2024届四川省成都石室阳安学校高三上学期10月月考数学（理）试题含答案

这是一份2024届四川省成都石室阳安学校高三上学期10月月考数学（理）试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用列举法表示集合A，再利用交集的定义求解即得.
【详解】依题意，，而，
所以.
故选：A
2．设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则
A．- 5B．5C．- 4+ iD．- 4 - i
【答案】A
【详解】试题分析：由题意，得，则，故选A．
【解析】1、复数的运算；2、复数的几何意义．
3．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的定义，结合诱导公式求解即可．
【详解】平面直角坐标系中，角的终边经过点，
则．
则．
故选：．
4．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】化简不等式，可知 推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
5．已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】画出不等式组表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出最小值.
【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影三角形，
由，解得，即点，
目标函数，即表示斜率为3，纵截距为的平行直线系，
当直线过点时，该直线的纵截距最小，最小，即，
所以的最小值为最小值为 .
故选：D
6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件等价为在上恒成立，即在上恒成立，求解的取值情况即可得出结果.
【详解】
由题意，已知条件等价为在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
在上单调递减，，
，
的取值范围是.
故选：B.
7．函数在的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先判断出的奇偶性，结合特殊值，利用排除法可得答案.
【详解】因为，定义域关于原点对称，
，即为奇函数，图象关于原点对称，故排除C；
，故排除AD.
故选：B.
8．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
【答案】B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
9．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数函数的单调性，结合媒介数比较大小即得.
【详解】依题意，，，而，
所以.
故选：D
10．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先证明平面SAC，再根据正弦定理求解外接圆的半径，进而根据外接球的性质确定球心的位置，结合直角三角形中的关系求解球半径得到体积即可
【详解】因为，所以.又，，所以平面SAC.在中，，，所以.又，则外接圆的半径为，取BC，AC的中点D，E，的外心为F，过D作平面ABC的垂线l，过F作平面SAC的垂线交l于点O，即为球心，连接DE，EF，FA，OA，则四边形DEFO为矩形，则，，所以，即三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的体积为.
故选：D
11．已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.
【详解】设，双曲线的半焦距为c，则有，，，
于是，
因此，
当且仅当时取等号，则，即，离心率，
所以双曲线离心率的最小值为.
故选：D
12．已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】可得表示点与点所在直线的斜率小于0，画出函数图象，数形结合即可求出.
【详解】画出的函数图象，
化简得，此式表示点与点所在直线的斜率，
可得曲线上只有一个点（x为整数）和点所在直线的斜率小于0，而点在直线上运动，
因为，，，
由图可得当时，只有点满足，
当时，只有点满足．
综上可得a的范围是，故所有满足条件的整数a的取值集合为.
故选：A．
二、填空题
13．函数且的图象恒过的定点是 .
【答案】
【分析】根据对数的运算性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以该函数的图象恒过的定点是，
故答案为：
14．已知，则 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及同角公式计算即得.
【详解】由，得，即，
两边平方得，所以.
故答案为：
15．若，且，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】化指数式为对数式，得到，从而得到方程，求出答案.
【详解】因为，所以，，
故，
则，
所以，解得.
故答案为：
16．已知函数，若存在四个不相等的实根，且，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据已知函数解析式作出函数图像，根据图像结合已知得出，，且，根据对数运算得出，即可对所求式子化简得出，再根据基本不等式得出答案.
【详解】作函数与图像如下：
存在四个不相等的实根，且，
则，，且，
则，即，得，
则，
当且仅当时，即，时，等号成立，
故答案为：.
三、解答题
17．已知函数.
(1)求函数单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求在的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先结合三角恒等变换得，再求函数单调递递减区间即可；
（2）根据图象平移写出的解析式，结合正弦型函数性质求区间值域即可.
【详解】（1）
所以，，解得
所以，函数单调递减区间为
（2）因为函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
所以，
因为，所以
所以，由正弦函数性质可知，
所以，在的值域为.
18．某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人.
(1)填写下面的列联表，判断是否有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
(2)规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为，求的分布列和期望.
附：
【答案】(1)表格见解析，有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）计算成绩小于60分的人数，填写2×2列联表，进行独立性检验即可；
（2）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，根据超几何分别写出分布列和期望即可．
【详解】（1）成绩小于60分的人数为：
由题意，得列联表如下表：
故有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
（2）由（1）知，200人中不及格的人数为80，及格人数为120
用分层抽样随机抽取的10名学生中不及格有4人，及格有6人
由题意，的所有可能取值为，且服从超几何分布，则，
即：
的分布列为.
19．如图所示，在三棱柱中，，平面平面，点为的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)若侧面为菱形，，，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直，再利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）先由面面垂直的性质定理证明线面垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值.
【详解】（1）因为，点为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）由题意可知平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，如图，以点为坐标原点，
分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

