广东省深圳市实验学校光明部2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷

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一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．2﹣＝1B．+＝C．＝2D．＝4
2．下列各组数为勾股数的是（ ）
A．6，12，13B．3，4，7C．4，7.5，8.5D．8，15，17
3．已知第二象限的点P（﹣4，1），那么点P到x轴的距离为（ ）
A．1B．4C．﹣3D．3
4．已知P（a，2）和Q（1，b）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）
A．1B．﹣1C．32021D．﹣32021
5．估计﹣1的值在（ ）
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
6．关于函数y＝﹣x+2有下列结论，其中错误的是（ ）
A．图象经过点（1，1）
B．若点A（0，y1），B（2，y2）在图象上，则y1＞y2
C．图象向下平移2个单位长度后，图象经过点（0，1）
D．当x＞2时，y＜0
7．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx﹣k图象是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．如图，△AOB是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，）B．（﹣1，）C．（1，）D．（1，）
10．勾股定理是一个古老的定理，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，数学家曾建议用图1作为与“外星人”联系的信号．如图1，以Rt△ABC（AB＞AC）的各边为边分别向外作正方形，再把最大的正方形纸片按图2的方式向上折叠，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形BCMN的面积B．四边形NPAB的面积
C．正方形ACDE的面积D．Rt△ABC的面积
二．填空题（每题3分，共15分）
11．的平方根是 ．
12．已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是 ．
13．已知x是的整数部分，y是的小数部分，则（y﹣）x﹣1的算术平方根为 ．
14．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也向右滑1m，则梯子AB的长度为 ．
15．如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，……ln分别交于点A1，A2，A3，……An；函数y＝3x的图象与直线l1，l2，l3，……ln分别交于点B1，B2，B3，……Bn，如果△OA1B1的面积记的作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2020＝ ．
三．解答题（共55分）
16．（12分）计算：
（1）|﹣2|++；（2）+﹣；
（3）﹣﹣；（4）﹣×．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标 ；
（3）△ABC的面积＝ ；
（4）在y轴上找一点P，使得△APC周长最小，并求出△APC周长的最小值．
18．（9分）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为：p1p2＝，例如：点（3，2）和（4，0）的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴距离公式可简化成：p1p2＝|x1﹣x2|或p1p2＝|y1﹣y2|．
（1）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点的距离为 ；
（2）线段AB平行于x轴，且AB＝3，若点B的坐标为（2，4），则点A的坐标是 ；
（3）已知A（3，5），B（﹣4，4），A，B两点的距离为 ；
（4）已知△ABC三个顶点坐标为A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2），请判断此三角形的形状，并说明理由．
19．（7分）如图，表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求两直线与y轴围成的三角形的面积．
20．（8分）如图，在长方形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E是BC边上一点，连接AE，将∠B沿直线AE折叠，使点B落在点B′处．
（1）直接写出AC的长度；
（2）如图1，当点E不与点C重合，且点B′在对角线AC上时，求CE的长；
（3）如图2，当点E与点C重合时，CB′与AD交于点F，求证：FA＝FC．
21．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知A（6，0），
（1）写出点B，点C的坐标和△ABC的面积；
（2）直线l经过A、B两点，求直线AB的解析式；
（3）点D是在直线AB上的动点，是否存在动点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．
深实验光明部八上期中参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列运算正确的是（ ）
A．2﹣＝1B．+＝C．＝2D．＝4
【解答】解：2﹣＝，故A错误，不符合题意；
与不是同类二次根式，不能合并，故B错误，不符合题意；
÷＝，故C错误，不符合题意；
×＝4，故D正确，符合题意；
故选：D．
2．下列各组数为勾股数的是（ ）
A．6，12，13B．3，4，7C．4，7.5，8.5D．8，15，17
【解答】解：A、62+122≠132，故错误；
B、32+42≠72，故错误；
C、42+7.52＝8.52，勾股数为正整数，故错误；
D、82+152＝172，勾股数为正整数，故正确．
故选：D．
3．已知第二象限的点P（﹣4，1），那么点P到x轴的距离为（ ）
A．1B．4C．﹣3D．3
【解答】解：点P到x轴的距离为1．
