2023-2024学年云南师大附中润城学校八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年云南师大附中润城学校八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共26页。

A．B．C．D．
2．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足|m﹣3|+（n﹣5）2＝0，那么它的周长是（ ）
A．11B．13C．11或13D．11或15
4．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
5．由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．两点之间，线段最短
C．三角形的内角和为180°
D．垂线段最短
6．若三角形的三边长分别为3，1+2x，8，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜5B．3＜x＜8C．4＜x＜7D．5＜x＜9
7．如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是（ ）
A．AB＝A′B′B．BC∥B′C′C．直线l⊥BB′D．∠A′＝120°
8．将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ）
A．B．C．D．
9．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．75°或15°B．30°或60°C．75°D．30°
10．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．1cm
12．如图，在△ABC中，∠A＝55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DB的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
二.填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周长为27cm，则△ABD的周长为 cm．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是 ．
15．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为 ．
16．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
三.解答题（本大题共8小题，共56分）
17．已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
（2）若△ABC为等腰三角形，且周长为18，a＝4，求b，c的值；
（3）若b＝a+2，c＝a+5，且△ABC的周长不超过37cm，求a的取值范围．
18．（1）已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多30°，求这个多边形的边数；
（2）一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
20．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
（2）若A、B关于y轴对称，求（4a+b）2014的值．
21．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标．
（3）点P是y轴上一点且S△PAB＝4，请求出点P的坐标．
22．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠EBC＝180°
求证：2AE＝AB+AD．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
24．（概念学习）
在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角，如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝ °；
（理解运用）
习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与钝角∠BCD之间的数量关系，
（拓展延伸）
（3）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；（用含α的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延长AB、DC交于P，∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∠A+∠QCP＝180°；
直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM．
参考答案
一.选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
3．已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足|m﹣3|+（n﹣5）2＝0，那么它的周长是（ ）
A．11B．13C．11或13D．11或15
【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
解：∵|m﹣3|+（n﹣5）2＝0，
∴m﹣3＝0，n﹣5＝0，
解得m＝3，n＝5，
当m＝3作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：3+3+5＝11，
当n＝5作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：3+5+5＝13．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．
4．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
【分析】由三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．
解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】注意直角三角形中有一个内角为90°．
5．由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．两点之间，线段最短
C．三角形的内角和为180°
D．垂线段最短
【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．
解：由图可知，手机和支架组成了一个三角形，而三角形具有稳定性，所以手机能稳稳放在支架上．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．
6．若三角形的三边长分别为3，1+2x，8，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜5B．3＜x＜8C．4＜x＜7D．5＜x＜9
【分析】首先根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边可得8﹣3＜1+2x＜3+8，解不等式即可．
解：根据三角形的三边关系可得：8﹣3＜1+2x＜3+8，
解得：2＜x＜5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
7．如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是（ ）
A．AB＝A′B′B．BC∥B′C′C．直线l⊥BB′D．∠A′＝120°
【分析】由题意可知本题主要考查轴对称的性质，做此题之前可先回忆一下轴对称的性质，再利用对称轴的性质来判断．
解：由图形可知：
A、点A和B对称点是点A′和B′，所以AB＝A′B′．故A是正确的；
B、点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′，所以BC∥D′E′，DE∥B′C′．故B是错误的．
C、点B、E对称点分别是点B′、E′，所以BB’⊥直线l．故C是正确的．
D、正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′
