精品解析：广东省深圳市深圳实验学校光明部2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试卷

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深圳实验学校光明部2022-2023学年第一学期九年级10月月考数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列图形是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A. 每两次必有1次正面向上 B. 可能有5次正面向上
C. 必有5次正面向上 D. 不可能有10次正面向上
【答案】B
【解析】
【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．
【详解】解：抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5，
那么掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，解题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
3. 下列说法正确的有（　　）个．
①对角线相等的四边形一定是矩形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形
③已知点C为线段AB的黄金分割点，AB＝4，则AC＝2
④有一个角是40°的两个等腰三角形相似
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据中点四边形对B进行判断；根据黄金分割对C进行判断；根据相似三角形的判定对D进行判断．
【详解】解：①对角线互相平分且相等四边形是矩形，所以说法错误；
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，说法正确；
③已知点C为线段AB的黄金分割点，AB＝4，则AC＝（2）或（6﹣2）；
④当40°的角在一个三角形中是底角，在另一个三角形中是顶角时，两三角形不相似，所以说法错误．
故正确的有1个，
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4. 一个不透明的盒子里有150个红、黄两种颜色的小球，这些小球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中红球的个数为（　　）
A. 45 B. 85 C. 95 D. 105
【答案】D
【解析】
【分析】设盒子中红球的个数为x，则黄球的个数为（150﹣x），根据“大量重复摸球试验后发现摸到黄球的频率稳定在0.3”列出关于x的方程，解之可得．
【详解】设盒子中红球的个数为x，则黄球的个数为（150﹣x），根据题意，得：
0.3，
解得：x=105，
即盒子中红球大约有105个．
故选D．
【点睛】本题考查了利用频率求数量，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5. 如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（　　）

A. （4，3） B. （3，4） C. （5，3） D. （4，4）
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而结合已知得出答案．
【详解】∵点P（8，6）在△ABC边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，
∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．
故选A．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
6. 如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，求得CD的长只需证的△ABP∽△PCD即可．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°,AB=BC=3
又BP=1，
∴ PC=2，
又∠APD=60°，∠BAP=∠CPD,
∴△ABP∽△PCD
∴AB:CP=BP:CD
即，3:2=1：CD,
∴CD=
∴选项A,C,D错误，
只有B正确．
【点睛】本题难度小，在解题过程中注意找准对应边，由已知可得到相似比，从而求出．
7. 反比例函数图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜0 ＜x2 ＜x3，则y1 ，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y1＜y3＜y2 D. y3＜y2＜y1
【答案】B
【解析】
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出其函数图象所在的象限，再根据x1＜0 ＜x2 ＜x3，判断出各点横坐标的大小即可．
【详解】解：∵反比例函数中，-k2-1＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二，四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵x1＜0 ＜x2 ＜x3，
∴（x1，y1）两点位于第二象限，点（x2，y2），（x3，y3）位于第四象限，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
8. 如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（　　）

A. 1.2m B. 1.3m C. 1.4m D. 1.5m
【答案】A
【解析】
【分析】先根据△BFC∽BED，得，求出BC的长，从而得到AB的长，再根据△BGA∽△BFC，得，求出AG的长．
【详解】解：由题意可得：FC∥DE，
∴△BFC∽BED，
∴，即，解得：BC＝3m，
则AB＝5.4-3＝2.4m，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴，即，解得AG＝1.2m．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解．
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ）

A. B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设D点坐标为，表示出E、F、B点坐标，求出的面积，列方程即可求解．
【详解】解：设D点坐标为，
∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为，
∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为，
∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，，
∴E点坐标为，
同理可得C点坐标为，
∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为，
∵点E为AC的中点，的面积为1，
∴，即，可得，，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程．
10. 如图，正方形的边长为6，点是边的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形对角线的性质及全等三角形的性质求证 ,从而判断①；延长DE,AB相交于点M,根据条件证出△DCH∽△MFH，从而判断②；根据勾股定理及三角形面积公式求得，然后根据△DCG∽△BFG求得，从而判断④，过点H作HK⊥AB，利用勾股定理和相似三角形的性质求得，，求得，从而判断③.
【详解】解：由题意可知：
又∵正方形ABCD中，AB=CB,BG=BG
∴△ABG≌△CBG
∴
又∵点E是BC的中点，
∴CE=BE
又∵正方形ABCD中，AB=CD,
∴△DCE≌△ABE
∴
∵
∴ ,即①正确；

如图：延长DE,AB相交于点M
∵在正方形ABCD中，点E是BC的中点，
∴易证△DCE≌△MBE
∴DC=BM=6
又由①正确
可得
又∵
∴△DCE≌△CBF
∴BF=CE=3
∵DC∥AB
∴△DCH∽△MFH
∴
∴②正确；


由题意可知CE=3,DC=6,∠DCE=90°
∴
又根据三角形面积公式可得：
∴
由△DCE≌△CBF
∴CF=DE
∵DC∥AB
∴△DCG∽△BFG
∴ ,即
∴
∴，④正确.

