2024年高考数学专题训练专题六 数列（学生版）+解析

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【2023年真题】
1. （2023·新课标I卷 第7题） 记为数列的前n项和，设甲：为等差数列：乙：为等差数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的判定、等差数列前n项和、充分必要条件的判定，属于中档题．
结合等差数列的判断方法，依次证明充分性、必要性即可.
【解答】
解：方法
为等差数列，设其首项为，公差为d，
则，，，
故为等差数列，则甲是乙的充分条件，，
反之，为等差数列，即为常数，设为t
即，故故，
两式相减有：，对也成立，故为等差数列，
则甲是乙的必要条件，
故甲是乙的充要条件，故选
方法
因为甲：为等差数列，设数列的首项，公差为即，
则，故为等差数列，即甲是乙的充分条件．
反之，乙：为等差数列即，
即
当时，
上两式相减得：，
所以当时，上式成立．
又为常数所以为等差数列．
则甲是乙的必要条件，
故甲是乙的充要条件，故选C .
2. （2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第8题） 记为等比数列的前n项和，若，，则 ( )
A. 120B. 85C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的基本性质，属于中档题.
利用等比数列前n项和之间差的关系可知，，，成等比数列，列出关系式计算即可得解.
【解答】
解：，，，成等比数列，
从而计算可得
故选
3. （2023·新课标I卷 第20题）设等差数列的公差为d，且令，记，分别为数列的前n项和.
若，，求的通项公式;
若为等差数列，且，求
【答案】解：因为，故，
即，故，所以，，，
又，即，即，故或舍，
故的通项公式为：
方法一：基本量法
若为等差数列，则，即，即，所以或
当时，，，故，，又，
即，即，所以或舍
当时，，，故，，又，
即，即，所以舍或舍
综上：
方法二：
因为为等差数列且公差为d，所以可得，则
解法一：因为为等差数列，根据等差数列通项公式可知与n的关系满足一次函数，
所以上式中的分母“”需满足或者，即或者
解法二：由可得，，，，
因为为等差数列，所以满足，
即，两边同乘化简得，
解得或者
因为，均为等差数列，所以，，
则等价于，
①当时，，，则，得
，解得或者，
因为，所以
②当时，，，则，化简得
，解得或者，因为，所以均不取;
综上所述，
【解析】本题第一问考查数列通项公式的求解，第二问考查等差数列有关性质，等差数列基本量的求解，计算量较大，为较难题.
4. （2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第18题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，
求的通项公式；
证明：当时，
【答案】解：设数列的公差为d，
由题意知：，即，解得
由知，
，，
当n为偶数时，
当n为奇数时，，
当n为偶数且时，即时，
，
当n为奇数且时，即时，
当时，
【解析】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式等.
由已知，，根据等差数列的前n项和公式展开，即可得出等差数列的首项，公差，进而得出通项公式
由知，可得，数列的通项公式，进而，分两情况讨论，当n为偶数时，中含有偶数项，相邻两项两两一组先求和，得出当n为奇数时，为偶数，此时最后只需证明即可.
【2022年真题】
5.（2022·新高考I卷 第17题）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.
求的通项公式;
证明：
【答案】
解：，
则①，②;
由②-①得：
当且时，
，
又也符合上式，因此
，
，
即原不等式成立.
【解析】本题考查了数列与不等式，涉及裂项相消法求和、等差数列的通项公式、根据数列的递推公式求通项公式等知识，属中档题.
利用进行求解然后化简可求出的通项公式;
由可求出，然后再利用裂项相消法求和可得.
6.（2022·新高考II卷 第17题）已知为等差数列，为公比为2的等比数列，且
证明：
求集合中元素个数.
【答案】
解：设等差数列公差为d
由，知，故
由，知，
故故，整理得，得证.
由知，由知：
即，即，
因为，故，解得，
故集合中元素的个数为9个.
【解析】本题考查等差、等比数列的通项公式，解指数不等式，集合中元素的个数问题，属于中档题.
【2021年真题】
7.（2021·新高考II卷 第12题）（多选）设正整数，其中，记，则( )
A.B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题重在对新定义进行考查，合理分析所给条件是关键，属于拔高题.
