中考数学二轮复习数学模型-----相似三角形模型含解析答案 试卷

数学模型-----相似三角形模型学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，经过的重心，点是的中点，过点作交于点，若，则线段的长为（　　）A．6 B．4 C．5 D．32．如图，在中，，，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．3．如图，在中，D、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（   ）A． B． C． D．4．如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为（　　）A． B． C． D．5．如图，点D是△ABC的边BC的中点，且∠CAD＝∠B，若△ABC的周长为10，则△ACD的周长是（　　）A．5 B．5 C． D．6．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ．7．已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．（1）证明：∽（2）求证：；8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果，求的值．9．如图， 相交于点，连结．(1)求证: ；(2)直接回答与是不是位似图形?(3)若，求的长．10．在△ABC中，，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．  （1）如图1，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，过点A作，交BE的延长线于点F，易得的值为 ；（2）如图2，在△ABC中，，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，，求的值；（3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ．11．如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．（1）当点在上时，求点与点的最短距离；（2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长；（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．12．如图，在中，点分别在边上，连接，且．（1）证明：；（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．13．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝6，BD＝4，则DE的长为　 　．14．如图，已知是的直径，切于点，交于点，为的中点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题参考答案：1．D【分析】根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明△AGE∽△ADC，结合点E是AC中点，得到，从而求出GE.【详解】解：∵经过的重心，∴点D是BC中点，∵BC=12，∴CD=BD=6，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，∵点E是AC中点，∴，即，解得：GE=3，故选D.【点睛】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键.2．D【分析】由两直线平行，得到两对同位角相等，证明△ADE∽△ABC，△CEF∽△CAB；由等代换可证明△ADE～△EFC，最后由相似三角形的性质判断四个答案的正误．【详解】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴答案A错舍去；又∵EF∥AB，∴∠CEF=∠A，∠CFE=∠B，∴△CEF∽△CAB，∴答案C错舍去；∵，，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF∵∠ADE=∠B，∠CFE=∠B，∴∠ADE=∠CFE，又∵∠AED=∠C，∴△ADE～△EFC，∴答案B舍去∵△ADE～△EFC，∴答案D正确；故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点，重点掌握三角形相似的判定与性质，易错点学生不会找两个相似三角形对应边的比相等．3．C【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再根据相似三角形的性质即可得到答案.【详解】∵，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，故选C.【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质.4．C【分析】根据相似三角形的判定定理得到，再由相似三角形的性质得到答案.【详解】∵，，∴，∴，即，解得，的面积为，∴的面积为：，故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.5．B【分析】先根据已知证明△ACD∽△BCA，再根据相似三角形的性质得到AC2=CD•CB，设BD=CD=x，得到AC=x，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∴，即AC2=CD•CB，设BD=CD=x，∵点D是△ABC的边BC的中点，∴BC=2x∴AC=x，∴，即;∴△ACD的周长=5，故选B．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．6．-4【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：＝2，然后用待定系数法求解即可．【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D，设点A的坐标是(m，n)，则AC＝n，OC＝m．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA．∴，∵OB＝2OA，∴BD＝2m，OD＝2n，因为点A在反比例函数y＝的图象上，∴mn＝1，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴B点的坐标是(﹣2n，2m)，∴k＝﹣2n•2m＝﹣4mn＝﹣4，故答案为﹣4．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B的坐标(用含n的式子表示)是解题的关键．7．（1）详见解析；（2）详见解析．【分析】（1）利用平行线的性质及对顶角相等即可证明∽；（2）由相似三角形的性质可知，由AD∥BC可知，通过等量代换即可证明结论．【详解】（1）证明：∥∽（2）证明：∵∽∵AD∥BC，∴     又∵CM＝BM，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．8．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，即可证得△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，∴ ，∵，∴，∴ ，∴ ，∴ ．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．解题关键在于注意掌握数形结合思想的应用．9．（1）详见解析；（2）不是；（3）【分析】（1）根据已知条件可知，根据对顶角相等可知，由此可证明；（2）根据位似图形的定义（如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．）（3）由△ADP∽△BCP，可得，而∠APB与∠DPC为对顶角，则可证△APB∽△DPC，从而得，再根据即可求得AP的长．【详解】(1)证明:∵，∴； (2)点A、D、P的对应点依次为点B、C、P，对应点的连线不相交于一点，故与不是位似图形；(3)解:∵∴∵，∴，∴∴．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，位似图形的定义．熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键．10．（1）；（2）；（3）6【分析】（1）易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；（2）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；（3）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据的值求出的值，就可求出BP的值．【详解】解：（1）如图1中，  ∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，∵AF∥BC，∴△APF∽△DPB，∴，故答案是：；（2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴；（3）当CD=2时，BC=4，∵AC=6，∴EC=AE=3，∴EB= ∴EF=BE=5，BF=10．∵，，∴BP=BF=×10=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键．11．（1）；（2）；（3）当时，；当时，；（4）【分析】（1）根据当点在上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得，根据=可得 ，可得，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度==，然后先求出从Q平移到K耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点在上时，PA⊥BC时PA最小，∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，∴PAmin=tanC·=×4=3；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，S上=S△APQ，S下=S四边形BPQC，∵，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，当=时，，∴，AE=·，根据勾股定理可得AB=5，∴，解得MP=；（3）当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，由（2）可知sinC=，∴d=PQ，∵AP=x+2，∴，∴PQ=，∴d==，当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，d=CP·sinC=（11-x）=-x+，综上；（4）AM=2