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    中考数学二轮复习专题31特殊平行四边形含解析答案

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    中考数学二轮复习专题31特殊平行四边形含解析答案

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    这是一份中考数学二轮复习专题31特殊平行四边形含解析答案,共35页。试卷主要包含了下列命题中,为真命题的是等内容,欢迎下载使用。

    1.下列命题中,为真命题的是( )
    (1)对角线互相平分的四边形是平行四边形
    (2)对角线互相垂直的四边形是菱形
    (3)对角线相等的平行四边形是菱形
    (4)有一个角是直角的平行四边形是矩形
    A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(4)D.(3)(4)
    2.如图,四边形是菱形,点E,F分别在边上,添加以下条件不能判定的是( )
    A.B.C.D.
    3.如图,矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上,点C的坐标是(﹣10,8),点D在AC上,将BCD沿BD翻折,点C恰好落在OA边上点E处,则tan∠DBE等于( )
    A.B.C.D.
    4.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点E为BC上一点,把△CDE沿DE翻折,点C 恰好落在AB边上的F处,则CE的长是( )
    A.1B.C.D.
    5.如图,在矩形纸片ABCD中,,,M是BC上的点,且.将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠,使点D落在AB上的点P处,点C落在点处,折痕为MN,则线段PA的长是( )
    A.4B.5C.6D.
    6.如图,在边长为3的正方形中,,,则的长是( )
    A.1B.C.D.2
    7.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别在CD,AC上,,,则AF的长是( )
    A.B.C.D.
    8.如图,在菱形ABCD中,,,过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为( )
    A.B.C.D.
    9.如图,在菱形中,,连接、,则的值为( )
    A.B.C.D.
    10.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1,则AB的长为( )
    A.1B.C.2D.
    11.如图,把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中,,直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上,点M,N分别在AB和CD边上,MN与BD交于点O,且点O为MN的中点,则的度数为( )
    A.60°B.65°C.75°D.80°
    12.如图,在正方形ABCD中,,M是AD边上的一点,.将沿BM对折至,连接DN,则DN的长是( )
    A.B.C.3D.
    13.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC的中点,点F在CD上,且CF=3DF,AE,BF相交于点G,则AGF的面积是 .
    14.如图,正方形ABCD中,点E是CD边上一点,连结BE,以BE为对角线作正方形BGEF,边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H,连结AF,有以下五个结论:①;②;③;④;⑤若,则,你认为其中正确的是 (填写序号)
    15.菱形中,对角线,则菱形的高等于 .
    16.如图,在中,,矩形的顶点D、E在上,点F、G分别在、上,若,,且,则的长为 .
    17.如图,将矩形纸片折叠(),使落在上,为折痕,然后将矩形纸片展开铺在一个平面上,E点不动,将边折起,使点B落在上的点G处,连接,若,,则的长为 .
    18.如图,是矩形的对角线的中点,是的中点.若,,则四边形的周长为 .
    19.如图,在中,点O是的中点,连接并延长交的延长线于点E,连接、.
    (1)求证:四边形是平行四边形;
    (2)若,判断四边形的形状,并说明理由.
    20.如图,在中,G为BC边上一点,,延长DG交AB的延长线于点E,过点A作交CD的延长线于点F.求证:四边形AEDF是菱形.
    21.如图,四边形是菱形,对角线,相交于点O,.
    (1)求证:四边形是矩形;
    (2)若,,求矩形的周长.
    22.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别是边AB、CD的中点.求证:DE=BF.
    23.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F.
    (1)求证:AE=CF;
    (2)请再添加一个条件,使四边形BFDE是菱形,并说明理由.
    24.如图,点C是的中点,四边形是平行四边形.
    (1)求证:四边形是平行四边形;
    (2)如果,求证:四边形是矩形.
    25.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,,.
    (1)求证:四边形AOBE是菱形;
    (2)若,,求菱形AOBE的面积.
    26.已知正方形,,为平面内两点.
    【探究建模】
    (1)如图1,当点在边上时,,且,,三点共线.求证:;
    【类比应用】
    (2)如图2,当点在正方形外部时,,,且,,三点共线.猜想并证明线段,,之间的数量关系;
    【拓展迁移】
    (3)如图3,当点在正方形外部时,,,,且,,三点共线,与交于点.若,,求的长.
    27.如图,四边形ABCD是平行四边形,延长DA,BC,使得AE=CF,连接BE,DF.
    (1)求证:;
    (2)连接BD,∠1=30°,∠2=20°,当∠ABE= °时,四边形BFDE是菱形.
    28.如图,在的正方形网格中,网格线的交点称为格点,在格点上,每一个小正方形的边长为1.
    (1)以为边画菱形,使菱形的其余两个顶点都在格点上(画出一个即可).
    (2)计算你所画菱形的面积.
    评卷人
    得分
    一、单选题
    评卷人
    得分
    二、填空题
    评卷人
    得分
    三、解答题
    评卷人
    得分
    四、证明题
    评卷人
    得分
    五、作图题
    参考答案:
    1.B
    【分析】正确的命题叫真命题,根据定义解答.
    【详解】解:对角线互相平分的四边形是平行四边形,故(1)是真命题;
    对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故(2)不是真命题;
    对角线相等的平行四边形是矩形,故(3)不是真命题;
    有一个角是直角的平行四边形是矩形,故(4)是真命题;
    故选:B.
    【点睛】此题考查真命题的定义,熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键.
    2.C
    【分析】根据三角形全等判定定理SAS可判定A,三角形全等判定定理ASA可判定B,三角形全等判定定理可判定C,三角形全等判定定理AAS可判定D即可.
    【详解】解: ∵四边形是菱形,
    ∴AB=AD,∠B=∠D,
    A. 添加可以,
    在△ABE和△ADF中,

