2024届上海市行知中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届上海市行知中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，证明题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，，则 .
【答案】
【分析】计算得到，再计算得到答案.
【详解】，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.
2．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是 ．
【答案】
【分析】圆柱的侧面展开为矩形，求出矩形的长和宽，得到侧面积.
【详解】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即，另一边长为2，故圆柱的侧面面积为.
故答案为：
3．过点斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
【答案】
【分析】根据直线的点斜式,再分别求出截距，计算面积及即得；
【详解】由题可得直线l方程为，即；
令，则,令，则,
则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，
故答案为: .
4．若方程有两虚根、，则
【答案】2
【分析】由题意知，求出方程的虚根为复数，再求复数的模即可.
【详解】已知方程有两虚根、，则，
所以
故答案为：2
【点睛】本题考查一元二次方程的虚根，复数的模，属于基础题.
5．已知函数（且）恒过定点，则 ．
【答案】3
【解析】由条件利用 为定值，求出的值，可得，求得的值，从而求得的值．
【详解】解：令，解得：，
故，
故，，
故，
故答案为：3．
6．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则 .
【答案】/3.5
【分析】由题意列出方程，求出.
【详解】由题知：，故由焦半径公式得：.
故答案为：.
7．已知向量，，若，则在上的投影向量为 ．
【答案】
【分析】根据垂直关系得出，再利用向量的投影的概念即得.
【详解】，，
，
解得，
，
，，
，
在上投影向量为：
.
故答案为：.
8．在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是 ．
【答案】
【分析】由题可得，然后利用二项式展开式的通项公式即得.
【详解】∵在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，
∴展开式中第5项是中间项，共有9项，
∴，
展开式的通项公式为，
令，得，
∴展开式中含项的系数是.
故答案为：.
9．已知函数．若，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出函数的图象得到，然后结合图象即可求解.
【详解】作出函数的图象，如图所示，

如，则，
又因为，结合图象可知：，
所以实数m的取值范围是，
故答案为：.
10．已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意，问题等价转化为f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，分别求出最值，列出不等式求解即可.
【详解】由题意f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，
所以f(0)≥g(2)，即，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的最值问题，属于简单题.
11．已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】转化为的图象在上有公共点．作出的图象，取，，点在线段上，这样的图象是过线段和抛物线弧上各一点的直线，表示 直线的斜率，由图象可得其范围．
【详解】问题等价于在上有公共点．
，
设，，点在线段上，
的图象是过线段和抛物线弧上各一点的直线如图，其中．
故答案为：．
12．对于数列，令，给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则；
③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；
④若对任意的，都有，则有.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【分析】逐项代入分析求解即可.
【详解】对于①：
因为，
且因为，
所以，
所以，
故选项①正确；
对于②：若，则
所以，
所以两式相减得，
所以，
所以，
所以，
故选项②正确；
对于③：，
，
所以若对任意的都成立，
则有，
所以
，
因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从越来越小，之后甚至会出现大于某数绝对值的情况，例如：，后续还会有绝对值，但是会有矛盾，故选项③错误；
对于④：
若对任意的，都有，
则有.
.
故选项④正确；
故答案为：①②④.
二、单选题
13．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用不等式的性质判断出“”则有“”，通过举反例得到“”成立推不出“”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．
【详解】解：若“”则有“”
反之则不成立，例如满足“”但不满足“”
∴“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】此题主要充分不必要条件的判断，涉及不等式的基本性质，此题可以举反例进行求解．
14．若复数（为虚数单位），若其共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数除法运算化简，根据对应点所在象限列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】因为复数，
其共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
15．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把待求式中“1”用替换，然后用基本不等式求得最小值．
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：C．
16．曲线：，下列两个命题：
命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128；
命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4；
下面说法正确的是（ ）
A．甲是真命题，乙是真命题B．甲是真命题，乙是假命题
C．甲是假命题，乙是真命题D．甲是假命题，乙是假命题
【答案】A
【分析】把代入，变形等式并确定图形在直线的下方（除点外）判断命题甲；当取正偶数时，分析曲线的性质，判断点与曲线的位置关系判断乙命题作答.
【详解】命题甲：当时，曲线：是端点为，在第一象限的曲线段，
由，得，，
而，当且仅当或时取等号，
即有，则曲线除两个端点外均在直线的下方，
因此曲线除端点外，在直线与坐标轴围成的区域内，
直线交轴分别于点，，
所以当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128，甲是真命题；

命题乙：当k=2n，时，曲线：，显然，
即曲线关于x轴对称，也关于y轴对称，且在平行直线和平行直线所围成矩形及内部，
曲线是封闭曲线，其面积是曲线与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴所围面积的4倍，
显然，即点在曲线内，而以点为顶点的正方形面积为1，
曲线上的点，当x在0到1间任意取值时，y均大于1，当y在0到1间任意取值时，x均大于1，
因此，所以曲线围成的面积恒成立，乙是真命题.
