高一上学期期中考试选择题压轴题50题专练-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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1．（2023·全国·高一专题练习）已知命题p:∀x∈R，ax2+2x+3>0的否定是真命题，那么实数a的取值范围是（）
A．a<13B．0【解题思路】由题意可知，命题：∃x∈R，ax2+2x+3≤0为真命题，分x=0、x≠0两种情况讨论，利用参变量分离法求出实数a的取值范围.
【解答过程】由题意可知，命题：∃x∈R，ax2+2x+3≤0为真命题.
①当x=0时，则3≤0，不合乎题意；
②当x≠0时，则a≤−3x2−2x，令t=1x≠0，
则y=−3t2−2t=−3t+132+13，
所以，当t=−13时，ymax=13，则a≤13.
综上所述，实数a的取值范围是a≤13.
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）非空集合P满足下列两个条件：（1）P1,2,3,4,5，（2）若元素a∈P，则6−a∈P，则集合P个数是（）
A．4B．5C．6D．7
【解题思路】由题得可将P中元素分组为1，5,2，4,3,再根据题意得出是求1，5,2,4,3的非空真子集个数即可.
【解答过程】由题得, 若元素a∈P，则6−a∈P,
可以推导出集合P中1,5要同时存在,2,4要同时存在,3可存在于P中也可以不存在,
故可以考虑集合P等价于由元素1，5,2，4,3组成的集合，
又P1,2,3,4,5,
故本题相当于求集合1，5,2,4,3的非空真子集个数.
即23−2=6个.
故选：C.
3．（2023秋·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）设函数fx=mx2−mx−1，命题“∃x∈1,3,fx≤−m+2”是假命题，则实数m的取值范围为（）
A．−∞,37B．−∞,3C．37,+∞D．3,+∞
【解题思路】由命题“∃x∈1,3,fx≤−m+2”是假命题可得其否定为真命题，结合不等式恒成立问题的解决方法可求m的取值范围.
【解答过程】因为命题“∃x∈1,3,fx≤−m+2”是假命题，
所以∀x∈1,3,fx>−m+2，
又fx>−m+2可化为mx2−mx−1>−m+2，即mx2−x+1>3，
当x∈1,3时，x2−x+1∈1,7，
所以m>3x2−x+1在x∈1,3上恒成立，
所以m>3x2−x+1max其中x∈1,3，
当x=1时x2−x+1有最小值为1，此时3x2−x+1有最大值为3，
所以m>3，
故实数m的取值范围是3,+∞，
故选：D.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知实数x，y满足−4≤x−y≤−1，−1≤4x−y≤5，则z=9x−y的取值范围是（）
A．z−7≤z≤26B．z−1≤z≤20
C．z4≤z≤15D．z1≤z≤15
【解题思路】令m=x−y，n=4x−y，可得z=9x−y=83n−53m，再根据m,n的范围求解即可.
【解答过程】令m=x−y，n=4x−y，则x=n−m3y=n−4m3，所以z=9x−y=83n−53m．因为−4≤m≤−1，所以53≤−53m≤203．因为−1≤n≤5，所以−83≤83n≤403，所以−1≤z≤20.
故选：B.
5．（2023春·安徽合肥·高一校联考期末）已知命题p：x2−3x−10>0，命题q：x＞m2﹣m+3，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）
A．[﹣1，2]B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）
【解题思路】由¬p是¬q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件, 由x2−3x−10>0得x>5或x<−2，只需m2−m+3≥5,即可.
【解答过程】由x2−3x−10>0得x>5或x<−2,因为¬p是¬q的充分不必要条件,所以q是p的充分不必要条件,所以m2−m+3≥5,解得m≥2或m≤−1.
故选:B.
6．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数y=fx的解析式为fx=2x2−3x+1，值域为0,1,2,3，则符合要求的函数fx的个数为（）
A．16个B．945个C．2025个D．1个
【解题思路】先求出值域0,1,2,3中每个函数值对应的自变量x构成的集合Ai(i=0,1,2,3)，根据函数的定义，要产生一个函数值i(i=0,1,2,3)只要从相应的集合Ai(i=0,1,2,3)中取出至少一个元素，这些元素构成了Ai(i=0,1,2,3)的一个非空子集Bi(i=0,1,2,3)，可以确定非空子集的个数，fx的定义域为集合Bi(i=0,1,2,3)的并集，从而求出fx的定义域的个数即为不同的函数fx的个数.
【解答过程】满足解析式为fx=2x2−3x+1，值域为0,1,2,3，
①2x2−3x+1=0，解得x∈−1,1,−12,12=A0，要使fx=0，fx的定义域必须含有集合−1,1,−12,12中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合B0中，那么集合B0相当于集合−1,1,−12,12的一个非空子集，这样的集合B0共有15个；
②2x2−3x+1=1，解得x∈0,−32,32=A1，要使fx=1，fx的定义域必须含有集合0,−32,32中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合B1中，那么集合B1相当于集合0,−32,32的一个非空子集，这样的集合B1共有7个；
③2x2−3x+1=2，解得x∈−3+174,3+174=A2，要使fx=2，fx的定义域必须含有集合−3+174,3+174中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合B2中，那么集合B2相当于集合−3+174,3+174的一个非空子集，这样的集合B2共有3个；
④2x2−3x+1=3，解得x∈−2,2=A3，要使fx=3，fx的定义域必须含有集合−2,2中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合B3中，那么集合B3相当于集合−3+174,3+174的一个非空子集，这样的集合B3共有3个；
要使fx值域为0,1,2,3，则①②③④中的解组合后形成fx的定义域，即fx定义域为B0∪B1∪B2∪B3，因此的fx定义域的组合情况有：15×7×3×3=945种，故符合要求的函数fx的个数为945.
故选：B.
7．（2023·全国·高三对口高考）设函数g(x)=x2−2(x∈R)，f(x)={g(x)−x,x≥g(x).g(x)+x+4,xA．−94,0∪(1,+∞)B．[0,+∞)
C．[−94,+∞)D．−94,0∪(2,+∞)
【解题思路】分情况讨论，进行求解即可.
【解答过程】当x0时,x>2或x<−1,
f(x)=g(x)+x+4=x2−2+x+4=x2+x+2=(x+0.5)2+1.75,
其最小值为f(−1)=2，无最大值,
因此这个区间的值域为:(2,+∞)；
当x≥g(x)时,−1≤x≤2,f(x)=g(x)−x=x2−2−x=(x−0.5)2−2.25，
其最小值为f(0.5)=−2.25，其最大值为f(2)=0，
因此这区间的值域为: [−94,0]，
综合得函数值域为: [−94,0]∪(2,+∞) ，
故选D．
8．（2023秋·重庆沙坪坝·高一校考阶段练习）已知p是r的充分条件，q是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，p是s的必要条件，现有下列命题：①r是p的必要不充分条件；②r是s的充分不必要条件；③q是p的充分不必要条件；④s是q的充要条件.正确的命题序号是（）
A．①B．②C．③D．④
【解题思路】根据题意以及充分条件和必要条件的定义确定p,q,r,s之间的关系，然后逐一判断命题①②③④的正确性即可.
