备战2025年高考数学压轴大题数列(新高考全国通用)专题03数列求和(学生版+解析)

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新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,数列求和是数列中的两大基本题型题型之一,也是高考中的热点,本专题总结数列求和的基本方法,供大家参考.
（一）等差数列求和
若一个数列为等差数列或可以转化为等差数列,求和时可以利用等差数列前n项和公式．
【例1】（2024届河北省沧州市沧县中学高三下学期模拟）设正项数列的前n项和为,已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设,求数列的前n项和.
【解析】（1）由,得①,
当时,,解得（负值舍去）.
当时,②,
①②,得,
化为,
因为,,解得,
所以数列是首项为3、公差为2的等差数列,
所以,即.
（2）由（1）知,所以,
从而,
则,,…,,
以上n个式子相加,得.
（二）等比数列求和
若一个数列为等比数列或可以转化为等比数列,求和时可以利用等比数列前n项和公式．
【例2】已知数列的前n项和为,,数列是公比为2的等比数列.
(1)求
(2)若,求的前2n项的和.
【解析】(1) 数列是公比为2的等比数列,且,
所以,
当时,
所以.
(2)因为为奇数时,n为偶数时,
所以的奇数项为0,偶数项构成公比为的等比数列,
所以的前2n项的和为.
（三）倒序相加求和
把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广,一般来说,若数列满足,求数列的前n项和,可用倒序相加法.
【例3】已知函数,数列满足,则数列的前2025项的和
【解析】因为,所以,
有.
记数列的前项和,又,所以


.所以.
（四）裂项求和
把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项．(1)用裂项相消法求和时,要对通项进行变换,如：eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n)), ,裂项后可以产生连续相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项．
【例4】（2024届天津市南开区高三下学期质量监测二）已知是等差数列,公差,,且是与的等比中项.
(1)求的通项公式
(2)数列满足,且.
（ⅰ）求的前n项和.
（ⅱ）是否存在正整数m,n（）,使得,,成等差数列,若存在,求出m,n的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）因为为等差数列,且,所以．
又是与的等比中项,所以,即．
化简得,解得或（舍）,
所以．
（2）（i）由,得,所以（）,又,
当时,
,
又也适合上式,所以,
则,
所以．
（ⅱ）假设存在正整数m,n,使得,,成等差数列,
则,即,整理得,
显然是25的正约数,又,则或,
当,即时,与矛盾；
当,即时,,符合题意,
所以存在正整数使得,,成等差数列,此时,．
拓展：裂项求和常见变形
1.
=.
2.
=.
3.
=.
4.
=.
5.
=
=
=.
6.
=
7.
=-+-+ +-
=1-.
8.
=
9.
=
10.
=
=
11.
=
=
12．
=
=
13.
=
=
14. ++++
=+++
=
15.若是各项均不为零,且公差的等差数列,则
==
（五）错位相减法求和
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广．错位相减法求和时的注意点:
(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；
(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
【例5】（2024届浙江省绍兴市柯桥区三模）已知数列的前n项和为,且,,设．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）,即,
即,则,即,
即,又,
故数列是以为首项、以为公比的等比数列.
（2）由（1）易得,即,则,
则,
有,
则
,
故.
（六）为等差（比）数列,可并项求的前n项和
若,为等差数列或等比数列,求的前n项和可以采用,即把相邻两项的和看作一项,构造一个新数列求和
【例6】若数列满足.
（1）求数列的前100项的和；
（2）若,求数列的前31项的和.
【解析】（1）数列的前100项的和为
=.
（2）若,数列的前31项的和为
=.
(七)周期型数列求和
周期数列求和一般采用并项求和,即把一个周期内的所有项求和,构成一个新数列求和,求形如数列的和,一般根据正弦型函数的最小正周期,对n进行分类,然后再采用并项求和
【例7】（2024届福建省福州第一中学高三下学期5月模拟）已知数列中,,．
(1)证明：数列为常数列；
(2)求数列的前2024项和．
【解析】（1）依题意,
,
则化为,
而,则,因此,
所以数列为常数列.
（2）由（1）知,,由,即是以6为周期的周期数列,令,
所以数列的前2024项和
.
