专题2.13第4章一元一次方程单元测试（培优强化卷）-2023-2024学年七年级数学上学期专题复习（苏科版）

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注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，其中选择6道、填空10道、解答10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•宿迁期中）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x﹣2y+1＝0B．2+1x=1C．2x﹣1＝0D．xy＝4
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【解答】解：A．x﹣2y+1＝0中有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．2+1x=1中1x不是整式，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．2x﹣1＝0，是一元一次方程，故本选项符合题意；
D．xy＝4中含有两个未知数，最高次是2次，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（2022秋•宿迁期中）下列等式的变形正确的是（ ）
A．若a＝b，则a+3c＝b+3cB．若x＝y，则x+z＝y﹣z
C．若m＝n，则mx=nxD．若ax＝bx，则a＝b
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＝b，
∴a+3c＝b+3c，故本选项符合题意；
B．∵x＝y，
∴x+z＝y+z，故本选项不符合题意；
C．当x＝0时，由m＝n不能推出mx=nx，故本选项不符合题意；
D．当x＝0时，由ax＝bx不能推出a＝b，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．（2022秋•苏州期中）如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（ ）
A．■■B．■■■C．■■■■D．■■■■■
【分析】根据等式的性质得出，●，■，▲三个图形之间的关系即可．
【解答】解：由题意知，在第二个天平两边都加入一个■，对比第一个天平即可得出●＝■■，
把第二个天平中的●换成■■，则▲＝■■■，
∴●▲＝■■■■■，
故选：D．
4．（2022秋•宿城区期中）下面是一个被墨水污染过的方程：x＝﹣2★，答案显示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）
A．1B．﹣1C．−12D．12
【分析】设被墨水遮盖的常数为t，将x＝﹣1代入列出关于t的新方程，通过解新方程求得t的值即可．
【解答】解：设被墨水遮盖的常数为t，
将x＝﹣1代入，得﹣1＝﹣2t，
解得t=12．
即这个常数是12．
故选：D．
5．（2021秋•东台市期末）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果−12x＝8，那么x＝﹣4
B．如果x3+x−12=1，那么2x+3（x﹣1）＝1
C．如果x＝﹣y，那么|x|＝|y|
D．如果mx＝my，那么x＝y
【分析】根据等式的性质及绝对值逐个判断即可．
【解答】解：A．∵−12x＝8，
∴x＝﹣16，故本选项不符合题意；
B．∵x3+x−12=1，
∴2x+3（x﹣1）＝6，故本选项不符合题意；
C．∵x＝﹣y，
∴|x|＝|y|，故本选项符合题意；
D．当m＝0时，由mx＝my不能推出x＝y，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（2021秋•泰州期末）对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{﹣2，3}＝﹣2．按照这个规定，方程min{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解为（ ）
A．x=−13B．x＝﹣1
C．x＝1D．x＝﹣1或x=−13
【分析】根据题意，可得：min{x，﹣x}＝x或﹣x，所以﹣2x﹣1＝x或﹣x，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：∵min{a，b}表示a、b两数中较小的数，
∴min{x，﹣x}＝x或﹣x．
∴﹣2x﹣1＝x或﹣x，
（1）﹣2x﹣1＝x时，
解得x=−13，
此时﹣x=13，
∵x＜﹣x，
∴x=−13符合题意．
（2）﹣2x﹣1＝﹣x时，
解得x＝﹣1，
此时﹣x＝1，
∵﹣x＞x，
∴x＝﹣1不符合题意．
综上，可得：按照这个规定，方程方程min{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解为：x=−13．
故选：A．
二．填空题（共10小题）
7．（2022秋•工业园区校级期中）若x＝﹣1是方程2x﹣m＝0的解，则m等于 ﹣2 ．