所以六边形A′B′C′D′E′F′也是正六边形，则∠A′＝120°．故D是正确的．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称的性质与运用．轴对称的性质是学习轴对称的基础，也是重点、考点，需要牢固掌握．
8．将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
解：由于得到的图形的中间是正方形，且顶点在原来的正方形的对角线上，
故选：A．
【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
9．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．75°或15°B．30°或60°C．75°D．30°
【分析】根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角．
解：如图①：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝AC
∴∠A＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝＝75°；
如图②：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝2∠B＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝15°．
这个三角形的底角为：75°或15°．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形的性质与等腰三角形的性质，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
10．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据全等三角形的对应边相等判断即可．
解：如图，
△ABP4≌△ABC，
△ABP3≌△ABP1，
△ABP4≌△ABP1，
则符合条件的点P有3个，
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
11．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．1cm
【分析】过P作PD⊥OB于D，根据等腰三角形的性质和已知条件求出MD，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，再求出答案即可．
解：过P作PD⊥OB于D，
∵PM＝PN，MN＝2cm，
∴MD＝ND＝1（cm），
∵PD⊥OB，
∴∠PDO＝90°，
∵∠POB＝60°，
∴∠OPD＝30°，
∴OD＝OP，
∵OP＝8cm，
∴OD＝4（cm），
∴OM＝OD﹣MD＝3（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半．
12．如图，在△ABC中，∠A＝55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DB的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【分析】首先求出∠AED＝∠A′ED＝55°，再利用三角形内角和定理求出∠ADE＝∠A′DE＝70°即可解决问题．
解：∵∠AEA′＝180°﹣∠A′EC＝180°﹣70°＝110°，
又∵∠A′ED＝∠AED＝∠AEA′＝55°，∠DA′E＝∠A＝55°，
∴∠A′DE＝∠ADE＝180°﹣∠A′ED﹣∠DA′E＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
∴∠A′DB＝180°﹣70°﹣70°＝40°
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二.填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周长为27cm，则△ABD的周长为 30 cm．
【分析】利用中线定义可得BD＝CD，进而可得AD+DC＝AD+BD，然后再求△ABD的周长即可．
解：∵△ACD的周长为27cm，
∴AC+DC+AD＝27cm，
∵AC＝9cm，
∴AD+CD＝18cm，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AD+BD＝18cm，
∵AB＝12cm，
∴AB+AD+BD＝30cm，
∴△ABD的周长为30cm，
故答案为：30，
【点评】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形的中线定义．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是 30 ．
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DC＝4，根据三角形的面积公式计算即可．
解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝4，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝30，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为 40° ．
【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．
解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．
16．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 10 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
三.解答题（本大题共8小题，共56分）
17．已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
（2）若△ABC为等腰三角形，且周长为18，a＝4，求b，c的值；
（3）若b＝a+2，c＝a+5，且△ABC的周长不超过37cm，求a的取值范围．
【分析】（1）利用三角形的三边关系得到a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，然后去绝对值符号后化简即可；
（2）由等腰三角形的周长为18，三角形的一边长a＝4，分a是底边与a为腰去分析求解即可求得答案．
（3）根据三边关系以及题意得到即，解不等式组得出a的取值范围即可．
解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c＝a+b+c；
（2）若a是底边，则b＝c，则2b+4＝18，
解得：b＝7，即b＝c＝7，
若a是腰，a＝b，则2×4+c＝18，解得：c＝10，
而4+4＜10，不能构成三角形，舍去，
所以b＝c＝7．
（3）根据三角形三边关系和题意得，
即，
解得3＜a≤10．
【点评】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．
18．（1）已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多30°，求这个多边形的边数；
（2）一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．
【分析】（1）一个正多边形的每个内角比它相邻的外角的4倍还多30°，又由于内角与外角的和是180度．设每个内角是x°，每个外角是y°，列方程组求解；
（2）设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和是（n﹣2）•180°，多边形的外角和是360°列出方程，解方程求出n的值即可．
解：（1）设这个多边形的每个内角是x°，每个外角是y°，
则得到一个方程组
解得，
而任何多边形的外角和是360°，
则多边形内角和中的外角的个数是360÷30＝12，
则这个多边形的边数是12；
（2）设这个多边形的边数为n，
依题意得：（n﹣2）180°＝360°，
解得n＝9，
答：这个多边形的边数为9．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，正确的列出方程组是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
【分析】（1）根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，
