2021-2022学年湖南省株洲市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年湖南省株洲市高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知向量，，且与互相平行，则（    ）．

A． B．2 C．1 D．

【答案】B

【分析】根据与互相平行，可设，列方程，可求出.

【详解】与互相平行，可得，且，得，解得，

故选：B

2．经过两点，的直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接由斜率公式计算可得.

【详解】解：经过两点，的直线的斜率.

故选：C

3．直线与圆相切，则的值是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求出.

【详解】解：根据题意，得圆的圆心为，半径为，

由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，

即，故.

故选：A.

4．抛物线的焦点坐标是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标．

【详解】抛物线的方程为，所以焦点在轴，

由，所以焦点坐标为．

故选：D．

5．圆关于直线对称的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，利用点关于直线对称点的求法可求得对称圆的圆心，由两圆半径相同可得圆的方程.

【详解】由圆的方程知：圆心，半径；

设圆心关于的对称点为，则，解得：，

所求对称圆的圆心为，半径为，

所求对称圆的方程为：.

故选：B.

6．直线的一个方向向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.

【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，

又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，

故选：A.

7．在直三棱柱中，，，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.

【详解】由题意，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，

如图所示，

设，可得，

则，

所以.

故选：A.

8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据．可得，可得，设，．可得，根据余弦定理化简，利用离心率计算公式即可得出．

【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为．

∵椭圆的上顶点为，且．

∴，∴，∴．∴．

不妨设点在第一象限，设，．

∴，．∴．

在中，由余弦定理可得：

∴．两边同除以，得，解得：．

对选项A，，故A错误，

对选项B，，故B正确，

对选项C，D，，故C，D错误.

故选：B

二、多选题

9．下列说法错误的是（    ）

A．直线必过定点

B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为

【答案】BCD

【分析】A选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；C选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D选项计算出端点值后，由线段MN与y轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误.

【详解】A选项，直线方程变形为，令，解得，即原直线必过定点，A正确；

B选项，当直线l过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l的方程为，B不正确；

C选项，当时，无意义，故C不正确；

D选项，直线经过定点，当直线经过M时，斜率为，当直线经过N点时，斜率为，由于线段MN与y轴相交，故实数k的取值范围为或，D不正确.

故选：BCD.

10．若为等差数列，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．是数列中的项

C．数列单调递减

D．数列前7项和最大

【答案】ACD

【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.

【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，

由，得，故B错误，

因为，所以数列单调递减，故C正确，

由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.

故选：ACD

11．设双曲线：的焦点为，，若点在双曲线上，则（    ）

A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为

C． D．

【答案】BC

【分析】根据给定条件，求出b，并求出双曲线实半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.

【详解】依题意，，解得，双曲线：的实半轴长，半焦距，

双曲线的离心率，A不正确；

双曲线的渐近线方程为，B正确；

，C正确；

，，则，

有，D不正确.

故选：BC

12．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ）

A．

B．点E到直线的距离为

C．直线与平面所成的角的正弦值为

D．点到平面的距离为

【答案】AC

【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.

【详解】如图以点为原点，建立空间直角坐标系，

则，

，

则，所以，故A正确；

，则，

所以，

所以点E到直线的距离为，故B错误；

因为平面，所以即为平面的一条法向量，

则直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确；

设平面的法向量为，

则有，可取，

则点到平面的距离为，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．两平行直线之间的距离为________

【答案】##

【分析】用平行线间的距离公式，代入即可.

【详解】直线，即为，所以两平行直线与之间的距离为.

故答案为：

14．点到两定点，的距离之和为6，则点的轨迹方程是______.

【答案】

【分析】由椭圆的定义求解即可

【详解】因为，

由椭圆的定义可知，

动点点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，

所以，，

所以点的轨迹方程是，

故答案为：

15．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为___________.

【答案】

【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即为所求.

【详解】由已知可得，所以，点到平面的距离为.

故答案为：.