【分析】把x＝1代入方程即可得到一个关于m的方程，求得m的值．
【解答】解：把x＝1代入方程，得：﹣2﹣m＝0，
解得m＝﹣2．
故答案是：﹣2．
8．（2021秋•高邮市期末）若方程（m+1）x2|m|﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是 1 ．
【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义即可得到m＝1．
【解答】解：∵方程（m+1）x2|m|﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程，
∴m+1≠0，2|m|﹣1＝1，
解得m＝1，
故答案是：1．
9．（2021秋•大丰区期末）某商品的成本是60元，打9折售出后，可以获利5%，则该商品的标价为 70 元．
【分析】设该商品的标价为x元，利用利润＝售价﹣成本，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该商品的标价为x元，
依题意得：0.9x﹣60＝60×5%，
解得：x＝70．
故答案为：70．
10．（2019秋•崇川区校级期中）已知2x﹣3y+1＝0且m﹣6x+9y＝4，则m的值为 1 ．
【分析】由已知可得2x﹣3y＝﹣1，将式子代入所求可得m+3＝4．
【解答】解：∵2x﹣3y+1＝0，
∴2x﹣3y＝﹣1，
∴﹣6x+9y＝3，
∴m﹣6x+9y＝4，即为m+3＝4，
∴m＝1，
故答案为1．
11．（2022秋•江阴市期中）若3a﹣2与2a﹣3互为相反数，则代数式a2﹣2a+3的值是 2 ．
【分析】根据相反数的性质求得a，再将a代入代数式求值．
【解答】解：由题意得，3a﹣2+2a﹣3＝0．
∴a＝1．
∴a2﹣2a+3＝1﹣2+3＝2．
故答案为：2．
12．（2022春•姜堰区期中）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
则关于x的方程﹣mx+n＝8的解为 x=52 ．
【分析】首先根据x＝0时，mx+n＝3，可得：n＝3；然后根据x＝1时，mx+3＝1，求出m的值；最后根据解一元一次方程的方法，求出关于x的方程﹣mx+n＝8的解即可．
【解答】解：∵x＝0时，mx+n＝3，
∴m×0+n＝3，
解得：n＝3；
∵x＝1时，mx+3＝1，
∴m+3＝1，
解得：m＝﹣2，
∴﹣（﹣2）x+3＝8，
∴2x+3＝8，
移项，可得：2x＝8﹣3，
合并同类项，可得：2x＝5，
系数化为1，可得：x=52．
故答案为：x=52．
13．（2021秋•溧阳市期末）有一个一元一次方程：6x−12=13x−■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是x=−32，于是这个被污染的常数是 9 ．
【分析】设被污染的常数是a，把x=−32代入方程得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：设被污染的常数是a，
把x=−32代入方程得﹣9−12=−12−a，
∴a＝9，
故答案为：9．
14．（2021秋•如皋市期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x+9＝0中，3﹣9＝﹣6，方程的解为x＝﹣3，则方程3x+9＝0为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，则b﹣a＝ ﹣9 ．
【分析】利用题中的新定义解答即可．
【解答】解：解关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0，得x=b−a3，
∵关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，
3﹣（a﹣b）＝2×b−a3，
9+3（b﹣a）＝2（b﹣a），
∴b﹣a＝﹣9．
故答案为：﹣9．
15．（2022•高邮市模拟）《九章算术》标志着中国古代数学体系的形成，全书收集了246条经典数学题．在第六章《均输》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”你能算出 250 步及之．
【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，
根据题意得：（100﹣60）t＝100，
解得：t＝2.5，
∴100t＝100×2.5＝250．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
故答案为：250．
16．（2022秋•锡山区校级月考）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，点B表示的数为30．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右移动，点N以每秒1个单位长度的速度从点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过 2或103 秒，点M、点N分别到点O的距离相等．
