湖南省株洲市重点高中2021-2022学年高二上学期期中考试 数学试题

这是一份湖南省株洲市重点高中2021-2022学年高二上学期期中考试 数学试题，共17页。试卷主要包含了多项选择题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.若过点和的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A.1B.4C.1或3D.1或4
2.“”是“方程为椭圆的方程”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要
3.抛物线的焦点坐标是（ ）
A.B.C.D.
4.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA,点N为BC中点，设（ ）
A B
C D
5.圆和圆相交,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6.正四面体中，点M是BC的中点，则异面直线PM与AB所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7直线L经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到L的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
正方体的棱上到直线的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E,F,G,则直线与平面EFG所成角的正弦值为（ ）
A B C D
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.下列说法正确的是（ ）
A直线必过定点（3,2）
B直线在y轴上的截距为
C直线
D过
10.已知圆,直线.有以下几个命题,其中正确的命题是( )
A.直线l恒过定点 B.圆C被y轴截得的弦长为
C.直线l与圆C恒相交 D.直线l被圆C截得最短弦长时,直线l的方程为
11.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有( )
A.AD与BC所成的角为30° B.AC与BD所成的角为90°
C.BC与面ACD所成角的正弦值为 D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是
12已知圆与双曲线的四个交点的连线构成的四边形的面积为4，若A为圆C与双曲线T在第一象限内的交点，F为双曲线T的右焦点，且 (O为坐标原点)，则下列说法正确的是( )
A.双曲线T的渐近线方程为
B.双曲线T右支上的动点P到两点的距离之和的最小值为4
C.圆C在点A处的切线被双曲线T截得的弦长等于
D.若以双曲线T上的两点M，N为直径的圆过点O，则
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.点P(1,1)到直线的距离是______．
14.已知空间直角坐标系中，点，，若，，则向量c的坐标为__________.
15.已知为圆的直径,点为椭圆上一动点,则的最小值为__________.
16已知是椭圆的两个焦点,且椭圆上存在一点,使得,若点分别是圆和椭圆上的动点,则当椭圆的离心率取得最小值时,的最大值是__________.
三、解答题(本题共6题，共10+12+12+12+12+12=70分）
17.已知圆内有一点,过点P作直线l交圆C于两点.
(1) 当l经过圆心C时,求直线l的方程;
(2) 当弦的长为时,求直线的方程.
18.已知的内所对的边分别是，若
（1）求角的值；
（2）求△ABC的面积取得最大值时，边的长．
19.如图,在四棱柱中,平面,底面满足
,且.
求证:平面;
(2)求直线与平面,所成角的正弦值.
20如图,在四棱锥中,底面为梯形,平面平面,,,,,为侧棱的中点,且,.
证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
21.在平面直角坐标系中,点到点与点的距离之和为.
（1）试求点的轨迹的方程.
（2）若斜率为的直线与轨迹交于两点, 为轨迹上不同的一点,记直线的斜率为,直线的斜率为,试问是否为定值.若是,求出该定值;若不同,请说出理由.
22已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.
求曲线C的方程；
过动点P作直线与曲线交于A,B两点，当P为AB的中点时，求的值；
（3）过点的直线与曲线C交于E,F两点，设直线，点D(-1,0),直线ED交于点M,证明直线FM经过定点，并求出该定点的坐标。
2021年下学期高二期中考试数学试题
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.若过点和的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A.1B.4C.1或3D.1或4
答案：A
解析：由题意可得，解得.
2.“”是“方程为椭圆的方程”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要
2.答案：B
3.抛物线的焦点坐标是（ ）
A.B.C.D.
3.答案：C
4.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA,点N为BC中点，设（ ）
A B
C D
答案：B
5.圆和圆相交,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5.答案：D
解析：的圆心,半径.的圆心,半径.连接,因为两圆相交,所以,即,解得或,故选D.
6.正四面体中，点M是BC的中点，则异面直线PM与AB所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6.答案：B
7直线L经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到L的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
7.答案：B
正方体的棱上到直线的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E,F,G,则直线与平面EFG所成角的正弦值为（ ）
A B C D
答案：D 学法课时作业P115
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.下列说法正确的是（ ）
A直线必过定点（3,2）
B直线在y轴上的截距为
C直线
D过
答案：ABD
10.已知圆,直线.有以下几个命题,其中正确的命题是( )
A.直线l恒过定点 B.圆C被y轴截得的弦长为
C.直线l与圆C恒相交 D.直线l被圆C截得最短弦长时,直线l的方程为
答案：ABCD
解析：将直线l的方程整理为,
由解得
则无论m为何值,直线l恒过定点,故A正确.
在圆C的方程中,令,则,解得,
故圆C被y轴截得的弦长为,故B正确.
因为,
所以点D在圆C的内部,直线l与圆C恒相交,故C正确.
圆心,半径为5,,
当截得的弦长最短时,,
则直线l的斜率为2,此时直线l的方程为,
即,故D正确.
11.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有( )
A.AD与BC所成的角为30° B.AC与BD所成的角为90°
C.BC与面ACD所成角的正弦值为 D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是
答案：BD
解析：取BD的中点O，连接AO，CO， 正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，
以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，，，.
