辽宁省大连市滨城高中2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省大连市滨城高中2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共40页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知直线l经过点和点, 则直线l的斜率为( )
A.-5B.5C.-3D.3
2、已知,分别为直线,的方向向量（,不重合）,,分别为平面,的法向量（,不重合）,则下列说法中不正确的是( )
A.若,B.若,
C.若,D.若,
3、“”是“直线与直线平行的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4、已知直线和以,为端点的线段相交,则实数k的取值范围为( )
A.B.
C.或D.或
5、唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从点处出发,河岸线所在直线方程为,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.B.2C.D.
6、已知圆和两点,,．若圆C上存在点P,使得,则m的最小值为( )
A.7B.6C.5D.4
7、已知正方体棱长为2,P为空间中一点．若（）,则异面直线BP和所成角的取值不可能是( )
A.B.C.D.
8、下列结论正确的是( )
①过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为;
②圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1;
③已知,O为坐标原点,点是圆外一点,且直线m的方程是,则直线m与圆E相交
A.①B.②③C.①②D.②
二、多项选择题
9、已知直线,则（ ）
A.直线l的倾斜角为B.直线l在y轴上的截距为-2
C.直线l的一个法向量为D.直线l的一个方向向量为
10、设椭圆C：的左､右焦点分别为､,上､下顶点分别为､,点P是C上异于､的一点,则下列结论正确的是( )
A.若C的离心率为,则直线与的斜率之积为
B.若,则的面积为
C.若C上存在四个点P使得,则C的离心率的范围是
D. 若恒成立,则C的离心率的范围是
11、过直线上一点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与x,y轴分别交于点M,N,则( )
A.直线OP为线段AB的中垂线B.四边形PAOB面积的最小值为2
C.的最小值为4D.的最小值为
12、如图,已知正方体的棱长为2,点E,F在平面内,若,,则下述结论正确的是( )
A.异面直线与之间的距离为2
B.E到直线BC的最大距离为
C.点F的轨迹是一个圆
D.直线DF与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
13、若方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是______．
14、已知点,且F是椭圆的左焦点,P是椭圆上任意一点,则的最小值是_____________.
15、一个圆与y轴相切,圆心在直线上,且在直线上截得的弦长为,则该圆的方程为___________________.
16、已知直线与直线相交于点P,线段AB是圆的一条动弦,且,则的最大值为__________．
四、解答题
17、分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点,;
（2）长轴长是短轴长的2倍,且过点．
18、如图所示,三棱柱中,,,,,,,N是AB中点．
（1）用,,表示向量;
（2）求的模．
19、阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（且）的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点M到点与点的距离之比为2,记动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）过点作曲线C的切线,求切线方程.
20、如图,三棱柱的所有棱长都是2,平面ABC,D是AC的中点．
（1）证明：平面;
（2）求异面直线与所成角的余弦值;
（3）求点到平面的距离．
21、在中,点,AB边上中线所在的直线方程为,的内角平分线所在的直线方程为.
（1）求点B的坐标;
（2）求的边BC所在直线的方程.
22、如图1,在边长为4菱形ABCD中,,点M,N分别是边BC,CD的中点,,．沿MN将翻折到的位置,连接PA,PB,PD,得到如图2所示的五棱锥．
（1）在翻折过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论;
（2）当四棱锥体积最大时,求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值;
（3）在（2）的条件下,在线段PA上是否存在一点Q,使得平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为？若存在,试确定点Q的位置;若不存在,请说明理由．
参考答案
1、答案：D
解析：直线l的斜率,
故选：D.
2、答案：A
解析：由已知,,分别为直线,的方向向量,,分别为平面,的法向量,
选项A,,故该选项错误;
选项B,,故该选项正确;
选项C,,故该选项正确;
选项D,,故该选项正确.
故选：A.
3、答案：A
解析：当时,,即,解得或4.
当时,直线的方程为,直线的方程为,此时;
当时,直线的方程为,直线的方程为,此时.
因为,因此,“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
4、答案：C
解析：直线恒过定点,且,,
由图可知,或.
故选：C.
5、答案：D
解析：设点A关于直线的对称点,
的中点为,,
故,解得,
要使从点A到军营总路程最短,即为点到军营最短的距离,
“将军饮马”的最短总路程为,
故选：D.
6、答案：D
解析：,点P的轨迹是以AB为直径的圆O,
又点P在圆C上,故点P是圆O与圆C的交点,
因此可得两圆的位置关系是相切或相交,即,
解得：．
m的最小值为4．
故选：D．
7、答案：C
解析：如图所示：以AB,AD,AA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,故,,,
设直线和所成角为,,
,
当时,,故;
当时,设,则,故,
函数,在上单调递减,故,
,.
综上所述：.
故选：C.
8、答案：B
解析：对于①,因直线l过点且在两坐标轴上的截距相等,当l过原点时,l方程为,
当l不过原点时,设方程为,有,解得,则,因此直线l的方程为或,①不正确;
对于②,到直线的距离等于1的点的轨迹是平行于直线l且与l距离为1的两条直线,
设此直线方程为：,则有,解得或,
圆的圆心,半径为2,当时,直线经过圆的圆心,
则直线与圆有两个公共点,当时,点到直线距离为2,
则直线与圆相切,有一个公共点,
因此圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1,②正确;
对于③,因点是圆外一点,则,圆的圆心
到直线的距离为,则直线m与圆E相交,③正确,
所以所给结论正确的是②③.