过点H作HK⊥AB
由易证可知
∴ ,即
∴
同理： ,即
∴
∴
∴在Rt△AHK中，
∴③正确；正确的共4个，
故选D.
【点睛】此题考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质的综合应用，做题时，适当添加辅助线，找准相似三角形的对应角和对应边是解题关键.
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 已知==，则=___________．
【答案】
【解析】
【分析】设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入分式化简即可．
【详解】解：设x=2k，y=3k，z=4k，
则==，
故答案为．
【点睛】本题考查了比例的性质和分式的化简求值，解题的关键是根据==设出x=2k，y=3k，z=4k．
12. 在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，任意摸两个球，摸到1黑1白的概率是__________________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所摸到1黑1白的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：根据题意画树状图得：

共有6种等可能的结果，所摸到的球恰好为1黑1白的有4种情况，
∴所摸到的球恰好为1黑1白的概率是：．
故答案为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 若点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，线段AC的长为4，则BC＝_____．
【答案】2﹣2
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，据此列出方程即可求解．
【详解】解：设BC的长为x，
根据黄金分割的定义可知：
，即，
∴，即4x+x2=16，
解得x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（不符合题意，舍去），
∴BC的长为2﹣2；
故答案为：2﹣2．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．
14. 如图，在ABCD中，M为BC中点，AN=3MN，BN的延长线交AC于点E，交CD于点F．若ABE的周长为6，则CFE的周长为___________．

【答案】4
【解析】
【分析】先由平行四边形的性质得到，，然后由平行线的性质及相似三角形的判定与性质求出，最后计算即可．
【详解】解：如图，延长AD、BF交于G，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，，，，
∴BCE∽GAE，BMN∽GAN，
∴，，
∵AN=3MN，
∴，
∴AG=3BM，
∵M为BC中点，
∴BC=2BM，
∴，
∵，
∴，，
∴ABE∽CFE，
∴，
∵ABE的周长为6，
∴CFE周长为4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质及相似三角形的判定与性质，能够作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
15. 如图，反比例函数经过边AB的中点D，与边AO交于点C，且，AB垂直于BO，连接，若的面积为，则k的值为_______．

【答案】
【解析】
【分析】设点D的坐标为，得，结合题意得：，从而推导得；结合AB的中点为点D，得，经计算即可完成求解．
【详解】设点D的坐标为
∴
∵
∴
又∵AB的中点为点D
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数、直角坐标系、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、直角坐标系、一元一次方程、三角形中线的性质，从而完成求解．
三、解答题（共55分）
16. 选择适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）（x﹣2）（x﹣3）=1．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先移项，再用十字相乘法求解；
（2）先化为一般式，再根据公式法求解．
【小问1详解】
解：

（x﹣2）（x﹣4）=0

【小问2详解】
解：（x﹣2）（x﹣3）=1



由求根公式得

【点睛】本题考查了用公式法和十字相乘法解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解题的关键．
17. 如图，已知点O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，－1），（2，1）．

（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△OBꞌCꞌ；
（2）若△OBC内部一点M的坐标为（a，b），则点M对应点M′的坐标是 ；
（3）求出变化后△OBꞌCꞌ的面积 ．
【答案】（1）见解析；（2）（－2a，－2b）；（3）10
【解析】
【分析】（1）把B、C的横纵坐标都乘以-2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）利用（1）中对应点的关系求解；
（3）先计算△OBC的面积，然后利用相似的性质把△OBC的面积乘以4得到△OBꞌCꞌ的面积．
【详解】（1）如下图，△OBꞌCꞌ为所作；

（2）点M对应点M′的坐标为（－2a，－2b）；
（3）．
【点睛】本题考查了作图、位似变换，熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形．
18. 随着道路交通的不断完善，某市旅游业快速发展，该市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，市旅游部门统计绘制出2017年“五•一”长假期间旅游情况统计图（不完整）如下所示，根据相关信息解答下列问题：
（1）2017年“五•一”期间，该市旅游景点共接待游客　　万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是　　，并补全条形统计图．
（2）在等可能性的情况下，甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表加以说明．