    ∴(SAS),
    故选项A可以;
    B.添加 可以,
    在△ABE和△ADF中

    ∴(ASA);
    故选项B可以;
    C. 添加不可以,条件是边边角故不能判定;
    故选项C不可以;
    D. 添加可以,
    在△ABE和△ADF中

    ∴(SAS).
    故选项D可以;
    故选择C.
    【点睛】本题考查添加条件判定三角形全等,菱形性质,掌握三角形全等判定定理,菱形性质是解题关键.
    3.D
    【分析】先根据四边形ABCD是矩形,C(-10,8),得出BC=AO=10,AC=OB=8,∠A=∠O=∠C=90°,再由折叠的性质得到CD=DE,BC=BE=10,∠DEB=∠C=90°,利用勾股定理先求出OE的长,即可得到AE,再利用勾股定理求出DE,利用求解即可.
    【详解】解:∵四边形ABCD是矩形,C(-10,8),
    ∴BC=AO=10,AC=OB=8,∠A=∠O=∠C=90°,
    由折叠的性质可知:CD=DE,BC=BE=10,∠DEB=∠C=90°,
    在直角三角形BEO中:,
    ∴,
    设,则
    在直角三角形ADE中:,
    ∴,
    解得,
    ∴,
    ∵∠DEB=90°,
    ∴,
    故选D.
    【点睛】本题主要考查了矩形的性质,折叠的性质,勾股定理,三角函数,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
    4.D
    【分析】设CE=x,则BE=3-x由折叠性质可知,EF=CE=x,DF=CD=AB=5,所以AF=4,BF=AB-AF=5-4=1,在Rt△BEF中,由勾股定理得(3-x)2+12=x2,解得x的值即可.
    【详解】解:设CE=x,则BE=3-x,
    由折叠性质可知,
    EF=CE=x,DF=CD=AB=5
    在Rt△DAF中,AD=3,DF=5,
    ∴AF=,
    ∴BF=AB-AF=5-4=1,
    在Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,
    即(3-x)2+12=x2,
    解得x=,
    故选:D.
    【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题,熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键.
    5.B
    【分析】连接PM,证明即可得到,PA=5.
    【详解】连接PM
    ∵矩形纸片ABCD中,,,



    ∵折叠
    ∴,

    ∵PM=PM



    故选B.
    【点睛】本题考查矩形的折叠问题,解题的关键是看到隐藏条件,学会利用翻折不变性解决问题.
    6.C
    【分析】由正方形的性质得出,,由证得,即可得出答案.
    【详解】解:四边形是正方形,
    ,,
    ∵在中,,