【解答过程】因为p是r的的充分条件，所以p⇒r.因为q是r的充分不必要条件，所以q⇒r，r⇏q，
因为s是r的必要条件，所以r⇒s.因为p是s的必要条件，所以s⇒p，
所以由p⇒r，r⇒s，s⇒p可得p⇔r⇔s，
则r是p的充要条件，命题①错误；
则r是s的充要条件，命题②错误；
因为q⇒r，r⇏q，所以q⇒p，p⇏q，故q是p的充分不必要条件，命题③正确；
易得s⇏q，q⇒s，所以s是p的必要不充分条件，命题④错误，
故选：C.
9．（2022秋·辽宁·高一校联考阶段练习）已知对任意的实数x，y，代数式9x−y=mx−y+n4x−y恒成立，下列说法正确的是（）
A．m+n=1B．m+n=−1C．m−n=1D．m−n=−1
【解题思路】先把等式右边合并同类项，再根据等式恒成立对照列式即可求解．
【解答过程】解：mx−y+n4x−y=m+4nx−(m+n)y，
∵9x−y=mx−y+n4x−y对任意x,y恒成立，
∴m+4n=9m+n=1，
解得：m=−53n=83，
∴ m+n=1，m−n=−133．
故选：A．
10．（2023·全国·高一专题练习）实数a，b，c满足a2=2a+c−b−1且a+b2+1=0，则下列关系成立的是（）
A．b>a≥cB．c>a>bC．b>c≥aD．c>b>a
【解题思路】根据等式a2=2a+c−b−1可变形为(a−1)2=c−b，利用完全平方可得c,b大小，由a+b2+1=0得a=−b2−1，做差b−a，配方法比较大小.
【解答过程】由a+b2+1=0可得a=−b2−1，则a≤−1，
由a2=2a+c−b−1可得(a−1)2=c−b>0，利用完全平方可得
所以c>b，
∴b−a=b2+b+1=(b+12)2+34>0，
∴b>a，
综上c>b>a，
故选：D.
11．（2023·全国·高一专题练习）函数y=[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[1.5]=1,[−2.3]=−3,[3]=3．那么不等式4[x]2−12[x]+5≤0成立的充分不必要条件是（）
A．[12,52]B．[1,2]C．[1,3)D．[1,3]
【解题思路】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【解答过程】因为4[x]2−12[x]+5≤0，则2x−12x−5≤0，则12≤x≤52，
又因为[x]表示不大于x的最大整数，
所以不等式4[x]2−12[x]+5≤0的解集为：1≤x<3，
因为所求的时不等式4[x]2−12[x]+5≤0成立的充分不必要条件，
所以只要求出不等式4[x]2−12[x]+5≤0解集的一个非空真子集即可，
选项中只有[1,2]⫋1,3.
故选：B.
12．（2023秋·浙江台州·高一校考开学考试）已知不等式ax−x1x−x2>0的解集为A，不等式bx−x1x−x2≥0的解集为B，其中a、b是非零常数，则“ab<0”是“A∪B=R”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【解题思路】对a、b的符号以及x1、x2是否相等分情况讨论，得出A∪B=R的充要条件，即可判断出“ab<0”是“A∪B=R”的充要条件关系.
【解答过程】（1）若a>0，b>0.
①若x1=x2，不等式ax−x1x−x2>0即为x−x12>0，则A=xx≠x1，不等式bx−x1x−x2≥0即为x−x12≥0，得B=R，A⊆B，A∪B=B=R；
②若x1≠x2，不妨设x10即为x−x1x−x2>0，则A=−∞,x1∪x2,+∞，不等式bx−x1x−x2≥0即为x−x1x−x2≥0，得B=−∞,x1∪x2,+∞，A⊆B，则A∪B=B≠R；
（2）同理可知，当a<0，b<0时，A⊆B，A∪B=B不一定为R；
（3）若a>0，b<0.
①若x1=x2，不等式ax−x1x−x2>0即为x−x12>0，则A=xx≠x1，不等式bx−x1x−x2≥0即为x−x12≤0，则B=x1，此时，A∪B=R；
②若x1≠x2，不妨设x10即为x−x1x−x2>0，则A=−∞,x1∪x2,+∞，不等式bx−x1x−x2≥0即为x−x1x−x2≤0，则B=x1,x2，此时，A∪B=R；
（4）同理，当a<0，b>0时，A∪B=R.
综上所述，“ab<0”是“A∪B=R”的充分不必要条件.
故选A.
13．（2023秋·广西钦州·高一统考期末）当一个非空数集G满足：如果a，b∈G，则a+b，a−b，ab∈G，且b≠0时，ab∈G时，我们称G就是一个数域.以下关于数域的说法： ①0是任何数域的元素； ②若数域G有非零元素，则2019∈G； ③集合P={x|x=2k，k∈Z}是一个数域． ④有理数集是一个数域.其中正确的选项是（）
A． ① ② ④B． ② ③ ④C． ① ④D． ① ②
【解题思路】根据数域的定义代入数值分析即可得解.
【解答过程】对于①，当a=b且a,b∈G时，a−b ∈G
所以0是任何数域的元素，①正确；
对于②，当a=b≠0时，且a,b∈G时，由数域定义知ab=1∈G，
所以1+1=2∈G，1+2=3∈G,+2018=2019∈G，故选项②正确；
对于③，当a=2,b=4时，ab=12 ∉G,故选项③错误；
对于④，如果a，b∈Q，则则a+b，a−b，ab∈Q,且b≠0时，ab∈Q,所以有理数集是一个数域.
故选：A.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知x，y是正实数，则下列式子中能使x>y恒成立的是（）
A．x+2y>y+1xB．x+12y>y+1xC．x−2y>y−1xD．x−12y>y−1x
【解题思路】特殊化的方法，取x=y可判断A，取x→0，y=1可判断C，D,可排除A,C,D，可得答案B，也可利用不等式性质证明B正确.
【解答过程】对于A，取x=y，该不等式成立，但不满足x>y；
对于C，该不等式等价于x+1x>y+2y，取x→0，y=1，该不等式成立，但不满足x>y；
对于D，该不等式等价于x+1x>y+12y，取x→0，y=1，该不等式成立，但不满足x>y；
下面证明B
法一
不等式等价于x−1x>y−12y，而x−1x>y−12y>y−1y.
函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单增，故x>y.
法二
若x≤y，则12y<1x，故x+12y故选：B.
