吉林省吉林市第二十五中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份吉林省吉林市第二十五中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）图示是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．中国银行B．中国人民银行
C．中国建设银行D．中国工商银行
2．（2分）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝10米，OB＝6米，A、B间的距离可能是（ ）
A．4米B．12米C．16米D．22米
3．（2分）老师上课用磁力小棒设计了一个平分角的仪器，用它可以平分一个已知角．其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线．这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
4．（2分）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，且经过点B，上沿PQ经过点E，则∠ABM的度数为（ ）
​
A．152°B．126°C．120°D．108°
5．（2分）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
6．（2分）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A＝ °．
8．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是 ．
9．（3分）如图①所示是中国古塔，图②所示的正八边形是塔基的平面示意图，则该正八边形内角和的度数为 °．
10．（3分）等腰三角形有一个角是94°，则它一个底角的度数为 °．
11．（3分）如图，∠D＝∠C＝90°，请你再添加一个条件，使△ABD≅△ABC，你添加的条件是 ．
12．（3分）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝56°，点D为BC边上一动点．分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则∠EAF的度数等于 °．
13．（3分）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：
（1）连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧
（2）连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；
（3）连接CD，且过A，B作直线则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是： ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 ．
​
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE＝GF，∠1＝122°，求∠2的度数．
16．（5分）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE＝BF，EC＝FD，AB＝CD．
求证：△EAC≌△FBD．
17．（5分）如图，已知∠B＝∠C，AB∥DE，DE交BC于点E．求证：△DEC是等腰三角形．
18．（5分）如图是由三个小正方形组成的图案，请在图中补画一个小正方形，使补画后的图案是轴对称图形．请用三种不同方法补画图形，并画出各自的对称轴．
​
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）和直线l．
（1）在直线l上找一点P，使点P到边AB，BC的距离相等；
（2）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；再将△A1B1C1向下平移4个单位长度，画出平移后得到的图形△A2B2C2；
（3）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应图形△ABC和△A2B2C2的对应点所具有的性质是 ．
A．对应点连线互相平行
B．对应点连线被直线l垂直平分
C．对应点连线被直线l平分或与直线l重合
20．（7分）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）若DE＝8，点F是AC上的动点，求DF的最小值．
21．（7分）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，连接AE，作AD⊥BC于点D，且D为BE的中点．
（1）试说明：AB＝CE；
（2）若∠C＝32°，求∠BAC的度数．
22．（7分）在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图①，求证：∠ABC＝∠ADE；
（2）如图②，若AD平分∠CAE，∠DAE＝30°，点C在线段BE上，则∠D＝ 度．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）延长BD、CE交于点F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度数．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，AE与BD交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝6cm，点P从A出发，沿A→B→A的方向以3cm/s的速度运动；点Q从D出发，沿D→E的方向以1cm/s的速度运动．点P，Q同时出发，当点P到达A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）直接写出线段BP的长；（用含t的式子表示）
（2）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
26．（10分）△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是 三角形；
（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°
①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；
②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）图示是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．中国银行B．中国人民银行
C．中国建设银行D．中国工商银行
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、D的图形均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
选项C的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝10米，OB＝6米，A、B间的距离可能是（ ）
A．4米B．12米C．16米D．22米
【分析】根据三角形的三边关系求出AB的范围，判断即可．
【解答】解：连接AB，
∵OA＝10米，OB＝6米，
∴10米﹣6米＜AB＜10米+6米，即4米＜AB＜16米，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3．（2分）老师上课用磁力小棒设计了一个平分角的仪器，用它可以平分一个已知角．其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线．这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
【分析】根据题目所给条件可利用SSS定理判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC．
【解答】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC就是∠DAB的平分线．
故选：A．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
4．（2分）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，且经过点B，上沿PQ经过点E，则∠ABM的度数为（ ）
​
A．152°B．126°C．120°D．108°
【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质求得∠AED，∠A的度数，然后结合已知条件及四边形的内角和求得∠ABO的度数，从而求得∠ABM的度数．
【解答】解：由题意可得∠AED＝∠A＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∵MN⊥DE，
∴∠BOE＝90°，
∴四边形ABOE中，∠ABO＝360°﹣90°﹣108°﹣108°＝54°，
∴∠ABM＝180°﹣∠ABO＝180°﹣54°＝126°，
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角和，结合已知条件求得∠AED，∠A的度数是解题的关键．
5．（2分）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．
【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠DEC＝∠CBD＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
6．（2分）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【分析】首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．