∵∠B+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∠DEF+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∴∠B＝∠DEF，
∵∠A＝50°，AB＝AC，
∴∠B＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DEF＝65°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．
20．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
（2）若A、B关于y轴对称，求（4a+b）2014的值．
【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得2a﹣b＝2b﹣1，5+a﹣a+b＝0，解可得a、b的值；
（2）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得2a﹣b+2b﹣1＝0，5+a＝﹣a+b，解出a、b的值，进而可得答案．
解：（1）∵点A、B关于x轴对称，
∴2a﹣b＝2b﹣1，5+a﹣a+b＝0，
解得：a＝﹣8，b＝﹣5；
（2）∵A、B关于y轴对称，
∴2a﹣b+2b﹣1＝0，5+a＝﹣a+b，
解得：a＝﹣1，b＝3，
（4a+b）2014＝1．
【点评】此题主要考查了关于x、y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
21．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标．
（3）点P是y轴上一点且S△PAB＝4，请求出点P的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）结合（1）所画图形即可写出A1、B1、C1的坐标．
（3）根据点P是y轴上一点且S△PAB＝4，利用割补法即可求出点P的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）A1、B1、C1的坐标分别为：（1，﹣4）、（4，﹣2）、（3，﹣5）；
（3）∵点P是y轴上一点，
∴设P（0，y），
①如图，点P在点A下方，作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N，
∴S△PAB＝S梯形AMNB﹣S△PAM﹣S△PBN
＝（1+4）×2﹣（4﹣y）×1﹣（y﹣2）×4
＝4，
解得y＝2，
∴点P的坐标为（0，2）；
②如图，点P在点A上方，作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N，则AM是PN边上的高，
∴S△PAB＝S△PBN﹣S△PAN﹣S△ABN
＝（y﹣2）×4﹣（y﹣2）×1﹣4×2
＝4，
解得y＝．
∴点P的坐标为（0，2）或（0，）．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，依据轴对称的性质得出对称点的位置是解决问题的关键．
22．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠EBC＝180°
求证：2AE＝AB+AD．
【分析】过C作CF⊥AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件∠ADC+∠EBC＝180°证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得DF＝EB，问题可得解．
【解答】证明：过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC＝∠CEB＝90°，
在△AFC和△AEC中，
∴△AFC≌△AEC（AAS），
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵∠ADC+∠EBC＝180°
∴∠FDC＝∠EBC，
在△FDC和△EBC中，
∴△FDC≌△EBC（AAS）
∴DF＝EB，
∴AB+AD＝AE+EB+AD＝AE+DF+AD＝AF+AE＝2AE
∴2AE＝AB+AD
【点评】本题考查了全等三角形的判断和性质，常用的判断方法为：SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性质是：对应角相等，对应边相等．有时还需要证“两步”全等．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 25 °，∠DEC＝ 115 °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 小 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【分析】（1）根据∠BDA＝115°以及∠ADE＝40°，即可得出∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，进而求出∠DEC的度数，
（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE，
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练地应用等腰三角形的性质是解决问题的关键．
24．（概念学习）
在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角，如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝ 225 °；
（理解运用）
习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与钝角∠BCD之间的数量关系，
（拓展延伸）
（3）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 2α ；（用含α的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延长AB、DC交于P，∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∠A+∠QCP＝180°；
直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM．
【分析】（1）根据组角的定义直接得答案；
（2）根据组角的定义和四边形的内角和可得结论；
（3）根据（2）的结论可直接得出答案；
（4）由（2）中的结论可知在镖形APMQ中，有∠A+∠AQM+∠APM＝∠PMQ，在镖形APCQ中，有∠A+2∠AQM+2APM＝∠QCP，再根据等式的性质可得结论．
解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，
∴∠2＝360°﹣135°＝225°；
故答案为：225；
（2）钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D；
理由：∵优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角，
∴优角∠BCD＝360°﹣钝角∠BCD，
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴优角∠BCD＝360°﹣（∠A+∠B+∠D），
∴钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D；
（3）由（2）得，在镖型ABOC中，∠BOC＝∠A+∠B+∠C，
在镖型FDOE中，∠DOE＝∠F+∠E+∠D
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α，
故答案为：2α；
（4）∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，
∴∠AQM＝∠BQM，∠APM＝∠DPM，
令∠AQM＝∠BQM，∠APM＝∠DPM．
由（2）中的结论可知在镖形APMQ中，有∠A+∠AQM+∠APM＝∠PMQ，
在镖形APCQ中，有∠A+2∠AQM+2∠APM＝∠QCP，
于是根据等式的性质得出∠QCP+∠A＝2∠PMQ，
而∠A+∠QCP＝180°，
∴∠PMQ＝90°，即PM⊥QM．
【点评】本题考查多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质，熟练掌握多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质是解题关键．