，
异面直线AD与BC所成的角为60°，故A错误；
，，故B正确；
设平面ACD的法向量为，
则取，得，，
，
设BC与面ACD所成角为，
则，故C错误；
易知平面BCD的一个法向量为，
设平面ABC的法向量为，
则取，
得，，，设两个平面的夹角为，则，
，，
平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是，故D正确.故选BD.
12已知圆与双曲线的四个交点的连线构成的四边形的面积为4，若A为圆C与双曲线T在第一象限内的交点，F为双曲线T的右焦点，且(O为坐标原点)，则下列说法正确的是( )
A.双曲线T的渐近线方程为
B.双曲线T右支上的动点P到两点的距离之和的最小值为4
C.圆C在点A处的切线被双曲线T截得的弦长等于
D.若以双曲线T上的两点M，N为直径的圆过点O，则
答案：BCD
解析：由圆与双曲线的对称性知，圆C与双曲线T的交点的连线构成的四边形为矩形，设则且得，所以所以即设由得则即得从而.
A项，双曲线T的渐近线方程为故A项错误.
B项，设双曲线T的左焦点为则连接由双曲线的定义可得所以(当且仅当三点共线时取等号)，故B项正确.
C项，圆C在点A处的切线方程为由得解得或，所以该切线与双曲线的交点为与所以，故C项正确.
D项，由题意知且直线OM，ON的斜率均存在且不为0，设直线OM的方程为则直线ON的方程为设，由得所以同理得即故D项正确.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.点（1，1）到直线的距离是______．
答案：2
14.已知空间直角坐标系中，点，，若，，则向量c的坐标为__________.
.答案：或
15.已知为圆的直径,点为椭圆上一动点,则的最小值为__________.
答案：2
解析：,
而,则答案为.
16已知是椭圆的两个焦点,且椭圆上存在一点,使得,若点分别是圆和椭圆上的动点,则当椭圆的离心率取得最小值时,的最大值是__________.
答案：因为椭圆上存在一点,使得,所以的最大值不小于.根据余弦定理得,当且仅当,即点为椭圆短轴的顶点时,最大.此时,令,则,于是椭圆的离心率,当椭圆的离心率取得最小值时,,椭圆的方程为.连接,则,所以只需求出的最大值即可.,当且仅当三点共线且点在线段的延长线上时,不等式取到等号,所以的最大值为,因此的最大值是.
三、解答题(本题共6题，共10+12+12+12+12+12=70分）
17.已知圆内有一点,过点P作直线l交圆C于两点.
(1) 当l经过圆心C时,求直线l的方程;
(2) 当弦的长为时,求直线的方程.
17.答案：(1)圆心坐标为,,,整理得.
(2)圆的半径为3,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,整理得
,圆心到直线l的距离为
,解得,代入整理得.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,经检验符合题意.
直线l的方程为或.
18.已知的内所对的边分别是，若
（1）求角的值；
（2）求△ABC的面积取得最大值时，边的长．
答案：（1）由正弦定理可化为，即，
由余弦定理可得，因为，所以；
（2）因为，即，
所以，
当且仅当时，取最大值为，即有，解得．
19.如图,在四棱柱中,平面,底面满足
,且.
(1)求证:平面; (2)求直线与平面,所成角的正弦值.
答案：(1)证明:
在中,
由勾股定理得,
平面,平面
又
平面.
(2)由(1)知,两两垂直,
分别以为轴,轴轴建立空间直角坐标系
则
设平面的法向量为
即
令,则,
设直线与平面所成角为,
.
20如图,在四棱锥中,底面为梯形,平面平面,,,,,为侧棱的中点,且,.
(1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值.
答案：(1)证明：取的中点,连接、.
∵为侧棱的中点,∴.
∵,,,∴四边形为平行四边形,则.
∵,∴平面平面.
∵平面,∴平面.
(2)解：过点作于,∵平面平面,∴平面.
∵,,,∴,,.
取的中点,如图所示,以为原点,建立空间直角坐标系,
则,,,.
∴,,.
设为平面的法向量,
则
取,则.
易证平面,则为平面的一个法向量.
∴,
由图可知,二面角为钝角,
∴二面角的余弦值为.
21.在平面直角坐标系中,点到点与点的距离之和为.
（1）试求点的轨迹的方程.
（2）若斜率为的直线与轨迹交于两点, 为轨迹上不同的一点,记直线的斜率为,直线的斜率为,试问是否为定值.若是,求出该定值;若不同,请说出理由.
21.答案：1.由题知,
则
故由椭圆的定义知点A的轨迹M是椭圆
且则所以轨迹得方程为
2. 为定值理由如下:
设直线方程为
联立得
当
即时
直线l与椭圆M有两个交点
且
因为,
所以

所以为定值
22已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.
求曲线C的方程；
过动点P作直线与曲线交于A,B两点，当P为AB的中点时，求的值；
（3）过点的直线与曲线C交于E,F两点，设直线，点D(-1,0),直线ED交于点M,证明直线FM经过定点，并求出该定点的坐标。