不妨设，则，由得，
设平面的一个法向量为，因为，，
所以，取，得，
设平面的一个法向量为，因为，，
所以，取，得，所以，
又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
20．已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，左顶点为D，离心率为，经过的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，
①证明：直线MN过定点；
②求的最大值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义求得，再由离心率为，求得，进而求得的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）①设，根据题意求得以为切点的椭圆C的切线方程，进而得到直线的方程为，得到直线过定点；②设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系求得，令，结合的单调递增，求得的最大值，再根据面积公式，进而求得的最大值.
【详解】（1）因为经过的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8，
所以，，解得，
因为椭圆的离心率为
所以，即.
所以
所以，椭圆C的方程为
（2）①由（1）知，设，
由题知，直线上一点P作椭圆C的两条切线斜率存在，
设过点且与椭圆相切的直线方程为：，
所以，联立方程得，
所以，有，
整理得，即
因为在椭圆上，
所以，即，，
所以，，即，
所以，，解得
所以，过点且与椭圆相切的直线方程为：
因为，即
所以，整理可得以M为切点的椭圆C的切线方程为，
同理，以N为切点的椭圆C的切线方程为，
又两切线均过点P，故，且，
整理化简得，且，
所以点，，均在直线上，
所以直线MN的方程为，且直线MN过定点.
②由题意，直线的斜率不为，设直线的方程为，
联立方程组，消去得，
可得，且，
可得
，
令，设，则函数在单调递增，
所以当时，即时，有最小值，
即的最大值为，
又由，
所以的最大值为，此时直线的方程为.

【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：
1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；
2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
21．已知函数.
(1)若，求函数图象在点处的切线方程；
(2)设存在两个极值点且，若，求证：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求解即得.
（2）先求出，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论．
【详解】（1）若，则，求导得，则，而，
于是，即，
所以函数图象在点处的切线方程为．
（2）函数，求导得，
由函数存在两个极值点，得方程存在两个互异的正实根，
即有，则，，
因此
，
令，，求导得，
于是函数在上单调递减，则，而，从而，
所以．
22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数，).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）分别写出曲线和直线的极坐标方程；
（2）直线与曲线交于，两点，若，求直线的斜率.
【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为；（2）.
【分析】（1）将圆的参数方程化为普通方程，在将普通方程化为极坐标方程，根据直线的参数方程得直线过坐标原点，且倾斜角为，再写极坐标方程.
（2）设，，将直线代入曲线的得，，再结合得，解方程得，故直线的斜率为.
【详解】解：由得.
由得曲线的极坐标方程为.
直线的极坐标方程为.
将直线，
代入曲线的方程得.
由，解得.
设，，
由韦达定理得，.
，，
所以，
所以，满足.
，或，
，直线的斜率为.
【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标，以及参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程的应用，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)已知函数的最小值为m，且a，b，c都是正数，，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）去掉绝对值分类讨论即可.
（2）根据函数的最小值求得，则，根据基本不等式结合 “1”的应用即可得证.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，原不等式的解集为.
（2）证明:，
当且仅当即时，等号成立，
则，，
故
，
当且仅当时，等号成立.
成绩小于60
成绩不小于60
合计
男
女
合计
0.10
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
成绩小于60
成绩不小于60
合计
男
40
80
120
女
40
40
80
合计
80
120
200
0
1
2