高一上学期第一次月考十五大题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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题型1
集合中元素特性的求参问题
1．（2023·江苏·高一专题练习）由a2，2−a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A．−1B．1C．3D．2
2．（2023·全国·高一专题练习）已知a∈R，b∈R，若集合a,ba,1=a2,a−b,0，则a2019+b2020的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
3．（2023秋·高一课时练习）若M=x+1,x2−5,4，求x的取值范围．
4．（2023秋·高一课时练习）设集合A中含有三个元素3,x,x2−2x
（1）求实数x应满足的条件；
（2）若−2∈A，求实数x.
题型2
根据元素与集合的关系求参数
1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=0,m,m2−3m+2，且2∈A，则实数m为（ ）
A．2B．3C．0或3D．0,2,3
2．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合A=a+1,a2+4a−9,2021，若−4∈A，则实数a的值为（ ）．
A．−5B．1C．5或−1D．−5或1
3．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A中有三个元素：a−3，2a−1，a2+1，集合B中也有三个元素：0，1，x．
(1)若−3∈A，求实数a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值．
4．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合S满足:若a∈S，则11−a∈S.请解答下列问题:
(1)若2∈S，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.
(2)证明:若a∈S，则1−1a∈S.
(3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由.
题型3
利用集合间的关系求参数
1．（2023秋·辽宁沈阳·高三校考开学考试）若集合A=x2a+1≤x≤3a−5,B=x5≤x≤16,则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为（ ）
A．a2≤a≤7B．a6≤a≤7C．aa≤7D．aa<6
2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=x∈Rx2−3x−18<0，B=x∈Rx2+ax+a2−27<0，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3
C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B⊊A时，则−63．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合A={x|−2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m−1}.
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围.
4．（2023·江苏·高一专题练习）设集合A=xx2−1=0，B={x|x2−ax+b=0}，且B≠∅．
(1)若A⊆B，求实数a,b的值；
(2)若A⊆C，且C=−1,2m+1,m2，求实数m的值．
题型4
交、并、补集的混合运算
1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=x−1A．A∩B=∅B．A∪B=x−2C．A∪∁RB=xx≤−1或x>2D．A∩∁RB=x22．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）设全集U=R，集合M=xx>−1，N=x−2A．∁UM∩NB．∁UM∪N
C．M∩∁UND．N∪∁UM
3．（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合A=x−1≤x≤4，B=xx<1或x>5．
(1)若全集U=R，求A∪B、∁UA∩B；
(2)若全集U=Z，求A∩∁UB；
4．（2023·全国·高一专题练习）设集合U={x∣x≤5}，A={x∣1≤x≤2} ，B={x∣−1≤x≤4}．求：
(1)A∩B；
(2)∁U(A∪B)；
(3)∁UA∩∁UB
题型5
集合混合运算中的求参问题
1．（2023·全国·高一专题练习）设集合A=x|x<2或x≥4，B=xxA．a<2B．a>2C．a≤4D．a≥4
2．（2023·全国·高一专题练习）设集合U={x,y|x∈R,y∈R}，A={x,y|2x−y+m≥0}，B=x,y|x+y−n>0，若点P2,3∈A∩∁UB，则m+n的最小值为（ ）
A．−6B．1C．4D．5
3．（2023秋·江苏南京·高一校考开学考试）已知集合A=xx<−3或x>7，B=xm+1≤x≤2m−1．
(1)若∁RA∪B=∁RA，求m的取值范围；
(2)若∁RA∩B=xa≤x≤b，且b−a≥1，求m的取值范围．
4．（2023·江苏·高一专题练习）已知A=xx2−6x+5=0，B=xax−1=0.
(1)若a=1，求A∩∁ZB；
(2)从①A∪∁RB=R；②A∩B=B；③B∩∁RA=∅这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.