故选：A．
4．已知P（a，2）和Q（1，b）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）
A．1B．﹣1C．32021D．﹣32021
【解答】解：∵点P（a，2）与点Q（1，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴a+b＝﹣1+2＝1，
∴（a+b）2021＝12021＝1．
故选：A．
5．估计﹣1的值在（ ）
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
∴﹣1的值在2到3之间，
故选：B．
6．关于函数y＝﹣x+2有下列结论，其中错误的是（ ）
A．图象经过点（1，1）
B．若点A（0，y1），B（2，y2）在图象上，则y1＞y2
C．图象向下平移2个单位长度后，图象经过点（0，1）
D．当x＞2时，y＜0
【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣x+2＝1，故图象经过点（1，1），故本选项正确，不合题意；
B、∵函数y＝﹣x+2中．k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵0＜2，
∴y1＞y2，故本选项正确，不合题意；
C、根据平移的规律，函数y＝﹣x+2的图象向下平移2个单位长度得解析式为y＝﹣x，当x＝0，y＝0经过（0，0），不经过（0，1）故本选项不正确，符合题意；
D、改为把x＝2代入函数y＝﹣x+2＝0，根据y随x的增大而减小，所以当x＞2时，y＜0，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
7．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx﹣k图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴b＞0，﹣k＞0，
∴一次函数y＝bx﹣k图象第一、二、三象限，
故选：B．
8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB＝6，BC＝8，
∴根据勾股定理得：AC＝＝10，
设BD＝x，由折叠可知：DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，
可得：CE＝AC﹣AE＝10﹣6＝4，CD＝BC﹣BD＝8﹣x，
在Rt△CDE中，
根据勾股定理得：（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
则BD＝3．
故选：A．
9．如图，△AOB是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，）B．（﹣1，）C．（1，）D．（1，）
【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB，
∵△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB，OC＝BC，∠AOB＝60°，
∵OB＝2，
∴OA＝2，
∴OC＝1，
∴AC＝＝＝，
∴点A的坐标是（1，），
∴点A关于x轴的对称点的坐标为（1，）．
故选：D．
10．勾股定理是一个古老的定理，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，数学家曾建议用图1作为与“外星人”联系的信号．如图1，以Rt△ABC（AB＞AC）的各边为边分别向外作正方形，再把最大的正方形纸片按图2的方式向上折叠，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形BCMN的面积B．四边形NPAB的面积
C．正方形ACDE的面积D．Rt△ABC的面积
【解答】解：∵四边形BCMN，四边形ACDE是正方形，
∴∠BCM＝∠CAE＝∠M＝90°，
∴∠CBK+∠BCA＝∠BCA+∠PCM＝90°，
∴∠CBK＝∠PCM，
在△BCK与△CMP中，
，
∴△BCK≌△CMP（ASA），
∴S△BCK＝S△CMP，
∴S△BCK﹣S△ACK＝S△CMP﹣S△ACK，
即S△ABC＝S阴影，
故知道图中阴影部分的面积，一定能求出Rt△ABC的面积，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．的平方根是 ±3 ．
【解答】解：因为＝9，而9的平方根为＝±3，
所以的平方根为±3．
故答案为：±3
12．已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是 （0，﹣8） ．
【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，
∴m+2＝0，
解得：m＝﹣2，
故2m﹣4＝﹣8，
故点P的坐标为：（0，﹣8）．
故答案为：（0，﹣8）．
13．已知x是的整数部分，y是的小数部分，则（y﹣）x﹣1的算术平方根为 3 ．
【解答】解：由题意可得：3＝＜，
∴x＝3，y＝﹣3，
则（y﹣）x﹣1＝32＝9，而9的算术平方根为3．
故答案为：3．
14．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也向右滑1m，则梯子AB的长度为 5m ．
【解答】解：设BO＝xm，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
∴，
即梯子AB的长为5m．
故答案为：5m．
15．如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，……ln分别交于点A1，A2，A3，……An；函数y＝3x的图象与直线l1，l2，l3，……ln分别交于点B1，B2，B3，……Bn，如果△OA1B1的面积记的作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2020＝ 4039 ．
【解答】解：根据题意，An﹣1Bn﹣1＝3（n﹣1）﹣（n﹣1）＝3n﹣3﹣n+1＝2n﹣2，
AnBn＝3n﹣n＝2n，
∵直线ln﹣1⊥x轴于点（n﹣1，0），直线ln⊥x轴于点（n，0），
∴An﹣1Bn﹣1∥AnBn，且ln﹣1与ln间的距离为1，
∴四边形An﹣1AnBn Bn﹣1是梯形，
Sn＝（2n﹣2+2n）×1＝（4n﹣2），
