2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期期中考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得集合，结合图象求得正确结论.【详解】，所以，图象表示集合为，，.故选：B2．设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数的运算及指数函数的单调性即可求解.【详解】由题意可知，，，，又函数在上是单调递增函数，因为，所以，故，故选:C．3．已知函数的定义域，则函数的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出的定义域，再求使有意义的自变量范围即可．【详解】因为函数的定义域，所以，即定义域为，由题意，解得且．所以定义域为．故选：C．4．我们知道比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为，声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为（，为常数）．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用题意得到，解出的值，代回得到，通过单调性可以得到最大值【详解】由题意可知，解得，，所以，易得当越大时，越大，所以当时，达到安静环境要求下的取得最大值．故选：B．5．已知是定义域为的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求在上的解析式，再分段可求的解集.【详解】设，则，故，而，又，故，又等价于或或，故或，故选：B.6．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性求解.【详解】函数的图象，如图所示：由图象知：函数在R上单调递增，所以转化为，解得 ，故选；B7．已知函数，．若，，使得，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，函数的值域是函数的值域的子集，利用单调性求出函数与函数的值域即可求解.【详解】解：因为函数在上单调递减，所以，又函数在上单调递增，所以，因为，，使得，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：B.8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合指数函数性质求得的值域，然后再根据新定义求的值域．【详解】，显然，，所以的值域是，当时，，时，，当时，所以所求值域是．故选：C． 二、多选题9．以下结论正确的是（    ）A．函数的最小值是2 B．若a，且，则C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0【答案】BD【分析】由基本不等式知识对选项逐一判断【详解】对于A，当时，，故A错误，对于B，由基本不等式知当，则，故B正确，对于C，令，方程无解，则等号不成立，故C错误，对于D，当时，，当时等号成立，故函数的最大值为0，故D正确，故选：BD10．下列说法正确的有（    ）A．命题“”的否定是"”B．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是C．设，则“”的充要条件是“都不为1”D．已知，，则的最小值为【答案】ACD【分析】根据命题的否定即可判断A，根据恒成立转化成最值问题即可判断B,根据充要条件的判断即可求解C,根据基本不等式即可求解D.【详解】命题“”的否定是"”,故A对，，则，故B错误，，故C对，，当且仅当时等号成立故选：ACD11．若，则下列关系正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】先由变形为，构造函数，利用其单调性，得到x，y的大小关系，再逐项判断.【详解】由得，令，则，因为在R上都是增函数，所以在R上是增，所以，故A正确；当时， ，故B错误；当时，，当 时，不成立，故C错误；因为在R上递减，且，所以，即，故正确；故选：AD12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．的定义域为B．当函数的图象关于点成中心对称时，C．当时，在上单调递减D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为0【答案】ACD【分析】对A：由即可判断；对B：由，可得的图象关于点成中心对称，从而即可判断；对C：，且，即可判断；对D：由函数和图象关于对称，则与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，从而即可求解判断.【详解】解：对A：要使函数有意义，则，即，∴的定义域为，所以选项A正确；对B：∵，∴的图象关于点成中心对称，∴当函数的图象关于点成中心对称时，，所以选项B不正确；对C：由选项B知，当时，，∴在单调递减，所以选项C正确；对D：∵，，∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称，∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，，所以选项D正确.故选：ACD. 三、填空题13．不等式的解集是___________.【答案】【分析】由题设可得求解集即可.【详解】由题设，则，解得，所以解集为.故答案为：14．已知函数，记函数（其中）的4个零点分别为，，，，且，则的值为___________.【答案】8【分析】将函数的零点转化为与图象交点的横坐标，然后根据二次函数的对称性得到，结合的解析式和图象可得，，然后求即可.【详解】函数的零点可以看做与图象交点的横坐标，和的图象如上图所示，根据二次函数的对称性得到，由图可知，，，则，所以.故答案为：8.15．已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________.【答案】或【分析】将复合函数看做，，然后分和两种情况讨论内外函数的单调性，根据单调性列不等式求解即可.