【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A＝ 80 °．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣40°＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
8．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是 （3，4） ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
9．（3分）如图①所示是中国古塔，图②所示的正八边形是塔基的平面示意图，则该正八边形内角和的度数为 1080 °．
【分析】利用多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：（8﹣2）×180°＝1080°，
即该正八边形内角和的度数为1080°，
故答案为：1080．
【点评】本题考查多边形的内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键．
10．（3分）等腰三角形有一个角是94°，则它一个底角的度数为 43 °．
【分析】因为三角形的内角和为180°，所以94°只能为顶角，从而可求出底角．
【解答】解：∵等腰三角形的两底角相等，
∴94°只能是等腰三角形的顶角，
∴底角为：（180°﹣94°）÷2＝43°．
故答案为：43．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理．此题比较简单，解题的关键是熟记定理，掌握定理的应用．
11．（3分）如图，∠D＝∠C＝90°，请你再添加一个条件，使△ABD≅△ABC，你添加的条件是 ∠CAB＝∠DAB（本题答案不唯一） ．
【分析】已知∠D＝∠C＝90°，图形条件AB＝AB，可以从角，边两方面添加条件．
【解答】解：添加的条件：∠CAB＝∠DAB或∠CBA＝∠DBA，此时△ABD≅△ABC（AAS）；
添加的条件：AC＝AD或BC＝BD，此时△ABD≅△ABC（HL）；
故答案为：∠CAB＝∠DAB（本题答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定．关键是根据题目的已知条件，图形条件，合理地选择判定方法．
12．（3分）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝56°，点D为BC边上一动点．分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则∠EAF的度数等于 128 °．
【分析】由点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，得∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，再根据∠B＝60°，∠C＝56°，所以∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣60°﹣56°＝64°，即可求出答案．
【解答】解：如图，连接AD，DE，DF，
∵点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，
∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，
∵∠B＝60°，∠C＝56°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣60°﹣56°＝64°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝128°，
故答案为：128．
【点评】此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．
13．（3分）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：
（1）连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧
（2）连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；
（3）连接CD，且过A，B作直线则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是： 到线段CD两端点距离相等的点在CD的垂直平分线上 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：连接BD，AD，
由作图知，BD＝BC，AC＝AD，
∴A，B一定在线段CD的垂直平分线上，（到线段CD两端点距离相等的点在CD的垂直平分线上），
故答案为：到线段CD两端点距离相等的点在CD的垂直平分线上．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 9 ．
​
【分析】根据折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质得出B'E＝BE，＝2CE＝6即可求解．
【解答】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC，∠CB'E＝30°，CE＝3，
∴B'E＝BE＝2CE＝6，
∴BC＝CE+BE＝3+6＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE＝GF，∠1＝122°，求∠2的度数．
【分析】由平行线的性质可得∠MFD的度数，再根据补角定义得∠GEF的的度数，最后由三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠MFD＝∠1＝122°，∠MFD＝∠AEF，∠2＝∠AEG，
∵GE＝GF，
∴∠GFE＝∠GEF＝180°﹣∠MFD＝180°﹣122°＝58°，
∴∠2＝180°﹣58°﹣58°＝64°．
【点评】此题考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
16．（5分）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE＝BF，EC＝FD，AB＝CD．
求证：△EAC≌△FBD．
【分析】根据线段的和差求出AC＝BD，利用SSS即可证明△EAC≌△FBD．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△EAC和△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（SSS）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．（5分）如图，已知∠B＝∠C，AB∥DE，DE交BC于点E．求证：△DEC是等腰三角形．
【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠DEC＝∠B，
∵∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∴△DEC是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
18．（5分）如图是由三个小正方形组成的图案，请在图中补画一个小正方形，使补画后的图案是轴对称图形．请用三种不同方法补画图形，并画出各自的对称轴．
​
【分析】根据轴对称与对称轴的定义，即可求得答案．
【解答】解：如图所示．
【点评】此题考查了利用轴对称设计图案，此题难度适中，注意如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）和直线l．
（1）在直线l上找一点P，使点P到边AB，BC的距离相等；
（2）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；再将△A1B1C1向下平移4个单位长度，画出平移后得到的图形△A2B2C2；
（3）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应图形△ABC和△A2B2C2的对应点所具有的性质是 C ．
A．对应点连线互相平行
B．对应点连线被直线l垂直平分
C．对应点连线被直线l平分或与直线l重合
【分析】（1）作∠ABC的平分线交l于点P；
（2）利用对称的性质和平移的性质画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（3）利用AA2和BB2被l平分，CC2在直线l上可对各选项进行判断．
【解答】解：（1）如图，点P为所作；
（2）如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；
（3）对应点连线被对称轴平分或与对称轴重合．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，掌握画一个图形的轴对称图形的方法以及轴对称变换的性质是解题的关键．
20．（7分）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）若DE＝8，点F是AC上的动点，求DF的最小值．
【分析】（1）先根据三角形内角和计算出∠BAC＝70°，再利用角平分线的定义得到∠BAD＝35°，然后根据三角形外角性质可计算出∠ADC的度数；
（2）过D点作DH⊥AC于H点，如图，先根据角平分线的性质得到DH＝DE＝8，然后垂线段最短求解．
【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝35°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+35°＝85°；
（2）过D点作DH⊥AC于H点，如图，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DE＝8，
∵点F是AC上的动点，
∴DF的最小值为DH的长，
即DF的最小值为8．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
21．（7分）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，连接AE，作AD⊥BC于点D，且D为BE的中点．
