上海市市西中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

这是一份上海市市西中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题，共6页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
2023.11
一、填空题（每题3分，共12题，满分36分）
1.已知全集，集合，，则___________.
2.若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式___________.
3.已知是方程的两个实数根，则的值为___________.
4.满足的集合的个数为___________个.
5.命题“若，则”是真命题，则实数的取值范围是___________.
6.已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解为___________.
7.对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.
8.已知，，则对数可用a、b表示为___________.
9.已知对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.
10.设为实数，关于的不等式组的解集为，若，则的取值范围是___________.
11.设，，，若，.则的最大值为___________.
12.在解决问题：“证明数集没有最小数”时可用反证法证明：
假设是中的最小数，则存在，
可得：，与假设中“是中的最小数”矛盾，
所以数集没有最小数.
那么对于问题：“证明数集，并且没有最大数”，也可以用反证法证明：我们可以假设是中的最大数，则存在，且其中的一个值可以是___________（用表示），由此可知，与假设是中的最大数矛盾.
二、选择题（每题4分，共4题，满分16分）
13.设，则“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件
14.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，假设在平面内有一个三角形，边长分别为a、b、c，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A.B.C.D.
15.关于的方程，有下列四个命题：
甲；是该方程的根；乙：是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号。
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁
16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（ ）
A.1B.C.4D.
三、解答题（共5题，总分48分）
17.（本题共8分）
若，求的值
18.（本题共8分）
已知幂函数
满足：①在区间上是严格增函数；②函数图像关于原点对称
（1）求同时满足①②的幂函数的表达式。
（2）在（1）条件下，图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位，恰好和函数的图像重合，求函数的表达式。
19.（本题共12分）
2020年是我国脱贫攻坚战的最后一年，为了实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴，现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道，设温室的一边长度为米，如图所示.
（1）将两个养殖池的总面积用来表示，并写出的取值范围；
（2）当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值是多少？
20.（本题11分）
设，已知集合，集合.
（1）若，求的取值范围；
（2）若时，，求的取值范围；
（3）设集合，若中元素个数恰为3个，求的取值范围.
21.（本题9分）
已知实常数a、b，满足，
（1）证明：关于的方程有两个不同的实数解。
（2）若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值.
上海市市西中学2023学年度第一学期期中考试答案
高一数学
一、填空题（每题3分，共12题，满分36分）
1.2.3.4.4
5.6.7.8.
9.10.11.112.（不唯一）
二、选择题（每题4分，共4题，满分16分）
13.C 14.C 15.A 16.C
三、解答题（共5题，总分48分）
17.（本题共8分）
由得，
综上所述，结论是：.
18.（1）（2）
19.（本题12分6+6）
（1）根据题意可知温室的另一边长为米，
养殖池的两边长分别为和米，
所以养殖池的总面积为
因为，即，解得.
所以定义域为.
（2）
当且仅当，即时等号成立.
所以当温室的边长取30米时，总面积最大为1215平方米.
20.（本题11分3+5+3）
【详解】（1）若，，与矛盾，故
由，得，解得，
因为，所以，解得.
（2），
，因为，所以，
①当时，，，此时，成立；
②当时，，若.
则需满足或，解得或；
③当时，，此时，成立.
综上.
（3）由题意，，.
中元素恰为3个，的区间长度应在内，，
①当时，.
②当时，，，此时4，5，6成立，
综上所述.
21.（本题9分4+5）
（1）
方程
因为
所以有两个不同的实数解
经检验
所以，，，
所以关于的方程有两个不同的实数解。
（2）令，
结合二次函数图像可知所以原式.