    设,则,
    根据勾股定理得:,
    即,
    解得:(负值舍去),





    ,,


    故选:.
    【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,含角的直角三角形的性质等知识,证明是解题的关键.
    7.B
    【分析】过作的垂线分别交于,由,证明,设,根据,求得,在中,利用勾股定理即可求得.
    【详解】如图,过作的垂线分别交于,
    四边形是正方形,


    四边形是矩形,
    ,,




    四边形是正方形,



    在和中,
    (AAS),

    设,则,

    即,
    解得,

    四边形是正方形,,



    故选B
    【点睛】本题考查了矩形的性质,正方形的性质,三角形全等的性质与判定,勾股定理,等腰直角三角形的性质,求得是解题的关键.
    8.A
    【分析】依次求出OE=OF=OG=OH,利用勾股定理得出EF和OE的长,即可求出该四边形的周长.
    【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,
    ∴∠BEO=∠BFO=90°,
    ∵∠A=120°,
    ∴∠B=60°,
    ∴∠EOF=120°,∠EOH=60°,
    由菱形的对边平行,得HF⊥AD,EG⊥CD,
    因为O点是菱形ABCD的对称中心,
    ∴O点到各边的距离相等,即OE=OF=OG=OH,
    ∴∠OEF=∠OFE=30°,∠OEH=∠OHE=60°,
    ∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°,
    所以四边形EFGH是矩形;
    设OE=OF=OG=OH=x,
    ∴EG=HF=2x,,
    如图,连接AC,则AC经过点O,
    可得三角形ABC是等边三角形,
    ∴∠BAC=60°,AC=AB=2,
    ∴OA=1,∠AOE=30°,
    ∴AE=,
    ∴x=OE=
    ∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,
    故选A.
    【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容,要求学生在理解相关概念的基础上学会应用,能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换,考查了学生的综合分析与应用的能力.
    9.D
    【分析】设AC与BD的交点为O,由题意易得,,进而可得△ABC是等边三角形,,然后问题可求解.
    【详解】解:设AC与BD的交点为O,如图所示:
    ∵四边形是菱形,
    ∴,,
    ∵,
    ∴△ABC是等边三角形,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴;
    故选D.
    【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理,熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键.
    10.C
    【分析】先证明,再证明四边形MOND的面积等于,的面积,继而解得正方形的面积,据此解题.
    【详解】解:在正方形ABCD中,对角线BD⊥AC,

    四边形MOND的面积是1,
    正方形ABCD的面积是4,
    故选:C.
    【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
    11.C
    【分析】根据斜边中线等于斜边一半,求出∠MPO=30°,再求出∠MOB和∠OMB的度数,即可求出的度数.
    【详解】解:∵四边形ABCD是正方形中,
    ∴∠MBO=∠NDO=45°,
    ∵点O为MN的中点
    ∴OM=ON,
    ∵∠MPN=90°,
    ∴OM=OP,
    ∴∠PMN=∠MPO=30°,
    ∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°,
    ∴∠BMO=180°-60°-45°=75°,

    故选:C.
    【点睛】本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质,解题关键是熟练运用相关性质,根据角的关系进行计算.
    12.D
    【分析】延长MN与CD交于点E,连接BE,过点N作,根据折叠的正方形的性质得到,在中应用勾股定理求出DE的长度,通过证明,利用相似三角形的性质求出NF和DF的长度,利用勾股定理即可求解.
    【详解】解:如图,延长MN与CD交于点E,连接BE,过点N作,
    ∵,M是AD边上的一点,,
    ∴,,
    ∵将沿BM对折至,四边形ABCD是正方形,
    ∴,,
    ∴(HL),
    ∴,
    ∴,
    在中,设,则,
    根据勾股定理可得,解得,
    ∴,,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    故选:D.
    【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容,做出合适的辅助线是解题的关键.
    13.
    【分析】延长AG交DC延长线于M,过G作GH⊥CD,交AB于N,先证明△ABE≌△MCE,由CF=3DF,可求DF=1,CF=3,再证△ABG∽△MFG,则利用相似比可计算出GN,再利用两三角形面积差计算S△DEG即可.
    【详解】解:延长AG交DC延长线于M,过G作GH⊥CD,交AB于N,如图,
    ∵点E为BC中点,
    ∴BE=CE,
    在△ABE和△MCE中,

