证明，再由，可证平面，即得，由，可证平面；（2）由题意证明得两两垂直，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，设，再由向量夹角的公式代入计算得，根据点到平面的距离公式代入计算，可得答案.
【详解】（1）证明：由题知，
，
又，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
在正中，为中点，于是，
又，平面，所以平面
（2）取中点为中点为，则，
由（1）知，平面，且平面，
所以，又，
所以，平面
所以平面，于是两两垂直.
如图，以为坐标原点，的方向为轴､轴､轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则，
，所以，
.
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，于是.
设，
则.
由于直线与平面所成角的正弦值为，
，
即，整理得
，由于，所以
于是.
设点到平面的距离为，则，
所以点到平面的距离为.
【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
六、解答题
21．已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据函数极值的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可；
（2）利用换元法构造函数，根据导数的性质进行求解即可.
【详解】（1），，.
令，方程的判别式为，
①：当即时，，单调递增，无极值点；
②：当即时，函数有两个零点，，
（i）当时.，，当时，单调递减，
当时，单调递增，有一个极小值点；
（ii）当时，，
当与时，单调递增，
当时，单调递减，有两个极值点.
综上：当时无极值点；当时有两个极值点；
当时有一个极小值点.
（2）不等式恒成立，即.
，令，，
.
令，，则需，
当时，，单调递增，又，
时，不合题意，.
当时，单调递减，当时单调递增，.
而，，
又由可得，
所以需，
令，，当时单调递增，
当时单调递减，
，
.
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据换元法把变形为.
22．已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)
(2)直线与圆相交，理由见解析
【分析】（1）由题意列出关于的方程，求解即可.
（2）设，由点在圆上，得出，由的坐标，得出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，得点坐标，同理可得点坐标.从而得到直线方程，通过直线过定点，，从而得出点在圆内，故直线与圆相交.
【详解】（1）因为的离心率为，所以，
所以，渐近线方程，
因为点到一条渐近线距离为，所以，解得，
所以的方程为.
（2）直线与圆相交，理由如下：
设，则，
因为点在以为直径的圆上，所以，
所以，
即，

由（1）得，直线方程为：与双曲线方程联立，
消去得，，因为直线与都有除以外的公共点，
所以，所以，即，
同理当，.
，
所以直线方程为：，
令得，，
即直线经过定点.
因为，
所以点在圆内，故直线与圆相交.
极大值
极小值
性别
满意度
合计
满意
不满意
男生
80
女生
50
合计
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
性别
满意度
合计
满意
不满意
男生
80
20
100
女生
50
30
80
合计
130
50
180
2
3
4