(八)型数列求
若,为等差数列或等比数列,求的前n项和可以采用分组求和,分别求出的奇数项之和与偶数项之和再相加.
【例8】（2024届广东省名校教研联盟高三下学期5月模拟）已知数列是公差不为0的等差数列,其前n项和为,,,,成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若,,求数列的前100项和．
【解析】（1）设数列的首项为,公差为,
根据题意得即
解得或．
又因,所以．
所以的通项公式为．
（2）由（1）得．
即数列的偶数项是以4为首项,4为公差的等差数列,
奇数项是以为首项,16为公比的等比数列．
数列的前100项中偶数项有50项,奇数项有50项,
数列的前100项和．
,
．
所以．
(九)为等差数列,求前n项
若有正有负,求的前项和,通常通过去绝对值,把变号与不变号的分为两部分分别求和再相加,求和时注意对n进行讨论.
【例9】已知等差数列的前项和为,与的等差中项为,.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的首项为,公差为,
由题意可知,,,
所以,解得：,,
所以；
（2）由（1）可知,,,当时,,
所以当时,
,
当时,
,
,
,
所以.
(十)等差（比）数列,插项后求和
求解此类问题的关键是确定原数列有多少项,新数列有多少项.
【例9】已知数列是等差数列,其前和为,,,数列满足
(1)求数列,的通项公式；
(2)若对数列,,在与之间插入个2（）,组成一个新数列,求数列的前83项的和.
【解析】（1）设公差为,故,解得,
故,
故,①
当时,,
当时,,②
式子①-②得,,
即,
当时,也满足上式,故；
（2）因为,所以在中,从项开始,到项为止,
共有项数为,
当时,,当时,,
故数列前项是项之后还有项为2,
.
【例1】（2024届陕西省安康市高新中学高三模拟）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设,求的前n项和.
【解析】（1）证明：令,又,则有
,
又,所以
所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列
（2）由（1）知,,
又,所以,
所以,
所以
【例2】（2024届湖南省岳阳市高三下学期5月岳汨联考）已知等差数列满足（）,数列是公比为3的等比数列,．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列和中的项由小到大组成新的数列,记数列的前n项和为,求．
【解析】（1）,①,（）,②,
得：,
∵为等差数列,∴,,
,即,
∴,
因为数列是公比为3的等比数列,,
即,解得：,
所以；
（2）由（1）可知,,,
且数列和中的项由小到大组成新的数列,
其中,,此时,
所以数列中数列有项,数列有项,
,
．
【例3】（2024届福建省泉州五中高三下学期适应性监测二）已知数列和的各项均为正,且,是公比3的等比数列．数列的前n项和满足．
(1)求数列,的通项公式；
(2)设,求数列的前n项和．
【解析】（1）由题设,当时或（舍）,
由,知,
两式相减得,
（舍）或,即,
∴数列是首项为2,公差为2的等差数列,．
又．
（2）
则
当n为偶数时,；
当n为奇数时,．
所以.
【例4】（2024届重庆市第八中学校高三下学期5月月考）已知数列满足,．
(1)求,,,并求证：；
(2)求数列的前2n项和．
【解析】（1）,,,
证明：,
,
即,,则,
故．
（2）由（1）可得：且,
所以数列是公比为2的等比数列,
故,解得：,,
故
所以
．
【例5】将n²个实数排成n行n列的数阵形式
……
(1)当时,若每一行每一列都构成等差数列,且 ,求该数阵中所有数的和.
(2)已知,且每一行构成以1为公差的等差数列,每一列构成2为公差的等差数列,求这个数的和；
(3)若 且每一列均为公差为d 的等差数列,每一行均为等比数列.已知 ,设 求的值.
【解析】（1）由题意,且每一行都成等差数列则有
,
,
,
设所有数之和为,则有,
又因为每一列成等差数列,故有,即.
（2）设第行的和为,则有；
又因为每一列构成以2为公差的等差数列,即有当时,,
即数列构成以为首项,为公差的等差数列,即有
.
（3）由题意每一行均为等比数列,设第二行的公比为,则有,
又因为,故.从而可得第二行的通项公式,
即有,又因为每一列均为公差为的等差数列,且,
可得,即,即有,从而有,
故
.