15．（2023春·河北承德·高三校考阶段练习）如果a<0，−1A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
【解题思路】通过观察三个数的特征可知ab最大，再利用作差法判断即可得出结果.
【解答过程】由选项可知，仅需要比较a,ab,ab2三个数的大小，
显然， a<0,ab>0,ab2<0，所以ab最大，
由−1所以ab2−a=a(b2−1)>0，即ab2>a
可得ab>ab2>a.
故选：D.
16．（2022·高一课时练习）已知a>0，函数y=ax2+bx+c，若m满足关于x的方程2ax+b=0，当x=m时的函数值记为M，则下列选项中的命题为假命题的是（）
A．∃x∈R，ax2+bx+c≤MB．∃x∈R，ax2+bx+c≥M
C．∀x∈R，ax2+bx+c≤MD．∀x∈R，ax2+bx+c≥M
【解题思路】由a>0知抛物线开口向上，x=m是其对称轴，且M为函数的最小值，进而对选项进行判断.
【解答过程】方程2ax+b=0的解为m=−b2a.由当x=m时的函数记为M知A、B为真命题；
∵a>0，∴函数y=ax2+bx+c在x=−b2a=m处取得最小值.
∴M是函数y=ax2+bx+c的最小值，因此D为真命题，C为假命题.
故选：C.
17．（2023·上海·高一专题练习）以某些整数为元素的集合P具有以下性质：
（1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数；
（3）−1∉P；（4）若x、y∈P，则x+y∈P．
则下列选项哪个是正确的（）
A．集合P中一定有0但没有2B．集合P中一定有0可能有2
C．集合P中可能有0可能有2D．集合P中既没有0又没有2
【解题思路】由（4）得x∈P，则kx∈P（k是正整数），由（1）可设x,y∈P，且x>0，y<0，可得0∈P.利用反证法可得若2∈P，则P中没有负奇数，若P中负数为偶数，得出矛盾即可求解.
【解答过程】解：由（4）得x∈P，则kx∈P（k是正整数）．
由（1）可设x,y∈P，且x>0，y<0，则xy、(−y)x∈P，而0=xy+(−y)x∈P．
假设2∈P，则2k∈P．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P中，
故2k−2∈P（k是正整数），
不妨令P中负数为奇数−2k+1（k为正整数），
由（4）得(2k−2)+(−2k+1)=−1∈P，矛盾．
故若2∈P，则P中没有负奇数．
若P中负数为偶数，设为−2k（k为正整数），则由（4）及2∈P，
得−2,−4,−6,⋯均在P中，即−2m−2∈P（m为非负整数），
则P中正奇数为2m+1，由（4）得(−2m−2)+(2m+1)=−1∈P，矛盾．
综上，0∈P， 2∉P.
故选:A．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知A={(x,y)x2+y2≤1,x∈Z,y∈Z}，B={(x,y)x≤3,y≤3,x∈Z,y∈Z}.定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B,}，则A⊕B的元素个数n满足（）
A．n=77B．n≤49C．n=64D．n≥81
【解题思路】先理解题意，然后分①当x1=±1,y1=0时,②当x1=0,y1=±1时, ③当x1=0,y1=0时,三种情况讨论即可.
【解答过程】解:由A=(x,y)x2+y2≤1,x∈Z,y∈Z，B=(x,y)x≤3,y≤3,x∈Z,y∈Z,
①当x1=±1,y1=0时, x1+x2=−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,
y1+y2=−3,−2,−1,0,1,2,3,
此时A⊕B的元素个数为9×7=63个,
②当x1=0,y1=±1时, x1+x2=−3,−2,−1,0,1,2,3,
y1+y2=−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,
这种情况和第①种情况除y1+y2=−4,4外均相同,故新增7×2=14个,
③当x1=0,y1=0时, x1+x2=−3,−2,−1,0,1,2,3,
y1+y2=−3,−2,−1,0,1,2,3,这种情况与前面重复,新增0个,
综合①②③可得:
A⊕B的元素个数为63+14+0=77个,
故选:A.
19．（2022秋·辽宁·高一校考阶段练习）已知A=a1,a2,a3,a4，B=a12,a22,a42，且a1A．8B．6C．7D．4
【解题思路】根据a1+a3=0可得a1=−a3，可得a12=a32，再根据A∩B=a2,a3 ⊆B=a12,a22,a42可得a2≥0，分a2=0和a2>0两种情况来讨论即可得解.
【解答过程】由a1+a3=0得a1=−a3，所以a12=a32，
A∩B=a2,a3 ⊆a12,a22,a42，所以a2≥0，
（1）若a2>0，由a2∈Z，所以a2≥1，
所以a2≤a22，a3所以a42>a3>a2，即a42∉a2,a3，
从而a2,a3=a12,a22，
所以a2=a12a3=a22，所以a3=a22=a14=a34，
即a3=0或1，与a3>a2≥1矛盾；
（2）若a2=0，
则a4>a3>a2=0，从而a42>a4，
所以a42>a3>a2，即a42∉a2,a3，
从而a2,a3=a12,a22，
所以a2=0=a22，a3=a12=a32，
所以a3=0或a3=1，又a3>a2=0，
所以a3=1，a1=−a3=−1，
又A∪B=a1,a2,a3,a4,a42，
所以a1+a2+a3+a4+a42=56，
由a1=−1,a2=0,a3=1代入可得：
a4+a42=56，所以a4=7或a4=−8（舍），
所以a3+a4=8，
故选：A.
20．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合S={1,2,3,4,5,6,7,8}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以(−1)k再求和，例如A={2,3,8}，则可求得和为(−1)2⋅2+(−1)3⋅3+(−1)8⋅8=7，对S的所有非空子集，这些和的总和为（）
A．508B．512C．1020D．1024
【解题思路】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是27(−1+2−3+4−5+6−7+8)=512.
【解答过程】因为元素1,2,3,4,5,6,7,8在集合S的所有非空子集中分别出现27次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以(−1)k再求和操作,则这些和的总和是27[(−1)1×1+(−1)2×2+(−1)3×3+(−1)4×4+(−1)5×5+(−1)6×6+(−1)7×7+(−1)8×8] =27(−1+2−3+4−5+6−7+8)=512.
故选B.
21．（2023·上海·统考二模）对于正实数α，记Mα为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：∀x1,x2∈R且x2>x1，有−α(x2−x1)A．若f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2，则f(x)+g(x)∈Mα1+α2
B．若f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2且α1>α2，则f(x)−g(x)∈Mα1−α2
C．若f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2，则f(x)⋅g(x)∈Mα1⋅α2
D．若f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2且g(x)≠0，则f(x)g(x)∈Mα1α2
【解题思路】令k=f(x2)−f(x1)x2−x1，有-α＜k＜α，进行求解即可.