【答案】（1）50、108°；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用，即可以求出总人数，然后利用A占总人数的30％，根据360°×30％这个式子，可以求出景点A所占扇形图的度数．
（2）作出树状图，得到所有可能的情况，即可以求出甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中选择去同一景点的概率是多少．
【详解】（1）该市旅游景点共接待游客15÷30%=50（万人），
扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是360°×30%=108°，
B景点的人数为50×24%=12（万人），
补全条形图如下：

故答案为 50、108°；
（2）画树状图可得：

∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，
∴同时选择去同一个景点的概率．
【点睛】熟练掌握统计图表、随机事件的概率的求法以及数据分析是解题的关键．
19. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．

【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【解析】
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，
所以反比例函数解析式为，
把B（n，﹣4）代入，
得﹣4n=﹣8
解得n=2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，
所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，
即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
20. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合力定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．
（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？
【答案】（1）1600元；（2）55元
【解析】
【分析】（1）根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100-2（x-50）]件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：（1）（60-40）×[100-（60-50）×2]=1600（元）．
答：每天的销售利润为1600元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100-2（x-50）]件，
依题意，得：（x-40）[100-2（x-50）]=1350，
整理，得：x2-140x+4675=0，
解得：x1=55，x2=85（不合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为55元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．

（1）图①，若将纸片ACB一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使，求AE的长；
（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长．
【答案】（1）
（2）①菱形，见解析，②
【解析】
【分析】（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，AEF≌DEF，则，则易得，再证明RtAEF∽RtABC，然后根据相似三角形的性质得到，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；
（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；
②连接AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4-x，先证明CME∽CBA得到，解出x后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；
【小问1详解】
解：∵ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，，
∴，
∵，
∴，
在RtABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵∠EAF=∠BAC，
∴RtAEF∽RtABC，
∴，即，
∴AE=；
【小问2详解】
①四边形AEMF为菱形．理由如下：
如图②，∵ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点M处，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF为菱形；
②连接AM交EF于点O，如图②，
设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，
∵四边形AEMF为菱形，
∴，
∴CME∽CBA，
∴，即，
解得x=，CM=，
在RtACM中，AM=
∵=EF•AM=AE•CM，
∴EF=2×=

【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定，以及相似三角形的判定与性质等知识：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．
22. （1）问题发现
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，=1，点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接 CD．
（1）①求的值；②求∠ACD的度数．
（2）拓展探究
如图 2，在Rt△ABC中，∠A=90°，=k．点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD，请判断∠ACD与∠B 的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图 3，在△ABC中，∠B=45°，AB=4，BC=12，P 是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，连接CD．若 PA=5，请直接写出CD的长．

【答案】（1）1，45°；（2）∠ACD=∠B， =k；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件推出△ABP≌△ACD，根据全等三角形的性质得到PB=CD，∠ACD=∠B=45°，于是得到
根据已知条件得到△ABC∽△APD，由相似三角形的性质得到，得到 ABP∽△CAD，根据相似三角形的性质得到结论；
过A作AH⊥BC 于 H，得到△ABH 是等腰直角三角形，求得 AH=BH=4， 根据勾股定理得到根据相似三角形的性质得到 ，推出△ABP∽△CAD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）∵∠A=90°，

∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°，
∴AP=AD，
∴∠BAP=∠CAD，
在△ABP 与△ACD 中，
AB=AC, ∠BAP=∠CAD，AP=AD,
∴△ABP≌△ACD，
∴PB=CD，∠ACD=∠B=45°，
∴=1，
（2）
∵∠BAC=∠PAD=90°，∠B=∠APD，
∴△ABC∽△APD，

∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°，
∴∠BAP=∠CAD，
∴△ABP∽△CAD，
∴∠ACD=∠B，

（3）过 A 作 AH⊥BC 于 H，

∵∠B=45°，
∴△ABH 是等腰直角三角形，
∵
∴AH=BH=4，
∵BC=12，
∴CH=8，
∴
∴PH==3，
∴PB=1，
∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD，
∴△ABC∽△APD，
∴,
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，
∴∠BAP=∠CAD，
∴△ABP∽△CAD，
∴即
∴
过 A 作 AH⊥BC 于 H，

∵∠B=45°，
∴△ABH 是等腰直角三角形，
∵
∴AH=BH=4，
∵BC=12，
∴CH=8，
∴
∴PH==3，
∴PB=7，
∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD，
∴△ABC∽△APD，
∴，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，
∴∠BAP=∠CAD，
∴△ABP∽△CAD，
∴即
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定
和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．