利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【解答】
解：对于A选项，，，
则，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选
8.（2021·新高考I卷 第16题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为____________________；如果对折次，那么__________
【答案】5 ；
【解析】
【分析】
本题考查实际生活中的数列问题，由特殊到一般的数学思想.
根据题设列举，可以得到折叠4次时会有五种规格的图形.由面积的变化关系得到面积通项公式，从而由错位相减法得到面积和.
【解答】
解：对折3次时，可以得到，，，四种规格的图形.
对折4次时，可以得到，，，，五种规格的图形.
对折3次时面积之和，对折4次时面积之和，即，，，，……
得折叠次数每增加1，图形的规格数增加1，且，
记，
则，
，
得，
，
故答案为5；
9.（2021·新高考I卷 第17题）已知数列满足，，
记，写出，，并求数列的通项公式；
求的前20项和.
【答案】
解： = 1 \* GB2 ⑴，且，则，
，且，则；
，
可得，故是以为首项，为公差的等差数列；
故.
数列的前20项中偶数项的和为
，
又由题中条件有，，，，
故可得的前20项的和
【解析】本题考查了数列递推关系式运用，等差数列通项公式求法，数列求和，考查了分析和运算能力，属于中档题.
结合题干给的递推关系，可以快速的算出和，同时利用可判断出数列为等差数列，即可求出数列通项公式;
的前20项的和可分组求和，求出其对应的偶数项的和，再结合奇数项与偶数项的关系求解即可.
10.（2021·新高考II卷 第17题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，
求数列的通项公式；
求使成立的n的最小值．
【答案】
解：由等差数列的性质可得：，则，
设等差数列的公差为d，从而有，
，
从而，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：
由数列的通项公式可得，
则，
则不等式即，整理可得，
解得或，又n为正整数，故n的最小值为
【解析】本题考查等差数列基本量的求解，是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【2020年真题】
11.（2020·新高考I卷 第14题、II卷 第15题）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的特定项与性质以及等差数列求和.
利用公共项构成首项为 ，公差为的等差数列，利用求和公式即可求出答案.
【解答】
解：数列 的首项是，公差为的等差数列；
数列 的首项是，公差为的等差数列；
公共项构成首项为 ，公差为的等差数列;
故 的前n 项和 为： .
故答案为
12.（2020·新高考I卷 第18题）已知公比大于1的等比数列满足
求的通项公式；
记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和
【答案】
解：设等比数列的公比为q，且，
，，
，
解得舍或，
数列的通项公式为
由知，，，，，，，
则当时，，当时，，
以此类推，，，
，，
，，

【解析】本题考查了数列求和及等比数列通项公式，属中档题．
根据等比数列通项公式列出方程，求出首项和公比，即可求出通项公式;
根据等比数列通项公式，归纳数列的规律，从而求出其前100项和．
13.（2020·新高考II卷 第18题）已知公比大于1的等比数列满足，
求的通项公式；
求…
【答案】
解：设等比数列的公比为，
则，
，，
…
…，
【解析】本题考查等比数列的通项公式，前n项求和公式，考查转化思想和方程思想，属于基础题．
根据题意，列方程组，解得和q，然后求出的通项公式；
根据条件，可知，，…，是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列求和公式，即可得出答案．
真题卷
题号
考点
考向
2023新课标1卷
7
等差数列
等差数列的判定、等差数列的性质
20
等差数列
求等差数列的通项公式及基本量计算
2023新课标2卷
8
等比数列
等比数列的性质
18
等差数列、数列的综合应用
求等差数列的通项公式及前n项和、数列的综合应用（不等式证明）
2022新高考1卷
17
数列的通项公式、数列求和
由递推公式求通项公式、裂项相消法求和
2022新高考2卷
17
等差数列、等比数列
等差、等比数列的通项公式
2021新高考1卷
16
数列的实际应用
错位相减法求和
17
数列的通项公式、数列求和
由递推公式求通项公式、公式法求和
2021新高考2卷
12
等比数列
数列的新定义问题
17
等差数列
求等差数列的通项公式、等差数列求和
2020新高考1卷
14
等差数列
等差数列的性质、等差数列求和
18
等比数列、数列求和
求等比数列的通项公式、数列求和
2020新高考2卷
15
等差数列
求等差数列的通项公式、等差数列求和
18
等比数列
求等比数列的通项公式、等比数列求和