【解答过程】对于−α(x2−x1)令k=f(x2)−f(x1)x2−x1，有-α＜k＜α，不妨设f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2，即有-α1＜kf＜α1，-α2＜kg＜α2，
因此有-α1-α2＜kf+kg＜α1+α2，因此有f(x)+g(x)∈Mα1+α2．
故选A．
22．（2023·全国·高一专题练习）设y1=111.2，y2=81.4，y3=1300.6，则（）
A．y2>y3>y1B．y3>y1>y2C．y1>y3>y2D．y3>y2>y1
【解题思路】通过观察三个数的特征可知，很难化成同底形式，所以可通过构造幂函数y=x0.6，利用其单调性即可比较得出结果.
【解答过程】由题意可知，y1=111.2=1120.6=1210.6，
y2=81.4=231.4=24.2=270.6=1280.6，
因为y=x0.6在0,+∞上是增函数，130>128>121，所以y3>y2>y1.
故选：D.
23．（2023春·湖南岳阳·高一统考期中）已知集合Rn={X|X=(x1,x2,⋅⋅⋅,xn),xi∈{0,1},i=1,2,⋅⋅⋅,n}(n≥2).对于A=(a1,a2,⋅⋅⋅,an)∈Rn，B=(b1,b2,⋅⋅⋅,bn)∈Rn，定义A与B之间的距离为d(A,B)=
|a1−b1|+|a2−b2|+⋅⋅⋅+|an−bn|=i=1n|ai−bi|.若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（）
A．4B．5C．6D．8
【解题思路】由题中条件可得：R3中含有8个元素，先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即M={(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}或M={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}，得解.
【解答过程】由题中条件可得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，
已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，
所以M={(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}
或M={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)},
故集合M中元素个数最大值为4，
故选：A.
24．（2023秋·浙江丽水·高一统考期末）已知f(x)，g(x)，ℎ(x)为一次函数，若对实数x满足f(x)+g(x)−ℎ(x)=2x−1,x<−126x+1,−12≤x<235,x≥23，则f(x)的表达式为（）
A．f(x)=x−2B．f(x)=x+2
C．f(x)=−x−2D．f(x)=−x+2
【解题思路】根据题意，由绝对值的意义分析可得函数g(x)=0和ℎ(x)=0的根为x=−12和x=23，然后按g(x),ℎ(x)的符号分4种情况讨论，求出f(x)的解析式即可.
【解答过程】由f(x)+g(x)−ℎ(x)=2x−1,x<−126x+1,−12≤x<235,x≥23可知函数的分段点为−12和23，
而函数f(x)，g(x)，ℎ(x)为一次函数，所以可得函数g(x)=0和ℎ(x)=0的根为x=−12和x=23，
假设g(x)=0的根为x=−12，ℎ(x)=0的根为x=23，
分4种情况讨论：
（1）x<−12时，g(x)<0，x<23时，ℎ(x)<0，
当x<−12时，f(x)+g(x)−ℎ(x)=f(x)−g(x)+ℎ(x)=2x−1，
当x≥23时，f(x)+g(x)−ℎ(x)=f(x)+g(x)−ℎ(x)=5，
两式相加可得f(x)=x+2，
（2）x<−12时，g(x)>0，x<23时，ℎ(x)>0，
当x<−12时，f(x)+g(x)−ℎ(x)=f(x)+g(x)−ℎ(x)=2x−1，
当x≥23时，f(x)+g(x)−ℎ(x)=f(x)−g(x)+ℎ(x)=5，
两式相加可得f(x)=x+2，
（3）x<−12时，g(x)>0，x<23时，ℎ(x)<0，
当x<−12时，f(x)+g(x)−ℎ(x)=f(x)+g(x)+ℎ(x)=2x−1，
当x≥23时，f(x)+g(x)−ℎ(x)=f(x)−g(x)−ℎ(x)=5，
两式相加可得f(x)=x+2，
（4）x<−12时，g(x)<0，x<23时，ℎ(x)>0，
当x<−12时，f(x)+g(x)−ℎ(x)=f(x)−g(x)−ℎ(x)=2x−1，
当x≥23时，f(x)+g(x)−ℎ(x)=f(x)+g(x)+ℎ(x)=5，
两式相加可得f(x)=x+2，
综上可得f(x)=x+2
故选：B.
25．（2023·全国·高一专题练习）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设AE=x，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（）

A． B．
C． D．
【解题思路】建立y关于x的关系式，分为E点在AB中点左侧和右侧分类讨论，结合函数图象变化情况即可求解．
【解答过程】因为△ABC是边长为2的等边三角形，
所以当AE=x时，设直线l与AC交点为F，
当E点在AB中点左侧时，EF=3x，S△AEF=12x⋅3x=32x2(0≤x≤1)，
此时函数为开口向上的二次函数；此时可排除BC，
当E点在AB中点右侧时，S△BEF=12(2−x)⋅3(2−x)=32(2−x)2，
此时左侧部分面积为：S△ABC−S△BEF=34×22−32(2−x)2=−32(x−2)2+3(1此时函数为开口向下d额二次函数，此时可排除A，
故选：D．

26．（2023·全国·高一专题练习）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数．例如：π=3，−5,1=−6，已知函数fx=2xx2+1，则函数y=fx的值域为（）
A．−1,1B．−1,0C．1,0D．−1,0,1
【解题思路】利用基本不等式可求得函数fx的值域，由此可求得函数y=fx的值域.
【解答过程】当x>0时，0当x<0时，fx=2xx2+1=−2−x+1−x≥−22−x⋅1−x=−1，当且仅当x=−1时，等号成立，
此时−1≤fx<0；
又因为f0=0，所以，函数fx的值域为−1,1，
当−1≤fx<0时，fx=−1；当0≤fx<1时，fx=0；
当fx=1时，fx=1.
综上所述，函数y=fx的值域为−1,0,1.
故选：D.
27．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三校考开学考试）定义minx,y表示两个数x,y中的较小者，maxx,y表示两个数x,y中的较大者，设集合M=1,2,3,4,5,6,7,8,S1,S2,⋯,Sk都是M的含有两个元素的子集，且满足：对任意的Si=ai,bi,Sj=aj,bji≠j,i,j∈1,2,3,⋯,k都有，minaibi,biai⋅maxajbj,bjaj=1,则k的最大值是（）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】对于M，含2个元素的子集有C82=28个，据此进行求解即可.
【解答过程】根据题意，对于M，含2个元素的子集有C82=28个,
其中, {1，2}、{2，4}、{3，6}、{4，8}可以任选两个;
{1，3}、{2，6}符合题意;
{2，3}、{4，6}符合题意;
{3，4}、{6，8}符合题意;
即满足minaibi,biai⋅maxajbj,bjaj=1的任意的Si=ai,bi,Sj=aj,bji≠j,i,j∈1,2,3,⋯,k最多有4个,
故k的最大值是4,
故选：C.