问题：若 ，求实数a的所有取值构成的集合C.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
题型6
由充分条件、必要条件求参数
1．（2023·江苏·高一专题练习）若“-1A．m|−43≤m≤12B．m|−12≤m≤43
C．m|m<-12D．m|m≥43
2．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）设p:x−a≤3，q:2x2+x−1≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．−52,2B．−52,2C．−2,52D．−2,52
3．（2023秋·山东菏泽·高一校考期末）已知全集U=R，集合A=xx−5x−2≤0，B=xa−1(1)当a=2时，求∁UA∩∁UB；
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知条件p:集合M={x|−2≤x≤10}，条件q:非空集合S={x|1−m≤x≤1+m}．
(1)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
(2)若x∉M是x∉S的必要条件，求实数m的取值范围．
(3)否存在实数m，使x∈M是x∈S的充要条件．
题型7
根据命题的真假求参数
1．（2023·全国·高一专题练习）命题p:∃x0∈R，使得kx02−6kx0+k+8<0成立.若p是假命题，则实数k的取值范围是（ ）
A．0,1B．0,1
C．−∞,0∪1,+∞D．−∞,0∪1,+∞
2．（2023春·四川德阳·高二校考阶段练习）已知命题p：∀x∈R，x2−x+a>0，则“a∈−∞,0”是“¬p是真命题”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023秋·山西晋中·高三校考开学考试）已知命题p：对于任意x∈1,2，都有x2−a≥0：命题q：存在x∈R，使得x2+2ax+2−a=0．若p与q中至少有一个是假命题，求实数a的取值范围．
4．（2023·全国·高一专题练习）已知命题p:∀x∈R,x2−2mx−3m>0成立；命题q:∃x∈R,x2+4mx+1<0成立．
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p真q假，求实数m的取值范围．
题型8
利用作差法、作商法比较大小
1．（2023·全国·高一专题练习）设p=a2+a+1−1，q=a2−a+1，则（ ）．
A．p>qB．p2．（2023春·湖北武汉·高二统考期末）购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为p1，第二天物品的价格为p2，且p1≠p2，则以下选项正确的为（ ）
A．第一种方式购买物品的单价为p1p2p1+p2
B．第二种方式购买物品的单价为p1+p22
C．第一种方式购买物品所用单价更低
D．第二种方式购买物品所用单价更低
3．（2023·全国·高一专题练习）试比较下列组式子的大小：
(1)x+1−x与x−x−1，其中x>1；
(2)M=a1+a+b1+b与N=b1+a+a1+b，其中a>0，b>0；
(3)a2−b2a2+b2与a−ba+b，a>b>0．
4．（2023·全国·高一专题练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
题型9
利用不等式的性质求取值范围
1．（2023·全国·高一专题练习）已知0≤a−b≤1,2≤a+b≤4，则4a−2b的取值范围是（ ）
A．1≤4a−2b≤5B．2≤4a−2b≤7
C．1≤4a−2b≤6D．0≤4a−2b≤9
2．（2023·全国·高一专题练习）已知a−b∈0,1,a+b∈2,4，则4a−2b的取值范围是（ ）
A．1,5B．2,7C．1,6D．0,9
3．（2023·全国·高一专题练习）实数a、b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.
(1)求实数a、b的取值范围；
(2)求3a-2b的取值范围．
4．（2023·全国·高一专题练习）已知2题型10
利用不等式的性质证明不等式
1．（2023秋·高一课时练习）（1）已知a>b,e>f,c>0，求证：f−ac（2）若bc−ad≥0,bd>0.求证：a+bb≤c+dd.