【分析】设经过t秒点M、N到原点O的距离相等，分两种情况，一是点M在原点的左边，二是点M与点N重合，列方程求出x的值即可．
【解答】解：设经过t秒点M、N到原点O的距离相等，
若点M在点O左侧，则﹣（﹣10+4t）＝t，
解得t＝2；
若点M在点O的右侧，则点M与点N重合时，点M、N到原点O的距离相等，
所以﹣10+4t＝t，
解得t=103，
综上所述，经过2秒或103秒，点M、N到原点O的距离相等，
故答案为：2或103．
三．解答题（共10小题）
17．（2022秋•海安市期中）解方程：
（1）−23x﹣1＝5；
（2）2﹣3x＝5﹣2x．
【分析】（1）方程移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）方程移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：（1）−23x﹣1＝5，
移项，得−23x＝5+1，
合并同类项，得−23x＝6，
系数化为1，得x＝﹣9；
（2）2﹣3x＝5﹣2x，
移项，得2x﹣3x＝5﹣2，
合并同类项，得﹣x＝3，
系数化为1，得x＝﹣3．
18．（2022秋•江都区期中）解方程：
（1）2（x+2）＝3（1﹣4x）﹣13；
（2）1−2x−56=3−x4．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解出x的值即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解出x的值即可．
【解答】解：（1）2（x+2）＝3（1﹣4x）﹣13，
去括号得2x+4＝3﹣12x﹣13，
移项得2x+12x＝3﹣13﹣4，
合并同类项得14x＝﹣14，
系数化为1得x＝﹣1；
（2）1−2x−56=3−x4，
去分母得12﹣2（2x﹣5）＝3（3﹣x），
去括号得12﹣4x+10＝9﹣3x，
移项得﹣4x+3x＝9﹣12﹣10，
合并同类项得﹣x＝﹣13，
系数化为1得x＝13．
19．（2021秋•曾都区期末）（1）在一次课堂练习中，小明是这样解方程2x+16+x−13=1的；
解：去分母，2x+1+2（x﹣1）＝1……①
去括号：2x+1+2x﹣2＝1……②
移项，2x+2x＝1﹣1+2……③
合并同类项，4x＝2……④
系数化为1，x=12⋯⋯⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在 ① （填编号），这一步方程变形的依据应是 等式的基本性质 ，此方程的正确解是x＝ 74 ．
（2）请你汲取小明的教训，完整地解方程2x−13=1−x+24．
【分析】（1）观察小明解方程的步骤，找出出错的步骤，填写变形依据，求出正确的解即可；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）错在①，这一步方程变形的依据为等式的基本性质，此方程的正确解是x=74；
故答案为：①，等式的基本性质，74；
（2）去分母，得4（2x﹣1）＝12﹣3（x+2），
去括号，得8x﹣4＝12﹣3x﹣6，
移项合并同类项，得11x＝10，
系数化为1，得x=1011．
20．（2022春•封丘县月考）已知代数式x4与代数式2−x3．
（1）当x为何值时，这两个代数式的值相等？
（2）当x为何值时，代数式x4的值比代数式2−x3的值大2？
（3）是否存在x，使得这两个代数式的值互为相反数？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由，
【分析】（1）根据题意列方程求解即可．
（2）根据题意列方程求解即可．
（3）根据题意列方程求解即可．
【解答】解：（1）x4=2−x3，
去分母得：3x＝4（2﹣x），
去括号得：3x＝8﹣4x，
移项得：3x+4x＝8，
系数化为1得：x=87．
（2）x4−2−x3=2，
去分母得：3x﹣4（2﹣x）＝24，
去括号得：3x﹣8+4x＝24，
移项得：3x+4x＝24+8，
合并同类项得：7x＝32，
系数化为1得：x=327．
（3）x4+2−x3=0，
去分母得：3x+4（2﹣x）＝0，
去括号得：3x+8﹣4x＝0，
移项得：3x﹣4x＝﹣8，
合并同类项得：﹣x＝﹣8，
系数化为1得：x＝8．
故存在x使这两个代数式的值互为相反数，此时x＝8．
21．（2021秋•徐州期末）用方程解决问题：
元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．请问班长共买了多少颗糖果？
【分析】设全班共有x名同学，根据“若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出全班的人数，再将其代入（3x+25）中即可求出班长购买糖果的数量．
【解答】解：设全班共有x名同学，
依题意得：3x+25＝4x﹣20，
解得：x＝45，
∴3x+25＝3×45+25＝160．
答：班长共买了160颗糖果．
22．（2021秋•淮安期末）掘土机挖一个工地，甲机单独挖需12天挖完，乙机单独挖15天可挖完，现两台掘土机合作若干天后，再由乙机单独挖6天完成，问甲机、乙机合作挖了多少天？