28．（2022秋·全国·高一期末）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）(x∈[120,500])之间的函数关系可近似表示为y=13x3−80x2+5040x,x∈[120,144)12x2−200x+80000,x∈[144,500]，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（）
A．120B．200C．240D．400
【解题思路】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分x∈[120,144)和x∈[144,500]分析讨论求出其最小值即可
【解答过程】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为S=13x2−80x+5040,x[120,144)12x−200+80000x,x∈[144,500]，
当x∈[120,144)时，S=13x2−80x+5040=13(x−120)2+240，
当x=120时，S取得最小值240，
当x∈[144,500] 时，S=12x+80000x−200≥212x⋅80000x−200=200，
当且仅当12x=80000x，即x=400时取等号，此时S取得最小值200，
综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，
故选：D.
29．（2023春·湖南岳阳·高一统考期中）设集合S,T中至少两个元素，且S,T满足：①对任意x,y∈S，若x≠y，则x+y∈T ，②对任意x,y∈T，若x≠y，则x−y∈S，下列说法正确的是（）
A．若S有2个元素，则S∪T有3个元素
B．若S有2个元素，则S∪T有4个元素
C．存在3个元素的集合S，满足S∪T有5个元素
D．存在3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素
【解题思路】不妨设S={a,b}，由②知集合S中的两个元素必为相反数，设S={a,−a}，由①得0∈T，由于集合T中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m∈T，分集合T有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.
【解答过程】若S有2个元素，不妨设S={a,b}，
以为T中至少有两个元素，不妨设x,y⊆T，
由②知x−y∈S,y−x∈S，因此集合S中的两个元素必为相反数，故可设S={a,−a}，
由①得0∈T，由于集合T中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m∈T，
当集合T有2个元素时，由②得：−m∈S，则m=±a,T={0,−a}或T={0,a}.
当集合T有多于2个元素时，不妨设T={0,m,n}，
其中m,n,−m,−n,m−n,n−m∈S，
由于m≠n,m≠0,n≠0，所以m≠−m,n≠−n，
若m=−n，则n=−m，但此时m−n=2m≠m,m−n=−2n≠n，
即集合S中至少有m,n,m−n这三个元素，
若m≠−n，则集合S中至少有m,n,m−n这三个元素，
这都与集合S中只有2个运算矛盾，
综上，S∪T={0,a,−a}，故A正确；
当集合S有3个元素，不妨设S={a,b,c}，
其中a集合S中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S中至少4个元素，与S={a,b,c}矛盾，排除C，D.
故选：A.
30．（2022秋·北京·高一校考阶段练习）设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为XA=M−m，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知A1，A2，A3，…，An是集合N∗的元素个数均不相同的非空真子集，且XA1+XA2+XA3+⋅⋅⋅+XAn=60，则n的最大值为（）
A．10B．11C．12D．13
【解题思路】根据题设描述只需保证各集合中XAn=M−m（n∈N∗）尽量小，结合已知及集合的性质有n最大时XA1+XA2+XA3+...+XAn=n(n−1)2，进而分析n的取值.
【解答过程】由题设A1，A2，A3，…，An中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，
要使n最大，则各集合中XAn=M−m（n∈N∗）尽量小，
所以集合A1，A2，A3，…，An的元素个数尽量少且数值尽可能连续，
所以，不妨设XA1=0,XA2=1,XA3=2,...,XAn=n−1，有XA1+XA2+XA3+...+XAn=n(n−1)2，
当n=11时，XA1+XA2+XA3+...+XAn=55<60，
当n=12时，XA1+XA2+XA3+...+XAn=66>60，
只需在n=11时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故n的最大值为11.
故选：B.
31．（2023秋·黑龙江·高三校考阶段练习）函数fx=m2−m−1xm2+m−3是幂函数，对任意x1，x2∈0,+∞，且x1≠x2，满足fx1−fx2x1−x2<0，若a，b∈R，且a<0A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
【解题思路】利用幂函数的定义以及结合fx1−fx2x1−x2<0成立等价于函数为减函数可求出m的值，利用函数的单调性与奇函数求解即可.
【解答过程】因为对任意x1，x2∈0,+∞，且x1≠x2，满足fx1−fx2x1−x2<0，所以f(x)在0,+∞上为减函数，
由已知fx=m2−m−1xm2+m−3是幂函数，可得m2−m−1=1，
解得m=2或m=−1，
当m=2时，fx=x3，在0,+∞上为增函数，故不成立.
当m=−1时，fx=x−3，在0,+∞上为减函数，满足条件，
故m=−1，fx=x−3，故f(x)为奇函数，
因为a<0所以f−a>fb，
所以−fa>fb，
所以fa+fb<0.
故选：B.
32．（2023秋·高一课时练习）函数fx=m2−m−1xm2+m−3是幂函数，对任意x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，满足fx1−fx2x1−x2>0，若a,b∈R，且a+b>0，ab<0，则fa+fb的值（）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
【解题思路】确定函数在0,+∞上单调递增，根据幂函数得到m=2或m=−1，验证单调性得到fx=x3，代入数据计算得到答案.
【解答过程】对任意的x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，满足fx1−fx2x1−x2>0，函数是单调增函数，
fx=m2−m−1xm2+m−3是幂函数，可得m2−m−1=1，解得m=2或m=−1，
当m=2时，fx=x3；当m=−1时，fx=x−3，不满足单调性，排除，
故m=2，fx=x3．
a+b>0，ab<0，故fa+fb=a3+b3=a+ba2−ab+b2>0恒成立．
故选：A.
33．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)，满足f12+x=f12−x，在区间−12,0上递增，则（）
A．f(2)C．f(0.3)【解题思路】根据函数是R上的奇函数f(x)，满足f12+x=f12−x可知函数一对称轴为x=12，再根据奇函数可知f(x)的周期为2，只需比较f(2)， f(0.3)， f(0)的大小即可.
【解答过程】因为f12+x=f12−x，
所以f(x)的图象关于直线x=12 对称，
由f12+x=f12−x可知f(x)=f(1−x)，
又函数是R上的奇函数，
所以f(−x)=−f(x)=f(1+x) ，
所以f(x+2)=−f(x+1)=f(x) ，即函数的周期T=2 ，
所以f(20)=f(0)
因为奇函数f(x)在区间−12,0上递增，所以f(x)在[−12,12]上递增，
因为f(x)的图象关于直线x=12 对称，所以f(x)在[12,32]上递减，
所以f(2)故选 A.
