江苏省南京市秦淮区钟英中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试题（解析版）

这是一份江苏省南京市秦淮区钟英中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：100分）
一、选择题（共六题：共18分）
1. 下列计算中，结果是的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则计算后利用排除法求解．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
D、，符合题意．
故选D.
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方．需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
2. 流感病毒的直径约为0.000 000 72 m，其中0.000 000 72用科学记数法可表示为（ ）
A. 7.2×107B. 7.2×10-8C. 7.2×10-7D. 0.72×10-8
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000 00072=7.2×10-7，
故选C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：根据因式分解的定义，可知A，C，D选项不是几个整式积的形式，
只有B选项，是因式分解，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键．
4. 下列命题是真命题的是（ ）．
A. 如果，那么B. 如果，那么点是线段的中点
C. 如果，那么D. 如果，那么
【答案】A
【解析】
【分析】根据等式的性质，线段中点的定义，绝对值的意义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 如果，那么，原选项是真命题，符合题意；
B. 当点在线段上时，如果，那么点是线段的中点，原选项是假命题，不合题意；
C. 如果，那么，原选项是假命题，不合题意；
D. 如果，那么或，原选项假命题，不合题意；
故选：A．
【点睛】该题主要考查了命题与定理中的真、假命题及其判断问题；解题的关键是灵活运用所学的定义、定理等数学知识对所给的命题逐一分析、比较、判断、解答．
5. 如图，下列说法正确的是（ ）．
A 若，则∠1=∠2
B. 若，则∠3=∠4
C. 若∠1=∠2，则
D. 若∠2+∠3+∠A=180°，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定与性质依次分析各选项即可作出判断，要注意哪两条直线是被截线．
【详解】解：
A．若，则∠3=∠4，故错误；
B．若，则∠1=∠2，故错误；
C．若∠1=∠2，则，故错误；
D．若∠2+∠3+∠A=180°，则，本选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，本题属于基础应用题，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
6. 有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】设2为a，3为b，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式将a、b代入，即可得出答案．
【详解】解：设2为a，3为b，
则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，
4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，
6张边长为3的正方形纸片的面积是6b2，
∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，（b＞a）
∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8，
故选C．
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是完全平方公式．
二、填空题（共十题：共20分）
7. 计算的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可得解．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，熟记同底数幂的除法法则是解题的关键．
8. 计算3x2•2xy2的结果是_____．
【答案】6x3y2
【解析】
【分析】根据单项式乘以单项式的法则即可求出答案．
【详解】解：原式＝6x3y2
故答案为6x3y2
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，解题的关键是熟练运用单项式乘以单项式的乘法法则．
9. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：=；
故答案为
10. 如图，直线、被直线所截，，当______时，．
【答案】115
【解析】
【分析】若，则，由可得的度数，从而求得的度数．
【详解】解：如图，若要，则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：115．
【点睛】本题考查平行线的判定方法，熟记平行线判定方法是解题的关键．
11. 命题：如果a=b，那么|a|=|b|，其逆命题是______．
【答案】如果|a|=|b|，那么a=b
【解析】
【分析】根据逆命题的定义回答，题设和结论与原命题要调换位置．
【详解】解：命题：如果a=b，那么|a|=|b|，其逆命题是如果|a|=|b|那么a=b．
故答案为：如果|a|=|b|，那么a=b.
【点睛】本题考查了互逆命题的定义，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做另一个命题的逆命题.
12. 若多项式x+m与x+1乘积的结果中不含x的一次项，则m＝_________.
【答案】-1
【解析】
【分析】将两个多项式相乘化简后，令一次项的系数为0即可．
【详解】（x+m）（x+1）
=
=
∵不含一次项，
∴m+1=0，解得m=-1，
故答案为：-1
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式， 熟练地掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．多项式乘以多项式，把前面一个多项式的每一项分别乘以后面一个多项式的每一项．
13. 在的运算过程中，依据是______．
【答案】积的乘方运算法则
【解析】
【分析】根据积的乘方法则∶把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得答案．
【详解】解∶在的运算过程中，依据是积的乘方运算法则，
故答案为∶积的乘方运算法则．
【点睛】此题主要考查了单项式乘法和积的乘方，关键是掌握积的乘方计算法则．
14. 若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据逆用幂的乘方与同底数幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘方，掌握幂的乘方与同底数幂的乘方运算法则是解题的关键．
15. 如图，，平分，若，，则__________°．
【答案】100
【解析】
【分析】根据平行线定理即可解答.
【详解】解：已知AB//CD//EF，CG平分∠BCE，∠B=120°，∠GCD=10°，
根据AB//DC可得∠BCD=60°，
故∠BCG=70°，
即∠GCE＝∠BCG=70°，∠DCE=80°，
又因为DC//FE，
故∠E=100°.
