精品解析：四川省成都市树德中学高三上学期入学考试数学（理）试题

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树德中学高级高三开学考试试题（理科数学）
一､选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合A，结合交集的概念和运算即可得出结果.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：C
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘、除法运算即可得出结果.
详解】由题意知，
.
故选：B
3. 航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将已知条件，代入中，转化为指数形式，计算的值即可求解.
【详解】由题意可知：，，
代入可得，
所以，可得，
可得，即，
所以，
所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍，
故选：A.
4. 已知向量，，，则（ ）
A. 6 B. 5 C. 8 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再将两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由得： ，
由得，
即得，
故选：D
5. 已知数列满足：，点在函数的图象上，记为的前n项和，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由以及解析式求出，再由得出答案.
【详解】由题得，解得，故，所以
故选：A．
6. 现安排编号分别为1，2，3，4的四位抗疫志愿者去做三项不同的工作，若每项工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一项工作，且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作，则不同的安排方法数为（ ）
A. 36 B. 24 C. 18 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】先按照要求将志愿者分为3组，再分配到三项工作，最后由分步计数原理求解即可.
【详解】先将四位志愿者分为2人、1人、1人共3组，有1号和3号一组；2号和4号一组；1号和4号一组共3种情况；
再将3组志愿者分配到三项工作有种；
按照分步乘法计数原理，共有种.
故选：C.
7. 已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得四棱锥的高和斜高，利用等体积法求得内切球的半径，即可求得其体积.
【详解】如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接,PO,OE,PE,
则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，

因为,故 ,则 ，
设该四棱锥的内切球的半径为r，
则 ，
即 ，解得 ，
故内切球体积为 ,
故选：B
8. 双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点得到点A的坐标，再根据D是线段OF的中点，得到D点的坐标，继而可以得到直线AD的方程，又由于点B是圆上的点，点B到直线AD距离的最大值也就是圆心O到直线AD的距离d加上半径，即得解.
【详解】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，
因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，
则直线AD的方程为，
点B是圆上的一点，
点B到直线AD距离的最大值也就是圆心O到直线AD的距离d加上半径，即，，
则
故选：A
9. 已知数列的前n项和满足，若数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】已知，则有，做差求，再检验，求出的通项公式，代入求，裂项法求和计算结果.
【详解】，
当时，
，
当时，，，，所以
.
故
，
故选：D.
10. 已知函数，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数的奇偶性，利用导数证明函数的单调性，将化为，比较的大小关系即可得答案.
【详解】函数的定义域为，
，故为偶函数，
当时，，令，则，
即单调递增，故，
所以，则在时单调递增，
由于
因为，
而，，
即 ，则，
故选：B
11. 某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20的大⊙O上，点M，N在半径为10的小⊙O上，点O，P在弦MN的同侧.设，当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（ ）

A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】设△PMN的面积为，进而得，利用导数研究函数的单调性求出函数的最大值，结合二倍角的余弦公式计算即可得出结果.
【详解】等腰△PMN中，，设△PMN的面积为，
则，，
求导
，
令，即，解得：（舍去负根），
记，，
当，，函数单调递增；
当，，函数单调递减；
故当时，即，取得极大值，即最大值，
则
故选：C.
12. 若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可
【详解】，，设公切线与的图象切于点，与曲线切于点，
∴，故，所以，∴，∵，故，
设，则，
∴在上递增，在上递减，∴，
∴实数a的最大值为e
故选：B.
二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 的展开式中的常数项为___________.（用数字作答）
【答案】50
【解析】
【分析】根据，再分别根据二项式定理求解中的常数项与项即可
【详解】因为，考虑中的常数项与项.由通项公式，即，故当时，中的常数项为，当时，中的项系数为，故的展开式中的常数项为
故答案为：
14. 已知抛物线的焦点为F，点M为C上一点，点N为x轴上一点，若是边长为2的正三角形，则p的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】由题意可得，，然后将点的坐标代入抛物线方程中可求出p的值
【详解】解：如图，因为是边长为2的正三角形，所以可得，

当M与焦点F的横坐标相同时，，
所以点M位于点F的左侧，
所以，
所以，
因为点在抛物线上，
所以，化简得，
解得（舍去），或，
故答案为：3
15. 已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.
【答案】330
【解析】
【分析】分别讨论为奇数时，数列的通项公式与为偶数时，数列的通项公式，再利用分组求和法代入求和即可.
【详解】由题意，当为奇数时，，
所以数列是公差为，首项为等差数列，
所以，
当为偶数时，，
所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，

，
故答案为：330
16. 在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，，N为线段AQ的中点，给出下列命题：

①与共面；
②三棱锥的体积跟的取值无关；
③当时，；
④当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为.
其中正确的有___________（填写序号）.
【答案】①②④
【解析】
【分析】由为中点，得到即可判断①正确；到平面的距离与的面积均为定值，可判断出②正确；时，，可判断③错误；时，得到三点的正方体的截面是等腰梯形，计算后可知④正确.
【详解】
在中，为的中点，，与共面，①正确；
，到平面的距离为定值，且的面积为定值，三棱锥的体积跟的取值无关，②正确；
时，可得，则，所以不成立，③错误；
时，过三点的正方体的截面是等腰梯形，所以平面截正方体所截得的周长为，④正确.
故答案为：①②④.
三､解答题
17. 在非直角中，角，，对应的边分别，，，满足.
（1）判断的形状；
（2）若边上的中线长为2，求周长的最大值.
【答案】（1）等腰三角形
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理结合条件可得或，又为非直角，从而判断三角形为等腰三角形；
（2）在△ABD和△ABC中，由余弦定理可得，设，，将周长的最大值转化为三角函数的最大值问题，可求得结果．
【小问1详解】
，
，
可得．
即
根据正弦定理，得．代入式，化简得．
即，为外接圆的半径）
化简得，
或，即或，又非直角，
因此是等腰三角形．
【小问2详解】
在△ABD和△ABC中，
由余弦定理可得，又，
所以，所以，
设，，，
所以△ABC的周长2a+ c=，
所以当时，2a+ c有最大值为,
即△ABC周长的最大值为.
18. 为弘扬中国传统文化，某电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易､中､难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次.四轮答题得分总和不低于10分进入决赛.选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：

