2024届山东省枣庄市第三中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届山东省枣庄市第三中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】要注意集合A与B中的元素是什么，根据集合运算求解即可.
【详解】集合A中，元素是，即求函数的值域，易知；
集合B中，元素是，即求函数的定义域，所以>0，所以<2，
，.
故选：A
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先解出不等式，再判断充分性和必要性即可.
【详解】由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件．
故选：A.
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知式求得，然后再由余弦的二倍角公式求值．
【详解】由，得，，
，
∴．
故选：C.
【点睛】本题考查两角差的余弦公式的二倍角公式，解题关键是结合已知角和未知角的关系确定选用什么公式．
4．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用导数研究函数的极值点，令极值点属于已知区间即可.
【详解】
所以时递减，
时，递增，是极值点，
因为函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，
所以，即，
故选：B.
5．已知数列是首项为，公差为的等差数列，集合，则集合S中所有元素的乘积为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【分析】先利用等差数列通项公式得到，分，与三种情况得到，求出答案.
【详解】由题意得，
，
当时，，当时，，
当时，，
故，所以集合S中所有元素的乘积为.
故选：B
6．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第次操作中去掉的线段长度之和不小于，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】可分析得到第次操作去掉的线段长度之和为，即，解指数不等式，利用估计即可
【详解】第一次操作去掉的线段长度为，第二次操作去掉的线段长度之和为，第三次操作去掉的线段长度之和为，，第次操作去掉的线段长度之和为，
由题意可知，，则，则，
所以，即，
又，带入上式，可得
故选：C
7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则的值是（ ）
A．B．C．2D．12
【答案】B
【分析】由已知可得函数的对称轴与周期性，进而可得函数解析式与函数值.
【详解】由为奇函数，可知函数关于中心对称，
又为偶函数，则函数关于直线对称，
所以函数的周期，
且，，
所以，
解得，，
所以当时，，
，
故选：B.
8．已知函数在区间上恰有一个极大值点和一个极小值点，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由诱导公式可得，结合条件列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，，
又，则，
因为在区间上恰有一个极大值点和一个极小值点，
则，解得，即.
故选：B.
二、多选题
9．若，，且，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】构造函数，求导得到在上单调递增，然后结合奇偶性得到在上单调递减，最后根据单调性判断即可.
【详解】令，，则，
∵当时，，，即，
∴在上单调递增，
∵的定义域关于原点对称，，
∴为偶函数，图象关于轴对称，
∴在上单调递减，
∵，即，
∴，故D正确，而ABC不一定成立.
故选：ABC.
10．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如武汉东湖的“东湖之眼”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度55米，转盘直径为50米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）

A．摩天轮离地面最近的距离为5米
B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C．存在，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为20米
D．若在，时刻游客距离地面的高度相等，则的最小值为20
【答案】ABD
【分析】摩天轮离地面最远距离减去转盘直径，从而可判断A；由时间t与游客距离地面的高度，求出关于t的表达式，即可判断B；求出在上的单调性，结合当时，，即可判断C；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断D；
【详解】对于A，由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A正确；
对于B，设，当时，游客从离地面最近的位置进舱，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处.所以，，，，又当时，，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，，又高度相等，函数的对称轴为，则关于对称，则，则；
令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，当时，，
当时，；当时，，所以在只有一个解，故C错误；
对于D，周期，由余弦型函数的性质可知，令，
则，，函数关于对称，若在，时刻游客距离地面的高度相等，
则当时，的最小值为10，的最小值为20.故D正确.
故选：ABD.
11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大项D．
【答案】AD
【分析】由题意可推出等比数列公比，判断A；结合题意判断，即可判断B；判断等比数列的增减性，结合前项积为，可判断C；利用等比数列性质可判断D.
【详解】由题意知，即，
因为，可得，即等比数列的各项都为正值，
又，故若，结合可知，
则不成立，
故，即数列为递减数列，则，A错误；
因为，故，B正确；
由以上分析可知，
故是数列中的最大项，C正确；
由等比数列性质可得，，
故，D错误，
故选：AD
12．已知函数，下列选项正确的是 （ ）
A．函数f（x）在（－2，1）上单调递增
B．函数f（x）的值域为
C．若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
D．不等式在恰有两个整数解，则实数a的取值范围是
【答案】AC
【分析】A选项，利用导函数求解单调性；B选项，利用导函数研究函数单调性，极值情况，画出图象，作出判断；C选项，画出的图象，数形结合将根的个数转化为图象交点个数，从而判断出a的取值范围是；D选项，画出的图象，数形结合得到斜率的取值范围，进而求出a的取值范围.
【详解】当时，，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又当时，，，
故数f（x）在（－2，1）上单调递增，A正确；
由A选项分析可知：在处取得极小值，，在处取得极大值，，又时，恒成立，时，恒成立，
画出，如图：
故f（x）的值域为，B错误；
由得：或
画出的图象，如图所示：
从图象可以看出有1个根，为，
要想方程有3个不相等的实数根，
需要需要有2个不相等的实数根，且不等于-1，
所以则实数a的取值范围是，C正确；
不等式在恰有两个整数解，
即在恰有两个整数解，在同一坐标系下画出的图象：当介于直线之间时，满足要求，
其中，，
则实数a的取值范围是，D错误.