点睛】本题考查平行线定理，两直线平行，同旁内角互补.
16. 如图①是一长方形纸带，∠DEF等于α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是_______．(用含α的式子表示)
【答案】180°－3α
【解析】
【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=α，根据平角定义，则∠EFC=180°-α，进一步求得∠BFC=180°-2α，进而求得∠CFE=180°-3α．
【详解】解：∵AD∥BC，∠DEF=α，
∴∠BFE=∠DEF=α，
∴∠EFC=180°-α，
∴∠BFC=180°-2α，
∴∠CFE=180°-3α，
故答案为180°－3α.
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，解题关键是根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
三、解答题（共九题：共62分）
17. 计算：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．（用简便方法计算）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式，积的乘方，同底数幂的除法进行计算，然后合并同类项即可求解；
（3）根据完全平方公式，多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项即可求解；
（4）根据平方差公式因式分解，即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，零次幂，同底数幂的除法，完全平方公式，多项式乘以多项式，因式分解，正确的计算是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【解析】
分析】根据平方差公式、多项式乘多项式法则进行化简运算，然后再代入数据求值即可．
详解】原式
，
把，代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算求值，熟练掌握平方差公式和多项式乘多项式法则是解题的关键．
19. 把下列各式分解因式：
（1）a3－4a2＋4a； （2）a2(x－y)－b2(x－y)．
【答案】（1）a（a-2）2；（2）（x-y）（a+b）（a-b）．
【解析】
【分析】（1）原式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．
【详解】（1）a3-4a2+4a
=a（a2-4a+4）
=a（a-2）2；
（2）a2（x-y）-b2（x -y）
=（x-y）（a2-b2）
=（x-y）（a+b）（a-b）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20. 如图：，点是上一点，，平分交于点，求的度数．
【答案】69°．
【解析】
【分析】由平角求出的度数，由角平分线得出的度数，再由平行线的性质即可求出的度数．
【详解】解：，
，
平分，
，
又，
．
【点睛】本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义．熟练掌握平行线的性质，求出的度数是解决问题的关键．
21. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，将先向右平移4个单位得，再向上平移2个单位得．
（1）画出平移后的及．
（2）在整个平移过程中，线段扫过的面积是______．
【答案】（1）作图见解析；
（2）24．
【解析】
【分析】（1）根据图形平移的性质画出及即可；
（2）根据线段扫过的面积即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：线段扫过的面积
故答案为24．
【点睛】本题考查了作图-平移变换，根据题意得作出平移图形是解题的关键．
22. 把下面的证明过程补充完整：
已知：如图，，，求证：．
证明：∵（已知），
∴（______），
∴（______），
∵（已知），
∴______（等量代换），
∴（______），
∴（______）．
【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定定理，结合图形完成填空即可求解．
【详解】证明：∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
23. 学习了乘法公式后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式因式分解；②求多项式的最小值．
请你运用上述的方法解决下列问题：
（1）将多项式因式分解．
（2）求多项式的最大值．
【答案】（1）；
（2）最大值为．
【解析】
【分析】（1）加上9就可以用完全平方分解，然后再用平方差公式分解即可；
（2）先配方，再利用即可解决问题．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
因为，所以
所以
所以当时， 的值最大，最大值为．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，本题关键是利用二次项系数和一次项系数的特殊性，加上一次项系数一半的平方，可以构成完全平方公式，同时要减去加上一次项系数一半的平方，使整式的值不变．
24. 证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：如图， ．
求证： ．
证明：
【答案】见解析．
【解析】
【分析】根据命题的题设和结论，画出图形，写出已知、求证；再作直线DF交直线a、b、c，交点分别为D、E、F，根据平行线的性质由得∠1=∠2，由得∠2=∠3，则∠1=∠3，然后根据平行线的判定得到．
【详解】解：证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：如图， 已知 ．
求证： ．
证明：作直线DF交直线a、b、c，交点分别为D、E、F，
∵，
∴∠1＝∠2，
又∵，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴．
【点睛】本题考查了命题的证明和平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
25. 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则＝ ．
（4）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．
【答案】（1）；
（2）；
（3）9； （4）．
【解析】
【分析】（1）依据正方形的面积；正方形的面积，可得等式；
（2）依据，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：，而，即可得到x，y，z的值．
（4）根据原几何体的体积等于新几何体的体积，列式可得结论．
【小问1详解】
解：由图2得：
正方形的面积可表示为：，
正方形的面积也可表示为：，
故答案为：；
【小问2详解】
∵
，
故答案为：；
【小问3详解】
由题意得：
故答案为：9；
【小问4详解】
∵原几何体的体积为：
，
新几何体的体积为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．①
．
②由①知：
，
因为，
所以，
所以当时，的值最小，最小值为．