    ∴△ABE≌△MCE(ASA),
    ∴AB=MC=4,
    ∵CF=3DF,CF+DF=4,
    ∴DF=1,CF=3,FM=FC+CM=3+4=7,
    ∵AB∥MF,
    ∴∠ABG=∠MFG,∠AGB=∠MGF,
    ∴△ABG∽△MFG,
    ∴,
    ∵,
    ∴, ,
    S△AFG=S△AFB-S△AGB
    =
    =
    =,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积,解题的关键是求出GN的长,利用数形结合的思想解答.
    14.①②③④
    【分析】①四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形,BD,BE是对角线,得∠ABD=∠FBE=45°,根据等式的基本性质确定出;②再根据正方形的对角线等于边长的倍,得到两边对应成比例,再根据角度的相减得到夹角相等,利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断;④根据两角相等的两个三角形相似得到△EBH∽△DBE,从而得到比例式,根据BE=BG,代换即可作出判断;③由相似三角形对应角相等得到∠BAF=∠BDE=45°,可得出AF在正方形ABCD对角线上,根据正方形对角线垂直即可作出判断.⑤设CE=x,DE=3x,则BC=CD=4x,结合BE2=BH•BD,求出BH,DH,即可判断.
    【详解】解:①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形,BD,BE是对角线,
    ∴∠ABD=∠FBE=45°,
    又∵∠ABF=45°−∠DBF,∠DBE=45°−∠DBF,
    ∴,
    ∴选项①正确;
    ②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形,
    ∴AD=AB,BF=BE,
    ∴BD=AB,BE=BF,

    又∵,
    ∴,
    ∴选项②正确;
    ④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形,BD,BE是对角线,
    ∴∠BEH=∠BDE=45°,
    又∵∠EBH=∠DBE,
    ∴△EBH∽△DBE,
    ∴ ,即BE2=BH•BD,
    又∵BE=BG,
    ∴,
    ∴选项④确;
    ③由②知:,
    又∵四边形ABCD为正方形,BD为对角线,
    ∴∠BAF=∠BDE=45°,
    ∴AF在正方形另外一条对角线上,
    ∴AF⊥BD,
    ∴③正确,
    ⑤∵,
    ∴设CE=x,DE=3x,则BC=CD=4x,
    ∴BE=,
    ∵BE2=BH•BD,
    ∴,
    ∴DH=BD-BH=,
    ∴,
    故⑤错误,
    综上所述:①②③④正确,
    故答案是:①②③④.
    【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,以及正方形的性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键.
    15.
    【分析】过A作AE⊥BC,垂足为E,根据菱形的性质求出菱形边长,再利用菱形的面积公式得到方程,解之可得AE.
    【详解】解:如图,过A作AE⊥BC,垂足为E,即AE为菱形ABCD的高,
    ∵菱形ABCD中,AC=10,BD=24,
    ∴OB=BD=12,OA=AC=5,
    在Rt△ABO中,AB=BC==13,
    ∵S菱形ABCD=,
    ∴,
    解得:AE=,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用,能熟记菱形的性质是解此题的关键,注意:菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相平分且垂直.
    16.
    【分析】根据矩形的性质得到GF∥AB,证明△CGF∽△CAB,可得,证明△ADG≌△BEF,得到AD=BE=,在△BEF中,利用勾股定理求出x值即可.
    【详解】解:∵DE=2EF,设EF=x,则DE=2x,
    ∵四边形DEFG是矩形,
    ∴GF∥AB,
    ∴△CGF∽△CAB,
    ∴,即,
    ∴,
    ∴AD+BE=AB-DE==,
    ∵AC=BC,
    ∴∠A=∠B,又DG=EF,∠ADG=∠BEF=90°,
    ∴△ADG≌△BEF(AAS),
    ∴AD=BE==,
    在△BEF中,,
    即,
    解得:x=或(舍),
    ∴EF=,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,等边对等角,解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长.
    17.
    【分析】根据矩形的性质和正方形的性质,证明,从而,又因为,代入求解即可.
    【详解】解:∵四边形是矩形,,
    ∴,,,且四边形是正方形,
    ∴,
    ∴,
    又∵,
    ∴,