1．（2024届浙江省精诚联盟高三下学期适应性联考）已知等比数列和等差数列,满足,,,．
(1)求数列,的通项公式；
(2)记数列的前项和为,数列的前项和为．证明：．
2．（2024届四川省百师联盟高三冲刺卷五）已知为正项数列的前项和,且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若,求的前10项和．
3．（2024届浙江省杭州市高三下学期4月教学质量检测）已知等差数列的前项和为,且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零且数列满足：,求数列的前项和．
10．（2024届天津市武清区杨村第一中学高考热身练）已知数列是正项等比数列,是等差数列,且,
(1)求数列和的通项公式;
(2),求数列的前项和.
(3)表示不超过的最大整数,表示数列的前项和,集合共有4个元素,求范围;
11．（2024届广东省江门市新会华侨中学等校二模）已知是公差为2的等差数列,数列的前项和为,且．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)[x]表示不超过的最大整数,当时,是定值,求正整数的最小值．
12．（2024届陕西省西安市第一中学高三下学期模拟三）已知数列是公差不为零的等差数列,且,,成等差数列,,,（）成等比数列,．
(1)求的值及的通项公式；
(2)令,,求证：．
13．（2024届天津市十二区重点学校高三下学期联考二）设是等差数列,其前项和,是等比数列,且,,.
(1)求与的通项公式；
(2)设,求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围.
14．（2024届湖北省第九届高三下学期4月调研）在如图三角形数阵中,第n行有n个数,表示第i行第j个数,例如,表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列,从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列其中已知,,
(1)求m及
(2)记除以3的余数为,,的前n项为,求
15．（2024届湖南省永州市高三三模）已知数列为等比数列,为等差数列,且,,.
(1)求,的通项公式；
(2)数列的前项和为,集合共有5个元素,求实数的取值范围；
(3)若数列中,,,求证：.
16．（2024届天津市红桥区高三下学期二模）已知是等差数列,是公比为正数的等比数列,且,,,．
(1)求数列{,的通项公式；
(2)设,
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
专题3 数列求和
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,数列求和是数列中的两大基本题型题型之一,也是高考中的热点,本专题总结数列求和的基本方法,供大家参考.
（一）等差数列求和
若一个数列为等差数列或可以转化为等差数列,求和时可以利用等差数列前n项和公式．
【例1】（2024届河北省沧州市沧县中学高三下学期模拟）设正项数列的前n项和为,已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设,求数列的前n项和.
【解析】（1）由,得①,
当时,,解得（负值舍去）.
当时,②,
①②,得,
化为,
因为,,解得,
所以数列是首项为3、公差为2的等差数列,
所以,即.
（2）由（1）知,所以,
从而,
则,,…,,
以上n个式子相加,得.
（二）等比数列求和
若一个数列为等比数列或可以转化为等比数列,求和时可以利用等比数列前n项和公式．
【例2】已知数列的前n项和为,,数列是公比为2的等比数列.
(1)求
(2)若,求的前2n项的和.
【解析】(1) 数列是公比为2的等比数列,且,
所以,
当时,
所以.
(2)因为为奇数时,n为偶数时,
所以的奇数项为0,偶数项构成公比为的等比数列,
所以的前2n项的和为.
（三）倒序相加求和
把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广,一般来说,若数列满足,求数列的前n项和,可用倒序相加法.
【例3】已知函数,数列满足,则数列的前2025项的和
【解析】因为,所以,
有.
记数列的前项和,又,所以


.所以.
（四）裂项求和
把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项．(1)用裂项相消法求和时,要对通项进行变换,如：eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n)), ,裂项后可以产生连续相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项．
【例4】（2024届天津市南开区高三下学期质量监测二）已知是等差数列,公差,,且是与的等比中项.
(1)求的通项公式
(2)数列满足,且.
（ⅰ）求的前n项和.
（ⅱ）是否存在正整数m,n（）,使得,,成等差数列,若存在,求出m,n的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）因为为等差数列,且,所以．
又是与的等比中项,所以,即．
化简得,解得或（舍）,
所以．
（2）（i）由,得,所以（）,又,
当时,
,
又也适合上式,所以,
则,
所以．
（ⅱ）假设存在正整数m,n,使得,,成等差数列,
则,即,整理得,
显然是25的正约数,又,则或,
当,即时,与矛盾；
当,即时,,符合题意,
所以存在正整数使得,,成等差数列,此时,．
拓展：裂项求和常见变形
1.
