第六章 反比例函数 单元检测卷（A卷）-2023-2024学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

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选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝﹣x﹣1C．y＝D．y＝﹣x
【答案】B
【解答】解：A、y＝2x是正比例函数，故本选项不符合题意．
B、y是x的反比例函数，故本选项符合题意；
C、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
D、y＝﹣x是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．如果反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，﹣4），那么函数的图象应在（ ）
A．第一，三象限B．第一，二象限
C．第二，四象限D．第三，四象限
【答案】A
【解答】解：y＝，图象过（﹣3，﹣4），
所以k＝12＞0，函数图象位于第一，三象限．
故选：A．
3．为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V＝Sh（V≠0），则S关于h的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：∵V＝Sh（V为不等于0的常数），
∴S＝（h≠0），S是h的反比例函数．
依据反比例函数的图象和性质可知，图象为双曲线在第一象限内的部分．
故选：C．
4．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）
【答案】A
【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，
符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．
故选：A
5．反比例函数y＝的图象的两个分支分别在第二、第四象限内，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜0B．m＞0C．m＜5D．m＞5
【答案】C
【解答】解：由题意可得m﹣5＜0，
即m＜5．
故选：C．
6．若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
【答案】B
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣5＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵﹣5＜0，0＜1＜5，
∴点A（﹣5，y1）在第二象限，点B（1，y2），C（5，y3）在第四象限，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
7．函数y＝ax（a≠0）与y＝在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象可知a＜0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者相矛盾，故本选项错误；
C、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；
D、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者一致，故本选项正确．
8．已知点A是反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，到x轴的距离为3，若点A在第二象限内，则这个反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣
【答案】B
【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，
∵点A到原点的距离为5，到x轴的距离为3，
∴点A到y轴的距离＝＝4，
∵点A在第二象限内，
∴A（﹣4，3），
把A（﹣4，3）代入y＝得k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
故选：B．
9．在同一直角坐标平面内，如果y＝k1x与没有交点，那么k1和k2的关系一定是（ ）
A．k1＜0，k2＞0B．k1＞0，k2＜0C．k1、k2同号D．k1、k2异号
【答案】D
【解答】解：∵直线y＝k1x与双曲线没有交点，
∴k1x＝无解，
∴x2＝无解，
∴＜0．即k1和k2异号．
故选：D．
10．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且BO＝2CO，若△ABC的面积为18，则k的值为（ ）
A．12B．18C．20D．24
【答案】D
【解答】解：设A点的坐标为，
则OB＝a，AB＝，
∵BO＝2CO，
∴CB＝，
∴△ABC的面积为：＝18，
解得k＝24，
故选：D．
填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。
11．反比例函数的图象经过点（a，2），则a＝ ．
【答案】3
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（a，2），
∴点（a，2）满足反比例函数，
∴2＝，
解得，a＝3；
故答案是：3．
12．下列函数中，（1）y＝，（2）y＝﹣x+1，（3）y＝3x﹣1，（4）y＝﹣，（5）y＝（x＜0），y随x增大而减小的有 ．（填序号）
【答案】（2）（5）
【解答】解：（1）为反比例函数，从整个图象来看，不是y随x的增大而减小的，在每个象限内，y随x的增大而减小的，故不符合题意；
（2）为一次函数，比例系数为﹣1，y随x的增大而减小，符合题意；
（3）为一次函数，比例系数为3，y随x的增大而增大，故不符合题意；
（4）为反比例函数，比例系数为﹣5，在每个象限内，y随x的增大而增大的，故不符合题意；
（5）为反比例函数，比例系数为2，在第三象限内，y随x的增大而减小，符合题意；
故答案是：（2）（5）．
13．已知正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为 ．
【答案】（1，﹣2）
【解答】解：根据中心对称的性质可知另一个交点的坐标是：（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
14．有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝5m3时，气体的密度是 kg/m3．
【答案】
【解答】解：由图象可知，函数图象经过点（4，2），
设反比例函数为ρ＝，
则＝2，
解得k＝8，
∴反比例函数为ρ＝，
∴当v＝5m3时，ρ＝，
故答案为：．
15．反比例函数y＝的图象上有一点A（x，y），且x，y是方程a2﹣a﹣1＝0的两个根，则k＝
【答案】-1
【解答】解：x、y是方程a2﹣a﹣1＝0的根，
则有xy＝﹣1，
又∵点A（x，y）在反比例函数y＝的图象上，
∴xy＝k，∴k＝﹣1．
16．如图，直线x＝2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是 ．
【答案】
【解答】解：∵把x＝2分别代入、，得y＝1、y＝﹣．
∴A（2，1），B（2，﹣），
∴AB＝1﹣（﹣）＝．
∵P为y轴上的任意一点，
∴点P到直线x＝2的距离为2，
∴△PAB的面积＝AB×2＝AB＝．
故答案是：．
三、解答题（本题共6题，17题6分，18题8分，19题10分，20-21题12分）。
17．已知反比例函数的图象与直线y＝2x相交于A（1，a），求这个反比例函数的解析式．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
把A（1，a）代入y＝2x得a＝2，
则A点坐标为（1，2），
把A（1，2）代入y＝得k＝1×2＝2，
所以反比例函数的解析式为y＝．
18．已知一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）相交于A和B两点，且A点坐标为（1，3），B点的横坐标为﹣3．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使得y1＞y2时，x的取值范围．
【解答】解：（1）把点A（1，3）代入y2＝，得到m＝3，
∵B点的横坐标为﹣3，
∴点B坐标（﹣3，﹣1），
把A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入y1＝kx+b得到解得，
∴y1＝x+2，y2＝．
（2）由图象可知y1＞y2时，x＞1或﹣3＜x＜0．
19．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
【解答】解：（1）把A（﹣4，2）代入y＝，得m＝2×（﹣4）＝﹣8，
所以反比例函数解析式为y＝﹣，
把B（n，﹣4）代入y＝﹣，得﹣4n＝﹣8，
解得n＝2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y＝kx+b，得
，
解得，
所以一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
即直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×4＝6；
（3）由图可得，不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．
20．保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1月的利润为200万元．设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
（1）分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y与x之间对应的函数关系式．
（2）治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200万元？
（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
【解答】解：（1）根据图象，反比例函数图象经过（1，200），
设反比例函数为y＝（k≠0），
则＝200，
解得k＝200，
∴反比例函数为y＝（1≤x≤5），
当x＝5时，y＝40，
设改造工程完工后函数解析式为y＝20x+b，
则20×5+b＝40，
解得b＝﹣60，
∴改造工程完工后函数解析式为y＝20x﹣60（x＞5且x取整数）；
（2）当y＝200时，20x﹣60＝200，
解得x＝13．
13﹣5＝8．
∴经过8个月，该厂利润才能达到200万元；
（3）当y＝100时，＝100，解得x＝2，
20x﹣60＝100，解得x＝8，
∴月利润少于100万元有：3，4，5，6，7月份．
故该厂资金紧张期共有5个月．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y＝的图象经过点C（3，m）．
（1）求菱形OABC的周长；
（2）求点B的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点C（3，m），
∴m＝4．
作CD⊥x轴于点D，如图，
由勾股定理，得OC＝＝5．
∴菱形OABC的周长是20；
（2）作BE⊥x轴于点E，如图2，
∵BC＝OA＝5，OD＝3，
∴OE＝8．
又∵BC∥OA，
∴BE＝CD＝4，
∴B（8，4）．