湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高二上学期期中测试数学试卷

这是一份湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高二上学期期中测试数学试卷，共9页。试卷主要包含了7，第一组和第五组的频率相同等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、单选题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意)
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．某校高一年级20个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下:，则这组数据的第80百分位数为（ ）
A．91B．92C．93D．94
3．以点(3，－1)为圆心，且与直线x－3y＋4＝0相切的圆的方程是（ ）
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝10B．(x－3)2＋(y－1)2＝10
C．(x＋3)2＋(y－1)2＝10D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝10
4．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
6．已知圆锥的底面半径为2，若圆锥被平行其底面的平面所截，截去一个底面半径为1，高为的圆锥，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（ ）
A．B．C．D．
8．已知四点均在椭圆上，其中轴，轴，且，，，若点D在第一象限，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题(本大题共 4 小题，每题5分，共 20 分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知点和，若某直线上存在点 P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是（ ）
A．x-2y+6=0B．x-y=0C．2x-y+1=0D．x+y-3=0
10．已知直线：和圆：，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆相交
C．存在使得直线与直线：平行
D．直线被圆截得的最短弦长为
11．已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，
C．当时，直线的斜率为2D．面积的最小值为4
12．如图，在正方体中，，点分别为的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若，则平面
C．平面截正方体所得的截面的周长为
D．若，则四面体外接球的表面积为
三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．直线过点，同时满足在两坐标轴上的截距相等且不为零，则这样的直线方程为 .
14．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 .
15．已知点是直线上的动点，点在线段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为 ．
16．已知四棱锥平面，底面是矩形，，点分别在上，当空间四边形的周长最小时，则三棱锥外接球的体积为 .
四、解答题(本大题共6 小题，共 70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知的内角的对边分别是，满足．
(1)求；
(2)若是的中点，且，求的面积．
18．某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的60%分位数（分位数精确到0.1）；
(3)在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，
点为棱上的点，且.
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
20．双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线交于两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点．
21．如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点.

(1)证明：；
(2)若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为.
22．已知椭圆：（）的离心率为，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足.
(1)求椭圆方程；
(2)设为椭圆右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值.
参考答案
单选题CDAB BCAB
多选题BC BD ABD BD
填空题
13．
14．.
15．（）
16．
17．（1）在中，由及正弦定理得，即，
而，所以．
（2）在中，，在中，，
而，则，即，
由余弦定理得，而，解得，
．
18．（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以；
（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以第60百分位数在第三组，且为；
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，
共有10种情况，
其中选出的两人来自不同组的有共4种情况，
故选出的两人来自不同组的概率为．
19．（1）由为矩形可知：，又因为，，
，平面，所以平面，又，
所以面，又面，故.
（2）由（1）可知，，，所以，在中，
，所以；
又，，，面，所以面；
故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）.

则，，，，，
又在中，，则，，，.
设面的法向量，则即故，
设直线与面所成角为，则.
故直线与平面所成角的正弦值为：
20．（1）设双曲线的方程为，则，
故，故双曲线的方程是.
（2）由，得，
由，且得，且，
设，因为以为直径的圆过原点，所以，
所以，又，
所以，
所以解得.
21．（1）∵由图1得：，，且，∴在图2中平面，是二面角的平面角，则，∴是正三角形，且N是BC的中点，，又平面BCF，平面BCF，可得，而，平面ABCD.∴平面ABCD，而平面，∴.
（2）因为平面ABCD，过点N做AB平行线NP，所以以点N为原点，NP，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设
∴，，,.
∵，∴.
∴，∴，
设平面的法向量为
则，取，
设直线BM与平面ADE所成角为，
∴，
∴，∴或.

22．（1）解：因为是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足，
所以，解得，
因为椭圆的离心率为，
所以，解得.
所以，，
所以，椭圆方程为.
（2）解：由（1）知，，
当直线的斜率不存在时，方程为，此时，，
直线方程为，直线方程为，
所以，，
所以，，两点的纵坐标之积为，
当直线的斜率存在时，因为过点的直线与椭圆交于，两点（异于），
所以直线的斜率不为，设直线的方程为，
设，
则直线方程为，直线方程为，
因为直线，分别交直线于，两点
所以，
联立直方程得，
所以，，
所以，，
所以，，两点的纵坐标之积为
所以，，两点的纵坐标之积为定值.