当n＝2020时，S2020＝（4×2020﹣2）＝4039．
故答案为：4039．
三．解答题（共55分）
16．（12分）计算：
（1）|﹣2|++；
（2）+﹣；
（3）﹣﹣；
（4）﹣×．
【解答】解：（1）原式＝2+1+
＝3+3
＝6；
（2）原式＝
＝2；
（3）原式＝（7﹣5）﹣2
＝2﹣2
＝；
（4）原式＝
＝3﹣．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标 （1，2） ；
（3）△ABC的面积＝ 4 ；
（4）在y轴上找一点P，使得△APC周长最小，并求出△APC周长的最小值．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求；
（2）点C关于y轴的对称点C'的坐标为（1，2）；
故答案为：（1，2）；
（3）△ABC的面积＝3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4，
故答案为：4；
（4）如图，作点C关于y轴的对称点C′，连接AC′交y轴于点P，P即为所求，
∴PA+PC＝PA+PC′＝AC′，
∴此时PA+PC的值最小，△APC周长最小，
∵AC′＝＝2，AC＝＝2，
∴△PAC周长的最小值为2+2．
18．（9分）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为：p1p2＝，例如：点（3，2）和（4，0）的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴距离公式可简化成：p1p2＝|x1﹣x2|或p1p2＝|y1﹣y2|．
（1）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点的距离为 3 ；
（2）线段AB平行于x轴，且AB＝3，若点B的坐标为（2，4），则点A的坐标是 （5，4）或（﹣1，4） ；
（3）已知A（3，5），B（﹣4，4），A，B两点的距离为 5 ；
（4）已知△ABC三个顶点坐标为A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2），请判断此三角形的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）AB＝5﹣2＝3，
故答案为：3；
（2）∵线段AB平行于x轴，点B的坐标为（2，4），
∴设点A的坐标是（a，4），
∵AB＝3，
∴点A的横坐标为|a﹣2|＝3，
∴a＝5或a＝﹣1，
∴点A的坐标是（5，4）或（﹣1，4），
故答案为：（5，4）或（﹣1，4）；
（3）∵A（3，5），B（﹣4，4），
∴AB＝＝，
故答案为：5；
（4）△ABC为等腰直角三角形，理由如下：
∵A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2），
∴AB＝＝，
BC＝＝，
AC＝＝＝2，
∴AB＝AC，AB2+BC2＝20＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
19．（7分）如图，表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求两直线与y轴围成的三角形的面积．
【解答】解：由题意：∵A（4，3）
∴OA＝OB＝＝5，
∴B（0，﹣5），
设直线OA的解析式为y＝kx，则4k＝3，k＝，
∴直线OA的解析式为y＝x，
设直线AB的解析式为y＝k′x+b，则有，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣5．
（2）S△AOB＝×5×4＝10．
20．（8分）如图，在长方形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E是BC边上一点，连接AE，将∠B沿直线AE折叠，使点B落在点B′处．
（1）直接写出AC的长度；
（2）如图1，当点E不与点C重合，且点B′在对角线AC上时，求CE的长；
（3）如图2，当点E与点C重合时，CB′与AD交于点F，求证：FA＝FC．
【解答】（1）解：由勾股定理得：CA＝＝＝20；
（2）解：设CE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，AC＝20，
∴B'C＝AC﹣AB′＝AC﹣AC＝20﹣12＝8，
由折叠可知：∠AB'E＝∠B＝90°，AB'＝AB＝12，EB'＝EB＝16﹣x，
在Rt△CEB'中，EC2＝EB'2+B'C2，
∴x2＝（16﹣x）2+82，∴x＝10，∴CE＝10；
（3）证明：由折叠可知：△ABC≌△AB'C，
∴AB＝AB'，∠B＝∠B'，
在长方形ABCD中 AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，
∴AB'＝CD，∠B'＝∠D＝90°，
在△AB'F和△CDF中，，∴△AB'F≌△CDF（AAS ），∴FA＝FC．
21．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知A（6，0），
（1）写出点B，点C的坐标和△ABC的面积；
（2）直线l经过A、B两点，求直线AB的解析式；
（3）点D是在直线AB上的动点，是否存在动点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．
【解答】解：（1）对于y＝3x+6，令x＝0，则y＝6，故点B（0，6），
令y＝3x+6＝0，解得：x＝﹣2，故点C（﹣2，0）；则△ABC的面积＝×AC×OB＝×（6+2）×6＝24；
（2）设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0），则，解得：，
故直线AB的表达式为y＝﹣x+6；
（3）存在，理由：
∵，∴|yD|＝|yB|＝3，即|﹣x+6|＝3，解得：x＝3或9，
故点D的坐标为（3，3）或（9，﹣3）；
（4）K点的位置不发生变化，理由：
设点P的坐标为（t，0），过点Q作QH⊥x轴于点H，
∵∠BPO+∠QPH＝90°，∠PBO+∠BPO＝90°，∴∠QPH＝∠PBO，
在Rt△BOP和Rt△PHQ中，，∴△BOP≌△PHQ（AAS），
∴PH＝BO＝6，QH＝OP＝t，则点Q的坐标为（t+6，t），
设直线AQ的表达式为y＝mx+n，
则，解得，故点K的坐标为（0，﹣6）．