=.
2.
=.
3.
=.
4.
=.
5.
=
=
=.
6.
=
7.
=-+-+ +-
=1-.
8.
=
9.
=
10.
=
=
11.
=
=
12．
=
=
13.
=
=
14. ++++
=+++
=
15.若是各项均不为零,且公差的等差数列,则
==
（五）错位相减法求和
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广．错位相减法求和时的注意点:
(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；
(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
【例5】（2024届浙江省绍兴市柯桥区三模）已知数列的前n项和为,且,,设．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）,即,
即,则,即,
即,又,
故数列是以为首项、以为公比的等比数列.
（2）由（1）易得,即,则,
则,
有,
则
,
故.
（六）为等差（比）数列,可并项求的前n项和
若,为等差数列或等比数列,求的前n项和可以采用,即把相邻两项的和看作一项,构造一个新数列求和
【例6】若数列满足.
（1）求数列的前100项的和；
（2）若,求数列的前31项的和.
【解析】（1）数列的前100项的和为
=.
（2）若,数列的前31项的和为
=.
(七)周期型数列求和
周期数列求和一般采用并项求和,即把一个周期内的所有项求和,构成一个新数列求和,求形如数列的和,一般根据正弦型函数的最小正周期,对n进行分类,然后再采用并项求和
【例7】（2024届福建省福州第一中学高三下学期5月模拟）已知数列中,,．
(1)证明：数列为常数列；
(2)求数列的前2024项和．
【解析】（1）依题意,
,
则化为,
而,则,因此,
所以数列为常数列.
（2）由（1）知,,由,即是以6为周期的周期数列,令,
所以数列的前2024项和
.
(八)型数列求
若,为等差数列或等比数列,求的前n项和可以采用分组求和,分别求出的奇数项之和与偶数项之和再相加.
【例8】（2024届广东省名校教研联盟高三下学期5月模拟）已知数列是公差不为0的等差数列,其前n项和为,,,,成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若,,求数列的前100项和．
【解析】（1）设数列的首项为,公差为,
根据题意得即
解得或．
又因,所以．
所以的通项公式为．
（2）由（1）得．
即数列的偶数项是以4为首项,4为公差的等差数列,
奇数项是以为首项,16为公比的等比数列．
数列的前100项中偶数项有50项,奇数项有50项,
数列的前100项和．
,
．
所以．
(九)为等差数列,求前n项
若有正有负,求的前项和,通常通过去绝对值,把变号与不变号的分为两部分分别求和再相加,求和时注意对n进行讨论.
【例9】已知等差数列的前项和为,与的等差中项为,.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的首项为,公差为,
由题意可知,,,
所以,解得：,,
所以；
（2）由（1）可知,,,当时,,
所以当时,
,
当时,
,
,
,
所以.
(十)等差（比）数列,插项后求和
求解此类问题的关键是确定原数列有多少项,新数列有多少项.
【例9】已知数列是等差数列,其前和为,,,数列满足
(1)求数列,的通项公式；
(2)若对数列,,在与之间插入个2（）,组成一个新数列,求数列的前83项的和.
【解析】（1）设公差为,故,解得,
故,
故,①
当时,,
当时,,②
式子①-②得,,
即,
当时,也满足上式,故；
（2）因为,所以在中,从项开始,到项为止,
共有项数为,
当时,,当时,,
故数列前项是项之后还有项为2,
.
【例1】（2024届陕西省安康市高新中学高三模拟）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设,求的前n项和.
【解析】（1）证明：令,又,则有
,
又,所以
所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列
（2）由（1）知,,
又,所以,
所以,
所以
【例2】（2024届湖南省岳阳市高三下学期5月岳汨联考）已知等差数列满足（）,数列是公比为3的等比数列,．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列和中的项由小到大组成新的数列,记数列的前n项和为,求．
【解析】（1）,①,（）,②,
得：,
∵为等差数列,∴,,
,即,
∴,
因为数列是公比为3的等比数列,,
即,解得：,
所以；
（2）由（1）可知,,,
且数列和中的项由小到大组成新的数列,
其中,,此时,
所以数列中数列有项,数列有项,
,
．
【例3】（2024届福建省泉州五中高三下学期适应性监测二）已知数列和的各项均为正,且,是公比3的等比数列．数列的前n项和满足．
(1)求数列,的通项公式；
(2)设,求数列的前n项和．
【解析】（1）由题设,当时或（舍）,
由,知,
两式相减得,
（舍）或,即,
∴数列是首项为2,公差为2的等差数列,．
又．
（2）
则
当n为偶数时,；
当n为奇数时,．
所以.