【分析】把整个工作总量看作单位“1”，设甲机、乙机合作挖了x天，分别表示出甲机、乙机的工作量，相加为工作总量列方程解答即可．
【解答】解：设甲机、乙机合作挖了x天，由题意得
x12+x15+615=1，
解得：x＝4．
答：甲机、乙机合作挖了4天．
23．（2022春•徐汇区校级期中）在有理数范围内规定一个运算“*”，其规则是：a∗b=a+b2．
（1）2*x＝ 2+x2 ．
（2）关于x的方程：3*（2*x）＝1的解x＝ ﹣4 ．
【分析】（1）根据规则进行计算，即可得出答案；
（2）根据规则得出关于x的方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：由题意得：2*x=2+x2，
故答案为：2+x2；
（2）由题意得：3+2+x22=1，
3+2+x2=2，
6+2+x＝4，
x＝﹣4，
故答案为：﹣4．
24．（2022秋•宛城区校级月考）整数都能化成分数，部分小数也可以化成分数，比如：
（1）5可以看作51，（2）2.4=2410=125，（3）要把0.3转化成分数形式，可以采用下面的方法：
设x＝0.3⋅=0.3333…①，则10x＝3.3333…②，由②﹣①，得9x＝3，解得x=13．
因此0.3⋅=0.3333⋯=13，通过阅读以上材料，请你完成下列问题：
（1） 整数 和 分数 统称为有理数．
（2）把0.7⋅化成分数．
【分析】（1）根据有理数的定义即可得出结论；
（2）根据例题可设x＝0.7⋅=0.777•••，故可得出10x＝7.777•••，两式相减即可得出x的值．
【解答】解；（1）由有理数的定义可知整数和分数统称为有理数．
故答案为：整数，分数；
（2）设x＝0.7⋅=0.777•••①，则10x＝7.777•••②，由②﹣①得，9x＝7，解得x=79．
25．（2021秋•玄武区期末）某单位计划“双12期间”购进一批手写板，网上某店铺的标价为900元/台，优惠活动如下：
（1）①若该单位购买了16台这种手写板，花了 11680 元；
②若该单位购买了x（x＞20）台这种手写板，花了 （2400+600x） 元；（用含x的代数式表示）
（2）若该单位购买的这种手写板均价为696元，求他们购买的数量．
【分析】（1）根据销售量“不超过10台的部分”、“超过10台但不超过20台的部分”确定优惠条件，并列式计算；
②若该单位购买了x（x＞20）台这种手写板，根据销售量“不超过10台的部分”、“超过20台的部分”确定优惠条件，然后列出代数式；
（2）设他们购买了x台手写板，需要对销售量分三种情况进行讨论．
【解答】解：（1）①根据题意，得10×（900﹣140）+（16﹣10）×（900﹣220）＝11680（元）．
故答案为：11680；
②根据题意，得10×（900﹣140）+10×（900﹣220）+（x﹣20）（900﹣300）＝2400+600x；
故答案为：（2400+600x）；
（2）设他们购买了x台手写板，
①当 0＜x≤10时，均价760元，不合题意，舍去；
②当10＜x≤20时，
680x+800＝696x
解之得，x＝50，不在范围内，舍去；
③当x＞20时，
14400+600（x﹣20）＝696x
解之得，x＝25
答：他们购买了25台手写板．
26．（2022秋•泰州月考）已知数轴上两点M、N对应的数分别为﹣8、4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）MN的长为 12 ．
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是30？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点P与点Q相距2个单位长度时，求P点的运动时间t的值．
【分析】（1）MN的长为4﹣（﹣8）＝12，即可解答；
（2）可分为点P在点M的左侧和点P在点N的右侧，点P在点M和点N之间三种情况计算；
（3）运动时间为t秒时，点P和点Q相距2个单位长度，此时点P对应的数为x＝﹣8+t，点Q对应的数为4﹣4t，根据两点间的距离公式结合点P和点Q相距2个单位长度即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出t值．
【解答】解：（1）MN的长为4﹣（﹣8）＝12，
故答案为：12；
（2）①当点P在点M的左侧时．
根据题意得：﹣8﹣x+4﹣x＝30，
解得x＝﹣17．
②P在点M和点N之间时，
则x﹣（﹣8）+4﹣x＝30，
方程无解，即点P不可能在点M和点N之间．
③点P在点N的右侧时，x﹣（﹣8）+x﹣4＝30，
解得x＝13．
∴x的值是﹣17或13；
（3）因为运动时间为t秒时，点P和点Q相距4个单位长度，此时点P对应的数为﹣8+t，点Q对应的数为4﹣4t，
根据题意得：|﹣8+t﹣（4﹣4t）|＝2，
解得：t1＝2，t2=145．x
﹣2
﹣1
0
1
2
mx+n
7
5
3
1
﹣1
销售量
单价
不超过10台的部分
每台立减140元
超过10台但不超过20台的部分
每台立减220元
超过20台的部分
每台立减300元