容易题
中等题
难题
答对概率
0.6
0.5
0.3
答对得分
3
4
5

（1）若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；
（2）甲四轮答题中，选择了一个容易题､两个中等题､一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为，求随机变量的数学期望.
【答案】（1）选择容易题进行答题，理由见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案：即都选择容易题，都选择难题，选择一个容易题、一个难题，分别求出总得分不低于10分的概率，即可判断；
（2）依题意的可能取值为、、、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列，再求出数学期望即可；
【小问1详解】
解：依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案：
方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为；
方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为；
方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为；
因为，所以后两轮应该选择容易题进行答题；
【小问2详解】
解：依题意的可能取值为、、、、、，
则，，
，，
，，
所以的分布列为：














所以
19. 如图，是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且，为BC边的中点，AM交EF于点，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使.

（1）证明：平面平面；
（2）试探究在线段DM上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）时二面角的大小为
【解析】
【分析】（1）先由勾股定理证，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证明平面平面BEFC；（2）建立空间直角坐标系设，再利用向量法求解.
【小问1详解】
在中，易得，，，
由，得，
又，，，
又为中点，，，
因为，平面，
平面，又平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
由(1) 平面，以为原点，以为的正方向建立空间直角坐标系，，，
，，
由(1)得平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
所以，所以.
由题得,所以，
所以，所以，
因为二面角P—EN—B的大小为60°，
所以，解之得（舍去）或.
此时，所以.

20. 已知点A，B分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆的左、右焦点，，P为椭圆上异于A，B的一个动点，的周长为12．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知点，直线PM与椭圆另外一个公共点为Q，直线AP与BQ交于点N，求证：当点P变化时，点N恒在一条定直线上．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，即可求解；
（2）方法一，设直线PQ的方程：，与椭圆方程联立，再利用坐标表示直线的方程，联立方程，求交点坐标；方法二，利用点在椭圆上，以及点在椭圆上，表示坐标的关系，代入点的坐标，即可判断.
【小问1详解】
设椭圆的焦距为2c，则，，，
，，
由得，即
由的周长为12，得，所以，，
，
故椭圆E的方程为：
【小问2详解】
设直线PQ的方程：，，
（此处若设点斜式方程，需要讨论斜率是否存在，无讨论的扣1分，只讨论斜率不存在的情况给1分）
联立方程组得，
恒成立．
，即①
直线AP的方程：，直线的方程：，
联立方程组消去y，得②
由①②得
所以，当点P运动时，点N恒在定直线上．
方法二
设，，
设直线AP的方程：，直线BQ的方程：
联立得①
又∵P，Q两点在椭圆E上，
因此，，②，
故P，M，Q三点共线，所以，
即③
由②，③得
将其代入①得
所以，当点P运动时，点N恒在定直线上
21. 已知函数，．
（1）比较与的大小；
（2）设方程有两个实根，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，再求导分析的单调性与最值即可；
（2）构造函数，求导分析，设极值点为，根据零点存在定理确定，再分析的最小值，代入满足的关系式化简，再根据零点存在定理证明即可
【小问1详解】
设，
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故的最大值为，
故．
【小问2详解】
方程有两个实根，即有两个实根，令，
则，
令．
又由，
得在上单调递增．
又，，
存在，使，
即，
在上单调递减，在上单调递增，
．
由在上单调递减，得．
又，，
，
，
．
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式的问题，需要构造函数求导分析单调性与最值，同时也考查了隐零点在分析函数最值方面的运用，需要结合零点存在定理，设零点并分析其区间，再代入函数分析最值，属于难题
22. 在平而奁角坐标系xOy中，曲线的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线和的直角坐标方程；
（2）已知点是曲线上一点､M，N分别是和上的点，求的最大值.
【答案】（1）：，：，：；（2）15.
【解析】
【分析】
（1）由曲线参数方程消去参数可得曲线普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线和的直角坐标方程.
（2）由双曲线的定义可得，由点是曲线上一点、分别是和上的点，得到，，即可求解的最大值.
【详解】（1）由曲线的方程为（为参数），消去参数可得曲线的方程为，
由曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程，
根据极坐标与直角坐标的互化公式，且，
可得曲线直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.
（2）由（1）知双曲线，则，，可得，
所以，，
由双曲线的定义，可得，
因为点是曲线上一点、分别是和上的点，
可得，，
所以，
所以的最大值为.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及双曲线的定义和圆的性质的应用，着重考查了推理与运算能力，圆锥曲线的定义的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.
23. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）分别在、和三种情况下，去除绝对值符号后解不等式求得结果；
（2）将问题转化为在上恒成立，得到，从而确定，可得，解不等式组求得结果.
【详解】（1）当时，原不等式可化为.
①当时，，解得：，；
②当时，，解得：，；
③当时，，解得：，；
综上所述：不等式的解集为或.
（2）由知：，
，在上恒成立，
，即，，解得：，
，解得：，即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是能够根据将问题转化为恒成立问题的求解，从而将问题转化为参数与的最值之间大小关系的问题.