故选：B.
9、答案：BD
解析：直线：,则,,,故,A错误,
直线l在y轴上的截距为-2,B正确.
,故直线l的一个方向向量为,D正确;
,C错误.
故选：BD.
10、答案：BD
解析：A.设,所以,因为,,
所以,.
所以,所以该选项错误;
B.若,则,
所以则的面积为所以该选项正确;
C.若C上存在四个点P使得,即C上存在四个点P使得的面积为,所以,,,所以该选项错误;
D.若恒成立,所以,
所以,所以该选项正确.
故选：BD.
11、答案：AC
解析：A选项：由题意得,,所以OP为线段AB的中垂线,故A正确;
B选项：,所以当OP最小时四边形PAOB的面积最小,当OP与直线垂直时最小,为,此时,故B错;
C选项：设,则,以OP为直径的圆的方程为,又圆O的方程为,所以直线AB的方程为,令,得,令,得,则,,
,当且仅当时等号成立,故C正确;
D选项：因为直线AB的方程为,且,所以直线AB过定点,所以当时最小,,则,故D错.
故选：AC.
12、答案：ABD
解析：A选项：因为为正方体,所以,平面,又平面,所以,为异面直线与之间的距离,即距离为2,故A正确;
B选项：因为为正方体,所以平面,又平面,
所以,因为,,所以,
点E的轨迹为在平面内以为圆心半径为1的圆上,
所以当点E在中点时,到直线BC的距离最大,为,故B正确;
C选项：因为为正方体,所以,平面ABCD
,又平面ABCD,所以,
因为平面,平面,,所以平面,
因为,D在平面上,所以F也在平面上,
又平面平面,所以F的轨迹为线段,故C错;
D选项：因为,平面,平面,所以平面,
则点F到平面的距离为定值,
设点F到平面的距离为d,直线DF与平面所成角为,所以,
当DF最小时,最大,即F在时,最大,,
因为,即,
所以,,故D正确.
故选：ABD.
13、答案：
解析：由题意得,解得.
故答案为：.
14、答案：3
解析：由椭圆可知,
,
设椭圆的右焦点为,则,如图,
所以,
即当P在的延长线上时,取得最小值.
故答案为：3.
15、答案：或
解析：所求圆的圆心在直线上,
设所求圆的圆心为,
又所求圆与y轴相切,半径,
又所求圆在直线上截得的弦长为,圆心到直线的距离,
,
即,.
故所求圆的方程为或.
故答案为：或.
16、答案：
解析：与,
,过定点,过定点,
∴点P的轨迹方程为圆,
作,,
所以点D的轨迹为,
则,
因为圆P和圆D的圆心距为,
所以两圆外离,所以最大值为,
所以的最大值为
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）或
解析：（1）①当焦点在x轴时,设椭圆方程为,
则,解得,所以此时椭圆方程为;
②当焦点在y轴时,设椭圆方程为,则,解得,不符合要求;
所以椭圆方程为.
（2）①当焦点在x轴时,设椭圆方程为,则,解得,所以此时椭圆方程为;
②当焦点在y轴时,设椭圆方程为,则,解得,所以此时椭圆方程为,
所以椭圆方程为或.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）
.
（2）由（1）可得：
.
19、答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）设动点M的坐标为,则,,
由题意得,化简得,
因此,动点M的轨迹方程为;
（2）当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为,
圆心到直线的距离等于2,此时直线与曲线C相切;
当过点P的直线斜率存在时,不妨设斜率为k,
则切线方程,即,
由圆心到直线的距离等于半径可知,,解得.
所以,切线方程为.
综上所述,切线方程为或.
20、答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）.
解析：（1）平面ABC,平面ABC,故,
是等边三角形,D是AC中点,故,
,AC,面,故平面.
（2）如图所示：F是AB中点,连接DF,,则,,故.
异面直线与所成角为,
在中,,,,
根据余弦定理：,
故异面直线与所成角的余弦值为.
（3）过点D作于H,平面ABC,平面ABC,故,
,,面,故平面,.
,
,故,
解得.
21、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设点,则,解得,点.
（2）设点关于对称的点,
则的中点坐标为,,
于是,
则,由（1）,所以,
所以直线BC的方程为：,即.
22、答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）存在,点Q在线段PA上靠近点P的三等分点处.
解析：（1）四边形ABCD为菱形, ,
点M,N分别是边BC,CD的中点,
,,,即,
,平面PAG,平面PAG,
平面PAG,
, 平面PAG,
平面PBD,平面平面PAG.
（2）由题意知,当平面平面MNDB时,四棱锥的体积最大,
平面平面MNDB,,平面平面,
平面PMN.
平面MNDB,为直线PB和平面MNDB所成角,
菱形ABCD的边长为4,,
,,
,.
（3）如图,以G为原点,分别以GA,GM,GP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
,,,,,,,
设,则,
设平面QDN的法向量为,
,
令,则,,
,
平面平面MNDB,,平面平面,
平面PMN,则可以作为平面PMN的一个法向量,
,解得,
所以存在点Q使平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为,点Q在线段PA上靠近点P的三等分点的位置上.