故选：AC
【点睛】研究方程根的个数问题或根据根的个数求取值范围问题，当方程较复杂时，要转化为两个函数的交点问题，数形结合进行求解.
三、填空题
13．已知数列都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则 .
【答案】2
【分析】利用等差数列的性质以及前n项和求解.
【详解】因为为等差数列，
所以，
又，所以.
故答案为：2.
14．已知函数，若关于x的方程至少有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将问题转化为函数与函数图像的交点问题，画出函数与函数的图像，根据图像至少有三个交点找出临界位置，就可以得到答案.
【详解】令，得两实根，，
所以
因为方程至少有三个不相等的实数根，
所以函数与函数的图像至少有三个交点，
在同一直角坐标系中，画出函数与函数的图像，如图所示，
图像要至少有三个交点，则的图像必须在如图所示的两条直线之间，
这两条直线分别为函数过点时的图像和函数的图像与函数的图像相切时的图像，
当函数的图像过点时，，此时与的图像有三个交点，
当函数的图像与函数的图像相切时，即方程只有一个实数根，
所以，得，此时与的图像有三个交点，
因此a的取值范围是.
故答案为：
15．已知实数满足，则的最大值为
【答案】
【分析】先对化简得，然后利用基本不等式可求得其最大值
【详解】解：因为，所以
所以

，当且仅当，即时取等号
所以的最大值为，
故答案为：
【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题
16．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为
【答案】
【详解】试题分析：的导数的导数为设与曲线相切的切点为相切的切点为则有公共切线斜率为又即有即为即有则有即为令则，当时，递减，当时，递增．
即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即有两解，
可得的范围是故答案为
【解析】导数的应用
四、解答题
17．已知向量，（），函数.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若是函数的任意两个相异零点，且的最小值为，求函数在上的值域.
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）先化简得到，进而用整体法求解函数单调递增区间；（2）根据零点及的最小值为得到，进而结合函数图象求出函数在上的值域.
【详解】（1）由已知
.
当时，，令，
解得：，
∴函数的单调递增区间为；
（2）由（1）知，令，得，
所以，.
当最小时，不妨取，，即，，则.
因为，则，故.
因为，所以，，
所以函数在上的值域为
18．已知数列，首项，设该数列的前项的和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的通项公式；
（3）在第（2）小题的条件下，令，是数列的前项和，若对，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）令求出，再令，由得出，两式相减得出，再结合可得知数列是以为首项，以为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式可求出；
（2）将代入，结合对数的运算律可求出；
（3）利用裂项求和法求出，求出的取值范围，从而可得出实数的取值范围.
【详解】（1）数列的前项的和为，且.
当时，则；
当时，由得出，
两式相减得，即，，又.
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，；
（2），
因此，；
（3），
所以，，
可知数列单调递增，所以，，且，则，
对任意，恒成立，则.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用求，同时也考查了等比数列定义的应用、对数运算、裂项求和法，在利用定义判定等比数列，要知晓定义式中的取值范围，确定数列从第几项开始成等比数列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求B；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】(1)或或；
(2).
【分析】（1）由余弦定理可得，然后根据特殊角三角函数结合条件即得；
（2）由题可得，然后根据正弦定理，三角恒等变换及三角函数的性质即得.
【详解】（1）因为，
所以，
∴或，
∵，
∴或或．
（2）∵为锐角三角形，由（1）可得，
根据正弦定理，
所以，，
所以
，
又∵为锐角三角形，
∴，故，
∵，，
∴．
20．已知函数为的导数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出导函数，由得到切线斜率，再根据点坐标即可得到切线方程；
（2）转化问题为，结合二次函数性质可求得的最小值，构造，由的导函数判断的单调性，利用端点值和极值判断的正负，进而判断的单调性，求得，即可求解.
【详解】（1）由题意，所以0，
即切线的斜率，且，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由题意知，
且的对称轴为直线，
所以当时，.
由（1），设，则，
所以，
当时，；
当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
又，所以在区间上只有一个零点，
设为，且当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，
所以当时，，
所以，即，
因此，实数的取值范围是.
21．已知等差数列的公差不为零，其前项和为，且是和的等比中项，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求和：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，利用题中的两个条件，即可求解;
（2）先利用递推作差法求得从而求得，再利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为是和的等比中项，
则，即，
化简得，
又，即，
化简得则，
故.
（2）因为，
所以，
两式相减得
又满足上式，所以
又，所以
则
，
，
两式相减得：
.
22．已知函数.
(1)若是定义域上的增函数，求a的取值范围；
(2)设分别为的极大值点和极小值点，若，求S的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先写出函数的定义域，对函数求导，是定义域上的增函数，转化为，即恒成立，从而求出的取值范围；
（2）将表示为关于的函数，设方程，由且，得的取值范围，利用根与系数的关系将表示为关于的函数，换元，利用导数研究函数可得结果．
【详解】（1）解：的定义域为，
∵在定义域内单调递增，
∴，即对恒成立，
则恒成立，
∴，
∵，∴，
所以a的取值范围是；
（2）解：设方程，即的两根为，且，
由且，得，
则，
∴，∴，
，
∵，
∴代入得，
令，则，
令，则，
，
∴在上递减，
∴，
即，
∴S的取值范围为.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的问题，涉及到的知识点由根据函数的定义域上的增函数求参数的取值范围，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的值域，属于难题．