（1）试说明：AB＝CE；
（2）若∠C＝32°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的判定得出AB＝AE，根据垂直平分线的性质得出AE＝CE，等量代换即可得出结论；
（2）根据等边对等角得出∠C＝∠EAC＝32°，再根据三角形的外角的性质得出∠AEB＝∠C+∠EAC＝64°，再根据等边对等角得出∠B＝∠AEB＝64°，根据三角形内角和定理得出∠BAE＝52°，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵D为BE的中点，
∴BD＝DE，
∵AD⊥BC，
∴AB＝AE，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴AB＝CE；
（2）解：∵∠C＝32°，AE＝CE，
∴∠C＝∠EAC＝32°，
∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝64°，
∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝64°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣64°﹣64°＝52°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝52°+32°＝84°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，正确理解题意是解题的关键．
22．（7分）在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图①，求证：∠ABC＝∠ADE；
（2）如图②，若AD平分∠CAE，∠DAE＝30°，点C在线段BE上，则∠D＝ 30 度．
【分析】（1）由AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理“SAS”即可证明△ABC≌△ADE，则∠ABC＝∠ADE；
（2）由AC＝AE，AD平分∠CAE得AD⊥CE，∠DAE＝∠DAC＝∠BAC＝30°，则∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，所以∠D＝∠ABC＝30°．
【解答】（1）证明：如图①，在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ABC＝∠ADE．
（2）解：如图②，设AD与CE交于点F，
∵AC＝AE，AD平分∠CAE，
∴AD⊥CE，∠DAE＝∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
∴∠ABC＝30°，
由（1）得∠ABC＝∠D，
∴∠D＝30°，
故答案为：30．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）延长BD、CE交于点F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度数．
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）先由全等三角形的性质得∠ACE＝∠ABD＝20°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠ABC＝∠ACB＝47°，则∠FBC＝∠FCB＝27°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD＝20°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣86°）＝47°，
∴∠FBC＝∠FCB＝47°﹣20°＝27°，
∴∠BFC＝180°﹣27°﹣27°＝126°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
【分析】（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'，再根据∠ACB＝90°，即可得出∠ECF＝45°；
（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC＝，设AE＝x，则AB＝x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，求得x＝，得出AE的长和AB的长，再由三角形面积公式即可得出S△ABC．
【解答】解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCB'＝90°，
∴∠ECD+∠FCD＝×90°＝45°，
即∠ECF＝45°；
（2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，
∴∠EFC＝45°＝∠ECF，
∴CE＝EF＝4，
∴BE＝4+1＝5，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC＝＝＝，
设AE＝x，则AB＝x+5，
∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，
Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，
即x2+42＝（x+5）2﹣41，
解得：x＝，
∴AE＝，AB＝AE+BE＝+5＝
∴S△ABC＝AB×CE＝××4＝．
【点评】本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，AE与BD交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝6cm，点P从A出发，沿A→B→A的方向以3cm/s的速度运动；点Q从D出发，沿D→E的方向以1cm/s的速度运动．点P，Q同时出发，当点P到达A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）直接写出线段BP的长；（用含t的式子表示）
（2）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
【分析】（1）分两种情况分别表示BP即可；
（2）先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况：当0≤t≤2时，3t＝6﹣t；当2＜t≤4时，12﹣3t＝6﹣t，分别解出t即可．
【解答】解：（1）当0≤t≤2时，BP＝（6﹣3t） cm，
当2＜t≤4时，BP＝（3t﹣6）cm，
综上所述，线段BP的长为（6﹣3t） cm或（3t﹣6）cm；
（2）由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝6cm，
在△ACP和△ECQ中，
，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤2时，3t＝6﹣t，
解得：t＝1.5；
当2＜t≤4时，12﹣3t＝6﹣t，
解得：t＝3；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1.5s或3s．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等、分类讨论是解题的关键．
26．（10分）△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是 等边 三角形；
（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°
①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；
②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．
【分析】（1）根据题意推出△AED和△ABC为等边三角形，然后通过求证△EAB≌△DAC，结合平行线的性质，即可推出△EFB为等边三角形，（2）①根据（1）的推理依据，即可推出△EFB为等腰三角形，②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAB≌△DAC，推出等量关系，即可推出△EFB为等腰三角形．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴△AED和△ABC为等边三角形，
∴∠C＝∠ABC＝60°，∠EAB＝∠DAC，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠EBA＝∠C＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠ABC＝60°，
∵在△EFB中，∠EFB＝∠EBA＝60°，
∴△EFB为等边三角形，
（2）①△BEF为等腰三角形，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△AED和△ABC为等腰三角形，
∴∠C＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠EBA＝∠C，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠ABC，
∵在△EFB中，∠EFB＝∠EBA，
∴△EFB为等腰三角形，
②AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
∵△BEF为等腰三角形，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△AED和△ABC为等腰三角形，
∴∠ACB＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠EBA＝∠ACD，
∴∠EBF＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠AFE＝∠ACB，
∵在△EFB中，∠EBF＝∠AFE，
∴△EFB为等腰三角形．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．