34．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数y=xm2−2m−3m∈N∗的图象关于y轴对称，且在0,+∞上单调递减，则满足a+1−m3<3−2a−m3的a的取值范围为（）
A．0,+∞B．−23,+∞
C．0,32D．−∞,−1∪23,32
【解题思路】由条件知m2−2m−3<0，m∈N∗，可得m＝1．再利用函数y=x−13的单调性，分类讨论可解不等式.
【解答过程】幂函数y=xm2−2m−3m∈N∗在0,+∞上单调递减，故m2−2m−3<0，解得−1当m＝1时，y=x−4的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时，y=x−3的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为a+1−13<3−2a−13，
函数y=x−13在−∞,0和0,+∞上单调递减，
故a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，解得a<−1或23故选：D．
35．（2023·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足a+b=3，若a5+b5≥λab恒成立，则实数λ的取值范围为（）
A．−∞,812B．(−∞,274]C．−∞,814D．−∞,272
【解题思路】先参变分离得a4b+b4a≥λ，再利用a+b3=1，与a4b+b4a相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.
【解答过程】依题意，a4b+b4a≥λ．
又a+b=3，
而a4b+b4a=a4b+b4a(a+b)3=a5b+b5a+a4+b43
≥2a5b⋅b5a+a4+b43=a4+b4+2a2b23=a2+b223=a2+b22+a2+b2223
≥a2+b22+2ab223=(a+b)412=274，
当且仅当a=b，即a=32，b=32时，
前后两个不等号中的等号同时成立，所以λ的取值范围为−∞,274
故选：B.
36．（2023·全国·高一专题练习）已知实数a>0,b>1满足a+b＝5，则2a+1b−1的最小值为（）
A．3+224B．3+424C．3+226D．3+426
【解题思路】所求2a+1b−1的分母特征，利用a+b＝5变形构造a+(b−1)=4，再等价变形14(2a+1b−1)[a+(b−1)]，利用基本不等式求最值.
【解答过程】解：因为a>0,b>1满足a+b＝5，
则2a+1b−1=(2a+1b−1)a+b−1×14
=143+2b−1a+ab−1≥14(3+22)，
当且仅当2b−1a=ab−1时取等号，
故选：A．
37．（2023·全国·高一专题练习）若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式x+y4A．(−1,4)B．(−4,1)C．(−∞,−4)∪(1,+∞)D．(−∞,−3)∪(0,+∞)
【解题思路】依题意可得4y+1x=1，再利用乘“1”法及基本不等式求出x+y4的最小值，即可得到m2+3m>4，解一元二次不等式即可.
【解答过程】解：因为x>0，y>0且4x+y=xy，所以4y+1x=1，
所以x+y4=x+y4⋅4y+1x=2+4xy+y4x≥2+24xy⋅y4x=4，
当且仅当4xy=y4x，即y=4x=8时等号成立，
所以m2+3m>4，即(m+4)(m−1)>0，解得m<−4或m>1，
所以m的取值范围是(−∞,−4)∪(1,+∞)．
故选：C.
38．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式kx>x−2恰好有4个整数解，则实数k的范围为（）
A．0,25B．25,35C．35,23D．23,1
【解题思路】依题意可得，0＜k＜1，结合函数 y＝k|x|与 y＝﹣|x﹣2|的图象可得4个整数解是2，3，4，5，由y=kxy=x−2⇒x=21−k∈(5，6]，即可得35＜k≤23.
【解答过程】解：依题意可得，0＜k＜1，
函数 y＝k|x|与 y＝﹣|x﹣2|的图象如下，
由0＜k＜1，可得xA＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，
由y=kxy=x−2⇒xB=21−k∈(5，6]，故35＜k≤23；
故选：C.
39．（2023·全国·高一专题练习）若关于x的不等式3−x−a>x2在−∞,0上有解，则实数a的取值范围是（）
A．−134,3B．−3,134C．−∞,134D．3,+∞
【解题思路】可将不等式转化为3−x2>x−a至少有一个负数解，再结合图形确定临界点，即可求解
【解答过程】由题，可将3−x−a>x2在−∞,0上有解转化为3−x2>x−a至少有一个负数解，
构造fx=3−x2,gx=x−a，画出图形，如图：

当a=3时，fx与gx相交于0,3点，要使fx与gx相交于y轴左侧，则需满足a<3，
在函数gx不断左移的过程中，若与fx左侧曲线相切，则有3−x2=x−a，对应的Δ=0，
解得a=−3.25，则a>−3.25，
综上所述，a∈−134,3.
故选：A.
40．（2023·全国·高一专题练习）设集合P1=x|x2+ax+1>0，P2=x|x2+ax+2>0，Q1=x|x2+x+b>0，Q2=x|x2+2x+b>0，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）
A．对任意a，P1是P2的子集，对任意的b，Q1不是Q2的子集
B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集
C．存在a，使得P1不是P2的真子集，对任意的b，Q1是Q2的子集
D．存在a，使得P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集
【解题思路】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.
【解答过程】解：对于集合P1=x|x2+ax+1>0，P2=x|x2+ax+2>0
可得当m∈P1，即m2+am+1>0，可得m2+am+2>0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；
当b=5时，Q1=x|x2+x+5>0=R，Q2=x|x2+2x+5>0=R，可得Q1是Q2的子集；
当b=1时，Q1=x|x2+x+1>0=R，Q2=x|x2+2x+1>0={x|x≠−1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集；
综上有，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集.
故选：B.
41．（2023秋·贵州贵阳·高一统考期末）某公司在30天内A商品的销售价格P（元）与时间t（天）的关系满足下方图象所示的函数，A商品的销售量Q（万件）与时间t的关系是Q=40−t，则下列说法正确的是（）
①第15天日销售额最大 ②第20天日销售额最大
③最大日销售额为120万元 ④最大日销售额为125万元
A．①③B．①④C．②③D．②④
【解题思路】先由函数图象利用待定系数法求得销售价格P（元）关于时间t（天）的函数解析式，再求销售额关于t的函数解析式，从而结合二次函数性质求其最大值，由此得解.
【解答过程】由图象可得当0≤t≤20时，可设P=at+b，根据图象知过点(0,2),(20,6)，
所以b=26=20a+b，解得b=2,a=15，所以P=15t+2，
当20≤t≤30，可设P=mt+n，根据图象知过点(20,6),(30,5)，
所以6=20m+n5=30m+n，解得m=−110,n=8，所以P=−110t+8，
综上可得，P=15t+2,0≤t<20−110t+8,20≤t≤30，
又Q=−t+40 0则y=P⋅Q=15t+2−t+40,0化简可得y=−15t2+6t+80,0当0当20≤t≤30时，y=110t−602−40，所以y≤120，当且仅当t=20时，等号成立；’
综上可得，第15日的销售额最大，最大值为125万元，故①④正确.
故选：B.