    又∵(折叠,
    ∴,, ,
    设,则,
    ∴ ,
    又∵是正方形对角线,
    ∴ ,
    ∴ ,
    ∴ ,
    ∴ ,解得:,即 ,
    ∴.
    故答案为:
    【点睛】本题考查的是矩形的性质,正方形的性质和判定,三角形全等等相关知识点,根据题意找到等量关系转换是解题的关键.
    18.20
    【分析】先由,得到,然后结合矩形的性质得到,再结合点和点分别是和的中点得到和的长,最后得到四边形的周长.
    【详解】解:,

    ,,

    点和点分别是和的中点,
    ,,是的中位线,


    故答案为:20.
    【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理,解题的关键是熟知矩形的性质.
    19.(1)证明见详解;(2)四边形ACDE是菱形,理由见详解.
    【分析】(1)利用平行四边形的性质,即可判定,即可得到,再根据CD∥AE,即可证得四边形ACDE是平行四边形;
    (2)利用(1)的结论和平行四边形的性质可得AC=CD,由此即可判定是菱形.
    【详解】(1)证明:在ABCD中,AB∥CD,
    ∴,
    ∵点O为AD的中点,
    ∴,
    在与中,
    ∵,


    ∴,
    ∴,
    又∵BE∥CD ,
    ∴四边形ACDE是平行四边形;
    (2)解:由(1)知四边形ACDE是平行四边形,,
    ∵,
    ∴,
    ∴四边形ACDE是菱形.
    【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形全等、菱形的判定等,熟练掌握判定定理并融会贯通是解题的关键.
    20.见解析
    【分析】先证四边形AEDF是平行四边形,再证,则,即可得出结论.
    【详解】证明:四边形ABCD是平行四边形,
    ,,,

    四边形AEDF是平行四边形,






    平行四边形AEDF是菱形.
    【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等边对等角,菱形的判定定理,熟练掌握以上几何性质是解题的关键.
    21.(1)见解析;(2)
    【分析】(1)利用全等三角形性质和菱形对角线互相垂直平分,证四边形是矩形;
    (2)根据菱形性质得出,,由含30度直角三角形的性质求出OB,即可求解.
    【详解】(1)证明:∵△BOC≅△CEB .
    ∴,(全等三角形的对应边相等)
    ∴四边形是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
    ∵四边形是菱形,
    ∴ (菱形的两条对角线互相垂直)

    ∴四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形);
    (2)∵四边形是菱形,,,
    ∴ (菱形的四条边相等),


    在中,
    (在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)

    ∴矩形的周长.
    【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形性质、平行四边形的判定和性质以及矩形的性质,熟记各种特殊四边形的判定方法和性质以及勾股定理是解题的关键.
    22.证明见试题解析.
    【分析】由矩形的性质和已知得到DF=BE,AB//CD,故四边形DEBF是平行四边形,即可得到答案.
    【详解】∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AB//CD,AB=CD,
    又E、F分别是边AB、CD的中点,
    ∴DF=BE,
    又AB//CD,
    ∴四边形DEBF是平行四边形,
    ∴DE=BF.
    23.(1)见解析;(2)EF⊥BD或EB=ED,见解析
    【分析】(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明,则可得到AE=CF;
    (2)连接BF,DE,由,得到OE= OF,又AO=CO,所以四边形AECF是平行四边形,则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形.
    【详解】证明:(1)∵四边形是平行四边形
    ∴OA=OC,BE∥DF
    ∴∠E=∠F
    在△AOE和△COF中