【例4】（2024届重庆市第八中学校高三下学期5月月考）已知数列满足,．
(1)求,,,并求证：；
(2)求数列的前2n项和．
【解析】（1）,,,
证明：,
,
即,,则,
故．
（2）由（1）可得：且,
所以数列是公比为2的等比数列,
故,解得：,,
故
所以
．
【例5】将n²个实数排成n行n列的数阵形式
……
(1)当时,若每一行每一列都构成等差数列,且 ,求该数阵中所有数的和.
(2)已知,且每一行构成以1为公差的等差数列,每一列构成2为公差的等差数列,求这个数的和；
(3)若 且每一列均为公差为d 的等差数列,每一行均为等比数列.已知 ,设 求的值.
【解析】（1）由题意,且每一行都成等差数列则有
,
,
,
设所有数之和为,则有,
又因为每一列成等差数列,故有,即.
（2）设第行的和为,则有；
又因为每一列构成以2为公差的等差数列,即有当时,,
即数列构成以为首项,为公差的等差数列,即有
.
（3）由题意每一行均为等比数列,设第二行的公比为,则有,
又因为,故.从而可得第二行的通项公式,
即有,又因为每一列均为公差为的等差数列,且,
可得,即,即有,从而有,
故
.
1．（2024届浙江省精诚联盟高三下学期适应性联考）已知等比数列和等差数列,满足,,,．
(1)求数列,的通项公式；
(2)记数列的前项和为,数列的前项和为．证明：．
【解析】（1）等比数列满足,,所以单调递增,
设的公比为,等差数列的公差为,依题意可得,
解得或（舍去）,
所以,．
（2）由（1）可得,
所以
所以,
故,
又,,
即,
所以
．
2．（2024届四川省百师联盟高三冲刺卷五）已知为正项数列的前项和,且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若,求的前10项和．
【解析】（1）由题意知：,即,
当时,,
两式相减,可得,
因为,可得．
又因为,当时,,即,
解得或（舍去）,所以（符合）,
从而,所以数列表示首项为3,公差为2的等差数列．
所以数列的通项公式为．
（2）由题意得,
所以
,
所以.
3．（2024届浙江省杭州市高三下学期4月教学质量检测）已知等差数列的前项和为,且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足,令,求证：．
【解析】（1）设等差数列的首项为,公差为．
由,得,
解得：,所以．
（2）由（1）知,,
即,,,……,,
利用累乘法可得：
,也符合上式,
所以．
4．（2024届山西省临汾市高三第二次适应性训练）已知数列满足．
(1)计算,并求数列的通项公式；
(2)设数列满足,求数列的前项和．
【解析】（1）由题可知,,
令,,得；
令,得．
由已知,
可得,
两式相减得．
解法一：
整理得：．又满足上式．从而对均成立．
因此为常数列,即有,故．
解法二：
整理得：．又满足上式．
故．
即．当时符合上式,故．
（2）由（1）可知,所以．
因此
=.
5．（2024届陕西省咸阳市高考模拟检测三）数列满足,.
(1)求数列通项公式；
(2)设,求数列的前项和.
【解析】（1）数列中,,,显然,则,
数列是首项为1,公差为1的等差数列,,
所以数列通项公式是.
（2）由（1）知,,
当时,,,
当时,,
所以.
6．已知等差数列的首项为2,公差为8,在中每相邻两项之间插入三个数,使得它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列．
(1)求数列的前项和；
(2)若,,,是从中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列,,,令,求数列的前项和.
【解析】（1）因为等差数列的首项为2,公差为8,
所以,,
又在中每相邻两项之间插入三个数,使得它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列,设其公差为,
则,,
所以,
所以,即数列的通项公式为,.
所以数列的前项和.