故选：A
【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称.
三、证明题
17．如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求证：平面；
（2）若PC与平面所成的角为，求点A到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）点A到平面PCD的距离为．
【分析】（1）根据已知条件，利用平面几何知识分析底面形状，得到AC⊥CD,进而结合已知条件PA⊥底面ABCD，利用线面垂直的判定定理证得；
（2）根据（1）的结论，利用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PCD,利用面面垂直的性质定理得到A到平面PCD的垂线，垂足H在PC上，根据已知线面角由AC的长度求得AH，即为A到平面PCD的距离.
【详解】（1）连接AC,∵AB=BC=1,∠ABC为直角，∴AC=,∠BAC=,
又∵∠BAD=，∴∠CAD=,
又∵AD=2,
∴ACD为等腰直角三角形，∴AC⊥BC,
又∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD，
又∵PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC，
∴CD⊥平面PAC;
（2）∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是PC与平面ABCD所成的角，
故由已知得∠PCA=,
在PAC中，过A作AH⊥PC,垂足为H,
则A到斜边PC的距离AH=ACsin,
∵CD⊥平面PAC,CD⊂平面PCD,∴平面PAC⊥平面PCD,
又∵平面PAC∩平面PCD=PC,
AH⊥PC,AH⊂平面PAC,
∴AH⊥平面PCD,
即AH就是A到平面PCD的距离，
∴A到平面PCD的距离为.
【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直的判定与性质，涉及线面角，点到平面的距离，属基础题.关键是要熟练掌握并使用线面、面面垂直的判定定理与性质定理实现空间垂直的转化.
四、解答题
18．若数列的前项和满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推式关系再写一项做差，之后利用等比数列定义证明；
（2）先求出的表达式，之后进行裂项求和即可.
【详解】（1）证明：由，当时，可得；
当时，，所以，
∴时，，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列；
∴，∴.
（2）证明：由（1）知，，∴，
∴，
∴,
因为，所以，所以即成立．
所以对任意的正整数，都有得证.
19．已知函数，的内角所对的边分别为，，且的外接圆的半径为.
(1)求角的大小；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，由求出的值；
（2）利用正弦定理求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为
，
又，所以，
因为，所以，则，所以.
（2）由正弦定理得，即，
所以，
由余弦定理得，
当且仅当时等号成立，所以，
因为，
又的最大值为，所以面积的最大值为，当且仅当时取最大值.
20．已知椭圆长轴的两顶点为、，左右焦点分别为、，焦距为且，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）在双曲线上取点（异于顶点），直线与椭圆交于点，若直线、、、的斜率分别为、、、．试证明：为定值；
（3）在椭圆外的抛物线：上取一点，、的斜率分别为、，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）证明过程见详解；（3）.
【分析】（1）本小题先建立方程组，再求出，，，最后求出椭圆的方程即可；
（2）本小题先得到，再得到，接着判断，最后得到结论即可；
（3）本小题先用表示出，（且），再建立函数求导得到的取值范围，最后求导的取值范围.
【详解】（1）因为过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3，所以，
所以，解得：，，，
所以椭圆的方程：；
（2）由（1）可知：、、、，
设点，则，整理得：，
；
设点，则，整理得：，
.
又因为与共线，所以，，所以，
所以，
所以为定值；
（3）设，由，解得：，
由在椭圆外的抛物线：上一点，则，
则，（且）；，（且），
则，（且），
则，（且），
令，（且），设，（且），
则，所以在，上单调递增，
所以的取值范围：，
所以的取值范围.
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，圆锥曲线相关的定值问题、圆锥曲线相关的参数取值范围问题，是偏难题.
21．设函数，其中．
(1)若，求的单调区间；
(2)若，
（ⅰ）证明：恰有一个极值点；
（ⅱ）设为的极值点，若为的零点，且，证明：．
【答案】(1)增区间为，无减区间;
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求导，根据单调性与导数的关系求解即可；
（2）（ⅰ）由题知，进而构造函数，研究函数单调性，结合零点存在性定理可得存在唯一，使得，进而得函数的单调性即可证明；
（ⅱ）结合题意得，再根据得，再取对数后放缩即可得.
【详解】（1）解：当时，，定义域为，
所以，在恒成立，
所以，在上单调递增.
所以，函数的增区间为，无减区间.
（2）解：（ⅰ）证明：,定义域为
所以，，
令，因为，
所以在恒成立，
所以，在上单调递减，
因为，，，，
所以，存在唯一，使得， 即，
所以，当时，，即，单调递增，
当时，，即，单调递减，
所以，函数在处取得极大值，为的极大值点，无极小值点.
所以，恰有一个极值点.
（ii）因为为的极值点，若为的零点，且，
所以，且，即且，，
所以，且，
所以
令，则在时恒成立，
所以为增函数，，即，
因为，，
所以，，
所以，
所以，即，
所以.
【点睛】本题第二问解题的关键在于根据不等式对进行放缩得，进而证明结论.