16．已知实数x，y满足：，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】方法一：采用三角换元法，然后利用两角差的正弦公式集合求解；

方法二：利用的几何意义：可以看作圆心到直线距离的倍，然后利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】解法一：因为，所以令，，

则，，

故，其中，，因为，

所以，

所以，

故的取值范围为．

解法二：因为圆心到直线的距离，

所以圆心上的点到直线的距离的取值范围为，

又因为，

所以的取值范围是．

故答案为：．

四、解答题

17．（1）已知在递增的等差数列中，.求的通项公式；

（2）已知数列中，.证明：数列是等差数列.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据已知条件解方程组可得，再列出关于的方程组，求出，从而可求出通项公式；

（2）根据等差数的定义结合已知进行证明.

【详解】（1）解：由且数列递增，

得.

设数列的公差为，

所以，解得，

所以；

（2）证明：因为，

所以，

所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列.

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且a＝b.

(1)求sin B；

(2)若△ABC的面积为，求△ABC的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理，化简得，结合题意可得，由余弦定理即可求得的值，再应用同角三角函数关系式，求得结果；（2）利用三角形的面积公式，可得，进而得到三角形的周长．

【详解】（1）∵，则，

由正弦定理可得，

又∵，则，即，

∴，

又∵，故.

（2）∵△ABC的面积为，则，

∴，

故△ABC的周长为.

19．已知函数为奇函数.

（1）求实数a的值并证明是增函数；

（2）若实数满足不等式，求t的取值范围.

【答案】（1），证明见解析；（2）.

【解析】（1）依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数解析式，再利用作差法证明函数的单调性；

（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可；

【详解】（1）因为是定义域为R奇函数，

由定义，所以

所以，

∴.

所以

证明：任取，

．

，．

，即．

在定义域上为增函数．

（2）由（1）得是定义域为R奇函数和增函数

所以.

【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．

20．已知圆，其圆心在直线上．

(1)求的值；

(2)若过点的直线与相切，求的方程．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解；

（2）对直线的斜率是否存在讨论.若存在，设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离即可求解.

【详解】（1）圆的标准方程为：，

所以，圆心为.

由圆心在直线上，得.

所以，圆的方程为：.

（2）当直线的斜率不存在时，即方程为，此时直线与圆相切；

当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，

即，

由于直线和圆相切，得，

解得：，代入整理可得.

所以，直线方程为：或.

21．如图,四边形为正方形,平面,,且.

(1)证明：平面平面

(2)求平面与平面所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据面面平行的判定定理,先由,证明平面,再由证明平面,一个面中两条相交直线平行于另一个面，进而证明面面平行即可;

(2)根据题意建立合适的空间直角坐标系,写出点的坐标,分别求出平面和平面的法向量,求出两个法向量夹角的余弦值的绝对值,即面与面夹角的余弦值.

【详解】（1）证明:由题知四边形为正方形,

,

平面,平面,

平面,

平面,平面,

平面,

平面,平面,

平面平面得证;

（2）由题知,平面,且四边形为正方形,

,

则以原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立空间直角坐标系如图所示:

,

,

,

平面,平面,

平面,

平面法向量为,

记平面法向量为,

,即,

不妨取,可得,

则,

故平面与平面所成角的余弦值为.

22．已知椭圆C的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在椭圆C上，，.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知M是直线上的一点，是否存在这样的直线l，使得过点M的直线与椭圆C相切于点N，且以MN为直径的圆过点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由，

【答案】(1)

(2)存在，直线

【分析】（1）根据可得，进而，解方程组即可；

（2）设直线MN的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理求出点N的坐标，根据圆的性质可得，结合点M、的坐标，利用平面向量的坐标表示计算即可.

【详解】（1）设椭圆C的方程为，

由，知，代入椭圆方程，

得，解得，

则 ，解得，，

所以椭圆C的标准方程为；

（2）显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为，由

，消去y得.

由，得.①

所以，

.

即切点N的坐标为，

以为直径的圆恒过点，则.

又M的坐标为，，

，，

，

化简，得.

上式满足①式任意的k，m成立，则.

故存在直线满足题意.