2．（2023·全国·高一专题练习）阅读材料：
（1）若x>y>0，且m>0，则有yx（2）若a请依据以上材料解答问题：
已知a，b，c是三角形的三边，求证：ab+c+ba+c+ca+b<2．
3．（2023·全国·高一专题练习）证明下列不等式：
(1)已知a>b，e>f，c>0，求证f−ac(2)已知a>b>0,c4．（2023·全国·高一专题练习）证明不等式．
(1)bc−ad≥0，bd＞0，求证：a+bb≤c+dd；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证：ba−b>ba−c>ca−c．
题型11
利用基本不等式证明不等式
1．（2023·全国·高一专题练习）已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1．求证：a+1a+b+1b+c+1c≥10．
2．（2023·贵州黔西·校考一模）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
(1)a2+b2+c2≥13；
(2)a3c+b3a+c3b≥abc．
3．（2023·全国·高一专题练习）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．
(1)若0≤x≤1，则x1−x≤14；
(2)若ab≠0，则ba+ab≥2．
4．（2023·全国·高一专题练习）已知a>0，b>0，且a+b=2．
(1)求a2+b2的最小值；
(2)证明：a+1+b+1≤22．
题型12
基本不等式的恒成立、有解问题
1．（2023·全国·高一专题练习）若对x>0，y>0，有(x+2y)⋅(2x+1y)≥m恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m≤4B．m>4
C．m<0D．m≤8
2．（2023·全国·高一专题练习）若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式x+y4A．(−1,4)B．(−4,1)C．(−∞,−4)∪(1,+∞)D．(−∞,−3)∪(0,+∞)
3．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数x，y，满足x+2y−xy=0．
(1)求xy的最小值；
(2)若关于x的方程x(y+1)−42=m2−m有解，求实数m的取值范围．
4．（2023秋·全国·高一专题练习）已知x、y、z都是正数．
(1)求证：x−yyz+y−zzx+z−xxy≥0；
(2)若xy2+yx2≥m2−2m−21x+1y恒成立，求实数m的取值范围．
题型13
由一元二次不等式的解确定参数
1．（2023秋·河北承德·高三校考开学考试）关于x的不等式mx2+2mx+1<0的解集为空集，则m的取值范围为（ ）
A．0,1B．0,1C．0,1D．0,1
2．（2023秋·河北石家庄·高三校考开学考试）若关于x的不等式x2−(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．53．（2023秋·全国·高一专题练习）已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为x∣2≤x≤3
(1)若a>0，且不等式ax2+b−3x−c≤0有且仅有10个整数解，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式：ax2+b−1x+5<0.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=x2+3−ax+2+2a+b，a，b∈R.
(1)若关于x的不等式fx>0的解集为xx<−4或x>2，求实数a，b的值；
(2)若关于x的不等式fx≤b在x∈1,3上有解，求实数a的取值范围；
(3)若关于x的不等式fx<12+b的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．
题型14
一元二次不等式恒成立问题
1．（2023·全国·高一专题练习）若不等式mx2+mx−4<2x2+2x−1对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−2,2)B．(−10,2]
C．(−∞,−2)∪[2,+∞)D．(−∞,−2)
2．（2023·全国·高一专题练习）若不等式a(1+x)≤x2+3对于x∈[0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0,3]B．[0,2]C．(−∞,2]D．(−∞,3]
3．（2023秋·高一课时练习）已知y=x2+2a−2x+4.
(1)如果对一切x∈R，y>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使得对任意x∈x−3≤x≤1，y<0恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
4．（2023·江苏·高一专题练习）（1）已知不等式kx2+2kx－k+2<0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若不等式−x2+2x+3≤a2−3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
题型15
一元二次不等式有解问题
1．（2023·全国·高一专题练习）若关于x的不等式2x2−8x+6−a≥0在1≤x≤4时有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤6B．a≥−2C．a≥6D．a≤−2
2．（2023秋·四川遂宁·高一校考期末）若关于x的不等式x2−6x+11−a≤0在区间2,5内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．6,+∞B．6,+∞
C．2,+∞D．2,+∞
3．（2023·全国·高一专题练习）已知fx=x2−ax−6a，其中a是常数.
(1)若fx<0的解集是x−3(2)若不等式fx<0有解，且解区间的长度不超过5个单位长度，求实数a的取值范围.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=2x2+4x−k，gx=x2−2x.
（1）若对任意x∈−3,3，都有fx≤gx成立，求实数k的取值范围；
（2）若存在x∈−3,3，使fx≤gx成立，求实数k的取值范围；
（3）若对任意x1,x2∈−3,3，都有fx1≤gx2成立，求实数k的取值范围.