42．（2023秋·河北衡水·高三校考开学考试）已知正实数a，b满足1a+9b=1，若不等式a+b≥−x2+4x+18−m对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．3,+∞B．−∞,3C．−∞,6D．6,+∞
【解题思路】利用基本不等式求出a+b的最小值16，分离参数即可.
【解答过程】因为a>0，b>0，1a+9b=1，
所以a+b=a+b1a+9b=10+ba+9ab≥10+2ba⋅9ab=16，当且仅当ba=9ab，即a=4，b=12时取等号．
由题意，得16≥−x2+4x+18−m，即x2−4x−2≥−m对任意的实数x恒成立，又x2−4x−2=x−22−6≥−6，所以−6≥−m，即m≥6．
故选：D．
43．（2023·上海·高三专题练习）已知k∈N∗，x,y,z∈R+，若k(xy+yz+zx)>5(x2+y2+z2)，则对此不等式描述正确的是（）
A．若k=5，则至少存在一个以x,y,z为边长的等边三角形
B．若k=6，则对任意满足不等式的x,y,z都存在以x,y,z为边长的三角形
C．若k=7，则对任意满足不等式的x,y,z都存在以x,y,z为边长的三角形
D．若k=8，则对满足不等式的x,y,z不存在以x,y,z为边长的直角三角形
【解题思路】利用排除法。进行求解即可.
【解答过程】本题可用排除法，由x2+y2+z2=x2+y22+y2+z22+z2+x22≥xy+yz+zx，
对于A，若k=5，可得xy+yz+zx>x2+y2+z2，故不存在这样的x,y,z,A错误，排除A；
对于C,x=1,y=1,z=2时，7xy+yz+zx>5x2+y2+z2成立，而以x,y,z为边的三角形不存在，C错误，排除C；
对于D, x=1,y=1,z=2时，8xy+yz+zx>5x2+y2+z2成立，存在以x,y,z为边的三角形为直角三角形，故D错误，排除D,
故选B.
44．（2023春·黑龙江双鸭山·高二校考阶段练习）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意x，y满足fx−y=fxgy−gxfy，且f−2=f1≠0，则下列说法正确的是（）
A．f0=1B．函数g2x+1的图象关于点1,0对称
C．g1+g−1=0D．若f1=1，则n=12023fn=1
【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取fx=sin2π3x,gx=cs2π3x可判断B，对于D，通过观察选项可以推断fx很可能是周期函数，结合fxgy,gxfy的特殊性及一些已经证明的结论，想到令y=−1和y=1时可构建出两个式子，两式相加即可得出fx+1+fx−1=−fx，进一步得出fx是周期函数，从而可求n=12023fn的值.
【解答过程】解：对于A，令x=y=0，代入已知等式得f0=f0g0−g0f0=0，得f0=0，故A错误；
对于B，取fx=sin2π3x,gx=cs2π3x，满足fx−y=fxgy−gxfy及f−2=f1≠0，
因为g3=cs2π=1≠0，所以gx的图象不关于点3,0对称，
所以函数g2x+1的图象不关于点1,0对称，故B错误；
对于C，令y=0，x=1，代入已知等式得f1=f1g0−g1f0，
可得f11−g0=−g1f0=0，结合f1≠0得1−g0=0，g0=1，
再令x=0，代入已知等式得f−y=f0gy−g0fy，
将f0=0，g0=1代入上式，得f−y=−fy，所以函数fx为奇函数.
令x=1，y=−1，代入已知等式，得f2=f1g−1−g1f−1，
因为f−1=−f1，所以f2=f1g−1+g1，
又因为f2=−f−2=−f1，所以−f1=f1g−1+g1，
因为f1≠0，所以g1+g−1=−1，故C错误；
对于D，分别令y=−1和y=1，代入已知等式，得以下两个等式：fx+1=fxg−1−gxf−1，fx−1=fxg1−gxf1，
两式相加易得fx+1+fx−1=−fx，所以有fx+2+fx=−fx+1，
即：fx=−fx+1−fx+2，
有：−fx+fx=fx+1+fx−1−fx+1−fx+2=0，
即：fx−1=fx+2，所以fx为周期函数，且周期为3，
因为f1=1，所以f−2=1，所以f2=−f−2=−1，f3=f0=0，
所以f1+f2+f3=0，
所以n=12023fn=1=f1+f2+f3+⋯+f2023=f2023=f1=1，故D正确.
故选：D.
45．（2023秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知函数fx的定义域为R，对任意实数x，y满足fx+y=fx+fy+12，且f12=0，当x>12时，fx>0．给出以下结论：①f0=−12；②f−1=−32；③fx为R上减函数；④fx+12为奇函数；其中正确结论的序号是（）
A．①②④B．①④C．①②D．①②③④
【解题思路】利用抽象函数的关系式，令x=y=0判断①的正误；令x=12，y=−12判断②的正误；令x>0,y=12，可得当x>0时，fx>−12，再令x=x1−x2,y=x2，结合单调性的定义判断③的正误；令y=−x判断④的正误；
【解答过程】因为fx+y=fx+fy+12，则有：
令x=y=0，可得f(0+0)=f(0)+f(0)+12，
即f(0)=2f(0)+12，解得f(0)=−12，故①正确；
令x=12，y=−12，可得f12−12=f12+f−12+12，
即−12=f−12+12，解得f−12=−1，
再令x=y=−12，可得f−12−12=f−12+f−12+12，
即f−1=−1+−1+12=−32，故②正确；
令x>0,y=12，可得fx+12=fx+f12+12=fx+12，
即fx=fx+12−12
因为x>0，则x+12>12，可得fx+12>0，所以fx=fx+12−12>−12，
令x=x1−x2,y=x2，不妨设x1>x2，
可得f(x1)=f(x1−x2)+f(x2)+12，即f(x1)−f(x2)=f(x1−x2)+12，
因为x1>x2，则x1−x2>0，则fx1−x2>−12，
可得f(x1)−f(x2)=f(x1−x2)+12>0，即f(x1)>f(x2)，
所以fx为R上增函数，故③错误；
令y=−x，可得f(x−x)=f(x)+f(−x)+12，
即f(0)=f(x)+f(−x)+12=−12，整理得f(x)+12+f(−x)+12=0，
所以fx+12为奇函数，故④正确；
故选：A．
46．（2023春·河南焦作·高二校考期末）已知函数f(x)=−x3+2,x<0−x+3, x≥0，g(x)=kx+5−2k(k>0)，若对任意的x1∈[−1，1]，总存在x2∈[−1，1]使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为（）
A．(0,2]B．(0,23]C．(0,3]D．(1,2]
【解题思路】计算得到fxmax=f−1=f0=3，gxmax=g1=5−k根据题意得到5−k≥3，即可解得答案.