（2）设等比数列,,,的公比为,由于,为等比数列的前两项,且,
则,所以.
由（1）知,所以,从而,
于是
由,
得,
所以,
所以
从而.
7．已知正项数列的前项和为,且,.
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入,得到数列：,求的前项和．
【解析】（1）因为,
所以,当时,
所以
所以,
因为,所以,故.
当时,适合上式,所以,,
所以当时,,
所以
（2）（解法1）因为,
所以数列：,
设,
则,
因为,所以,
所以的前项由个与个组成,
所以.
（解法2）设,
则,
因为,所以,
根据数列的定义,知
所以,
所以.
8．已知数列的前项和为,且满足（）,数列满足．
(1)求,的通项公式．
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）解：当时,,所以,
因为,当时,可得,
两式相减,得,
,
综上可知,数列的前项和.
9．（2024届湖南省岳阳市高三教学质量监测三）已知等差数列满足：,且,,成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零且数列满足：,求数列的前项和．
【解析】（1）设数列的公差为,依题意,成等比数列,所以,
解得或,当时,；当时,
所以数列的通项公式为或.
（2）因为等差数列的公差不为零,由（1）知,则
,
所以,
即.
10．（2024届天津市武清区杨村第一中学高考热身练）已知数列是正项等比数列,是等差数列,且,
(1)求数列和的通项公式;
(2),求数列的前项和.
(3)表示不超过的最大整数,表示数列的前项和,集合共有4个元素,求范围;
【解析】（1）设等比数列的公比为,等差数列的公差为,
因为,
则,解得或（舍去）,
所以；.
（2）因为,,
设,
,
两式相减得
,
所以,
当n为奇数时,,
设
,
.
（3）由题意可知：,
其中,
所以,
集合,设,
则,
所以当时,,当时,．
计算可得,,,,,
因为集合有4个元素,．
11．（2024届广东省江门市新会华侨中学等校二模）已知是公差为2的等差数列,数列的前项和为,且．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)[x]表示不超过的最大整数,当时,是定值,求正整数的最小值．
两式相减得．
设,
则,
两式相减得
,
则．
所以,即．
（方法二）因为,
所以．
所以
则,
即．
（3）当时,,且,所以的定值为9．
所以当时,．
令,则,
,
所以单调递减．
因为,所以,即正整数的最小值为
12．（2024届陕西省西安市第一中学高三下学期模拟三）已知数列是公差不为零的等差数列,且,,成等差数列,,,（）成等比数列,．
(1)求的值及的通项公式；
(2)令,,求证：．
．
13．（2024届天津市十二区重点学校高三下学期联考二）设是等差数列,其前项和,是等比数列,且,,.
(1)求与的通项公式；
(2)设,求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】（1）设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
由,,又,,,
由,,又,,,
,,
即,．
（2）当为奇数时,,
记,则有
,
,
得：
,
,
,
当为偶数时,,
记,
,
．
（3）由与恒成立,
可得恒成立,
恒成立,即求的最大值,
设,
,
单调递增,
又,
,
．
14．（2024届湖北省第九届高三下学期4月调研）在如图三角形数阵中,第n行有n个数,表示第i行第j个数,例如,表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列,从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列其中已知,,
(1)求m及
(2)记除以3的余数为,,的前n项为,求
【解析】（1）由题意,可知,
,,
,,
化简整理,得,解得舍去,或,
,
,
（2）
j
等于除以3的余数.
当j为奇数时
(3)若数列中,,,求证：.
【解析】（1）设数列的公比为,数列的公差为,
则由,,所以,所以,
,即,所以,
所以；
（2）设数列,
则,
所以
,
,
令,
,
可得,
故当时,最大,
且,
所以,即的取值范围为.
（3）由,
则当时,
,
当时,也满足上式,
所以,
,
所以原不等式成立.
16．（2024届天津市红桥区高三下学期二模）已知是等差数列,是公比为正数的等比数列,且,,,．
(1)求数列{,的通项公式；
(2)设,
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
【解析】（1）设的首项为,公差为,的公比为,
因为,,
所以,
解得或（舍）,
所以,即,
所以,
又,,即,
解得,
所以,即
（2）（ⅰ）因为,则,
则；
（ⅱ）因为,
所以.