    ∴AE=CF
    (2)当EF⊥BD时,四边形BFDE是菱形,理由如下:
    如图:连结BF,DE
    ∵四边形是平行四边形
    ∴OB=OD


    ∴四边形是平行四边形
    ∵EF⊥BD,
    ∴四边形是菱形
    【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质,菱形的判定等知识点,熟悉相关性质,能全等三角形的性质解决问题是解题的关键.
    24.(1)见解析;(2)见解析
    【分析】(1)由平行四边形的性质以及点C是BE的中点,得到AD∥CE,AD=CE,从而证明四边形ACED是平行四边形;
    (2)由平行四边形的性质证得DC=AE,从而证明平行四边形ACED是矩形.
    【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD∥BC,且AD=BC.
    ∵点C是BE的中点,
    ∴BC=CE,
    ∴AD=CE,
    ∵AD∥CE,
    ∴四边形ACED是平行四边形;
    (2)∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AB=DC,
    ∵AB=AE,
    ∴DC=AE,
    ∵四边形ACED是平行四边形,
    ∴四边形ACED是矩形.
    【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键.
    25.(1)证明过程见解答;(2)
    【分析】(1)根据BE∥AC,AE∥BD,可以得到四边形AOBE是平行四边形,然后根据矩形的性质,可以得到OA=OB,由菱形的定义可以得到结论成立;
    (2)根据∠AOB=60°,AC=4,可以求得菱形AOBE边OA上的高,然后根据菱形的面积=底×高,代入数据计算即可.
    【详解】解:(1)证明:∵BE∥AC,AE∥BD,
    ∴四边形AOBE是平行四边形,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,
    ∴OA=OB,
    ∴四边形AOBE是菱形;
    (2)解:作BF⊥OA于点F,
    ∵四边形ABCD是矩形,AC=4,
    ∴AC=BD=4,OA=OC=AC,OB=OD=BD,
    ∴OA=OB=2,
    ∵∠AOB=60°,
    ∴BF=OB•sin∠AOB=,
    ∴菱形AOBE的面积是:OA•BF==.
    【点睛】本题考查菱形的判定、矩形的性质,解答本题的关键是明确菱形的判定方法,知道菱形的面积=底×高或者是对角线乘积的一半.
    26.(1)见解析;(2);理由见解析(3)
    【分析】(1)根据正方形性质以及题意证明即可得出结论;
    (2)根据已知条件证明,然后证明为等腰直角三角形即可得出结论;
    (3)先证明,得出为等腰直角三角形,根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出的长度,即可得出结论.
    【详解】解:(1)∵四边形是正方形,,,三点共线,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    在和中,
    ,
    ∴,
    ∴;
    (2)∵,四边形是正方形,
    ∴,,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,
    在和中,
    ,
    ∴,
    ∴,
    ∴为等腰直角三角形,
    ∴,
    即;
    (3)过点D作于点H,连接BD,
    ∵,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    在和中,
    ,
    ∴,
    ∴,,
    ∵且,
    ∴为等腰直角三角形,
    ∴,
    在中,,
    ∴,
    ∵是正方对角线,
    ∴,

    ∴,
    ∴为等腰直角三角形,
    ∴,
    ∴在中,,
    ∴.
    【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形判定与性质,熟知性质定理是解本题的关键.
    27.(1)见解析;(2)当∠ABE=10°时,四边形BFDE是菱形
    【分析】(1)根据平行四边形的性子和“SAS”可证△ABE≌△CDF;
    (2)先证明四边形BFDE是平行四边形,再通过证明BE=DE,可得结论.
    【详解】解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AB=CD,∠BAD=∠BCD,
    ∴∠1=∠DCF,
    在△ABE和△CDF中,

    ∴△ABE≌△CDF(SAS);
    (2)当∠ABE=10°时,四边形BFDE是菱形,
    理由如下:∵△ABE≌△CDF,
    ∴BE=DF,AE=CF,
    ∴BF=DE,
    ∴四边形BFDE是平行四边形,
    ∵∠1=30°,∠2=20°,
    ∴∠ABD=∠1-∠2=10°,
    ∴∠DBE=20°,
    ∴∠DBE=∠EDB=20°,
    ∴BE=DE,
    ∴平行四边形BFDE是菱形,
    故答案为10.
    【点睛】本题考查了菱形的判定,平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,掌握菱形的判定是解题的关键.
    28.(1)答案不唯一,见解析;(2)6或8或10(答案不唯一)
    【分析】(1)根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图;
    (2)利用菱形面积公式求解.
    【详解】解:(1)根据题意,菱形ABCD即为所求
    (2)图1中AC=2,BD=6
    ∴图1中菱形面积.
    图2中,AC=,BD=
    ∴图2中菱形面积.
    图3中,
    ∴图3菱形面积.
    【点睛】本题考查菱形的性质,掌握菱形的概念准确作图是关键.

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