【解答过程】f(x)=−x3+2,x<0−x+3, x≥0，当x∈−1,1时，fxmax=f−1=f0=3，
g(x)=kx+5−2k(k>0)，当x∈−1,1时，gxmax=g1=5−k，
根据题意知：5−k≥3，∴k≤2 ，
故k∈(0,2]，
故选：A.
47．（2023·全国·高一专题练习）如图,将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠,使得点B始终落在边AD上,则折起的部分的面积最小值为（）

A．14B．38C．25D．12
【解题思路】设AB′=x，可证明△MQB∼△B′AB、Rt△MRN≅Rt△B′AB，从而可求B′M=121+x2、C′N=12x−12，从而可得所求梯形MNC′B′的面积表达式为S=12x−122+38，从而可求其最小值.
【解答过程】如图，

过N作NR⊥AB与R，则RN=BC=1，连BB′，交MN于Q，
则由折叠知，△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，即△MBQ≅△MB′Q，
有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′，
∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，∴△MQB∼△B′AB，
∴AB′MQ=ABBQ=BB′MB，
设AB′=x，则BB′=1+x2，BQ=121+x2，
代入上式得：BM=B′M=121+x2，
∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，
∴∠MNR=∠ABB′，在Rt△MRN和Rt△B′AB中，
∵∠MNR=∠ABB′RN=AB∠A=∠NRM=90°，∴Rt△MRN≅Rt△B′AB，∴MR=AB′=x，
故C′N=CN=BR=MB−MR=121+x2−x =12x−12，
∴梯形MNC′B′的面积为
S=12[12x−12+12x2+1]×1=12x2−x+1=12x−122+38，
得当x=12时，梯形面积最小，其最小值38，
故选：B．
48．（2023秋·江西新余·高一统考期末）已知a,b∈R，且a≠b，满足a−24+a−22=2022b−24+b−22=2022，若对于任意的x∈3,6，均有tx2+2x≤a+b成立，则实数t的最大值是（）
A．−14B．−29C．14D．29
【解题思路】根据题意得到a+b=4，则对于任意的x∈3,8，均有tx2+2x≤4，分离参数，再根据二次函数的性质即可得解.
【解答过程】已知a，b∈R，且a≠b，满足(a−2)4+(a−2)2=2022(b−2)4+(b−2)2=2022，
则(a−2)4+(a−2)2−(2−b)4−(2−b)2=0，
即(a−2)2+(2−b)2(a−2)2−(2−b)2+(a−2)2−(2−b)2=0，
所以(a−2)2+(2−b)2+1(a−2)2−(2−b)2=0
又a≠b，则a−2≠b−2，则有2−a=b−2，即a+b=4，
所以若对于任意的x∈3,8，均有tx2+2x≤a+b=4成立，
即t≤4−2xx2=2x2−2x=2x−122−14，对于任意的x∈3,8恒成立，
当x∈3,8时，2x−122−14≥−14，当x=4时等号成立，即得t≤−14，
所以实数t的最大值是−14.
故选：A.
49．（2023春·福建福州·高一校考期末）设函数y=fx，x≠0，对于任意正实数x1,x2 x1≠x2，都有x23fx1−x13fx2lnx1−lnx2<0.已知函数y=fx+1的图象关于点−1,0中心对称，且f1=1，则不等式fx≤x3的解集为（）
A．−1,0∪0,1B．−1,0∪1,+∞
C．−∞,−1∪0,1D．−∞,−1∪1,+∞
【解题思路】先判断函数y=fx的奇偶性，构造函数g(x)=fxx3,判断gx的单调性和奇偶性，分情况讨论，利用单调性即可求解.
【解答过程】函数y=fx+1的图象关于点−1,0成中心对称，
故函数y=fx的图象关于点0,0成中心对称，即y=fx是奇函数.
记g(x)=fxx3, g(−x)=f−x−x3=gx,所以gx是偶函数，
对于任意正数x1,x2x1≠x2，都有x23fx1−x13fx2lnx1−lnx2<0，
即x13x23fx1x13−fx2x23lnx1−lnx2<0，
当0g(x2)，
当0lnx2，得g(x1)所以g(x)在0,+∞ 单调递减，且g1=1，
gx是偶函数,故g(x)在−∞,0单调递增，且g−1=1
当x>0 时，fx≤x3⇔gx≤1=g1⇒x≥1，
当x<0 时，fx≤x3⇔gx≥1=g−1⇒−1≤x<0，
故fx≤x3的解集为−1,0∪1,+∞.
故选：B.
50．（2023·天津滨海新·天津市校考三模）设fx是定义在R上的函数，若Fx=fx+x2是奇函数.Gx=fx−x是偶函数，函数gx=fx,x∈0,12gx−1,x∈1,+∞，则下列说法正确的个数有（）
（1）当x∈2,3时，gx=−2x−2x−3
（2）g2k−12=2k−1k∈N∗
（3）若gm≥2，则实数m的最小值为72
（4）若ℎx=gx−kx−2有三个零点，则实数k=−16
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】由题可得fx=x−x2，后由题目条件可得gx大致图象.（1）由题目条件可得x∈2,3时，gx=2gx−1=4gx−2=4fx−2；（2）注意k=1的特殊情况；（3）由题可得x∈3,4时，gx=−8x−3x−4⇒g72=2，后结合图象可得答案；（4）问题转化为gx图象与直线y=kx−2有3个交点，等价于直线y=kx−2与gx在x∈0,1时的图象相切.
【解答过程】因Fx=fx+x2是奇函数，则fx+x2+f−x+x2=0.因Gx=fx−x是偶函数，则fx−x=f−x+x⇒f−x=fx−2x.
则2fx+2x2−2x=0⇒fx=x−x2.
又注意到x∈1,2时，x−1∈0,1，则gx=2gx−1=2fx−1；x∈2,3时，x−1∈1,2,x−2∈0,1，则gx=2gx−1=4gx−2=4fx−2.以此类推，可得gx大致图象如下.
（1）x∈2,3时，x−1∈1,2，x−1−1∈0,1.则gx=2gx−1=4gx−2=4fx−2=−4x−2x−3，故（1）错误；
（2）注意到当k=1时，g2k−12=g12=f12=14≠20，故（2）错误；
（3）当x∈3,4时，由以上分析：gx=8fx−3=−8x−3x−4，则g72=2，结合图象可知若当m<72时，gm<2，则m的最小值为72，故（3）正确；
（4）ℎx=gx−kx−2有三个零点等价于gx图象与直线y=kx−2有3个交点.由图可得，当直线y=kx−2与gx在x∈0,1时的图象相切时，满足题意.注意到当x∈0,1时，gx图象上有一点B12,14，又y=kx−2恒过定点A2,0，kAB=−16，则当y=kx−2与gx在x∈0,1时的图象相切时，
k故选：A.