【详解】复合函数可以看做，，当时，外函数单调递增，所以内函数在上单调递减，则，解得；当时，外函数单调递减，所以内函数在上单调递增，则，解得；综上所述，或.故答案为：或.16．若对任意的均有成立，则称函数为函数和函数在区间D上的“N函数”.已知函数，，，且是和在区间上的“N函数”，则实数k的取值范围是___________.【答案】【分析】根据题意得到且，即且，然后通过求和即可得到的取值范围.【详解】根据题意得，当时，，，即①，②，①式可整理为，则；②式可整理为，则，而，当且仅当，即时等号成立，所以，综上所述，.故答案为：. 四、解答题17．已知函数.(1)若函数为奇函数，求实数m的值.(2)当时，求的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由奇函数求参数m，并验证.（2）由（1）易知为奇函数，结合即可求结果.【详解】（1）由定义域为R且为奇函数，则，可得，所以，则满足，所以.（2）当时，令，则，由（1）知为奇函数，则，所以.18．已知集合，集合.(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)或；(2). 【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，应用集合的交、补运算求集合.（2）由充分不必要关系知，讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围.【详解】（1）当时，，则或，所以或.（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合A真包含于集合B.当时，得：；当时，设，则需，解得.综上，.19．设函数，其中a为常数．(1)若对任意，，当时，，求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，求在区间[1，3]上的最小值，并求的最小值．【答案】(1)(2)，的最小值为－36. 【分析】(1)结合已知条件可知在定义域上为增函数，然后结合一元二次函数和一次函数的性质即可求解；(2)结合(1)的结论，对参数分类讨论并结合一元二次函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为的对称轴为，且开口向上，由题意可知，函数在定义域上为增函数，则实数a应满足，解得，故实数a的取值范围为.（2），其图像的对称轴为直线，且开口向下，由(1)得，①当，即时，，因为在上单调递减，此时；②当，即时，在上单调递减，此时，综上所述，，且的最小值为－36．20．在治疗新型冠状病毒引起的肺炎的过程中，需要某医药公司生产的某种药物，此药物的年固定成本为250万元，每生产x千件需投入成本.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每件药品售价为0.05万元.在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？该公司决定将此药品所获利润的1%用来购买防疫物资捐赠给医疗机构，当这一药品的生产中所获年利润最大时，可购买多少万元的防疫物资？【答案】(1)(2)（千件）时生产中所获利润最大，此时可购买10万元抗疫物资. 【分析】（1）讨论、分别求得对应解析式，再写出的分段函数形式即可；（2）应用二次函数、分式型函数的性质分别求在不同分段上的最大值，比较大小，即可知利润最大时所购买的防疫物资费用.【详解】（1）当时，；当时，，因此（2）当时，，故，当时，，当，即时所获利润取到最大值.因此当（千件）时生产中所获利润最大，此时可购买万元抗疫物资.21．已知函数对一切实数都有成立，且，.（1）求的值和的解析式；（2）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先令，，可解得，然后在中，令则可得到的解析式；（2）先将的表达式化至最简得，然后利用换元法，将问题转化为二次方程根的分布问题求解.【详解】解：（1）令，得，∵，∴，令得，即.（2）由题意可知，所以，即所以方程可化为：，其中，即，令，则方程化为，∵方程有三个不同的实数解，∴由的图象知，有两个根和，且或记，则，此时，或，此时无解，综上实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查函数与方程思想的运用、数形结合思想的运用，难度较大.一般地，对于已知方程的根的个数求参数的取值范围问题，解答通法如下：（1）分析函数的图象及性质；（2）换元，令，则，然后根据原方程的个数结合的图象分析方程的根的分布情况；（3）利用二次方程根的分布问题求解参数的取值范围.22．定义在上的函数，如果满足；对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（Ⅱ）若是上的有界函数，且的上界为3，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，求函数在上的上界的取值范围.【答案】（Ⅰ）（3，+∞），不是有界函数．（Ⅱ）﹣5≤a≤1；（Ⅲ）当时，T的取值范围是；当时，T的取值范围是[，）【分析】（Ⅰ）当a＝1时，易知f（x）在（0，+∞）上递增，有f（x）＞f（0）＝3，再由给出的定义判断；（Ⅱ）根据函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，得到|1+2x+4x|≤3，换元以后得到关于t的不等式，根据二次函数的性质写出对称轴，求出a的范围．（Ⅲ）据题意先研究函数g（x）在[0，1]上的单调性，确定函数g（x）的范围，即分别求的最大值和最小值，根据上界的定义，T不小于最大值，从而解决．．【详解】（Ⅰ）当a＝1时，因为f（x）在（0，+∞）上递增，所以f（x）＞f（0）＝3，即f（x）在（0，+∞）的值域为（3，+∞）故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立所以函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数． （Ⅱ）由已知函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，即：|1+a2x+4x|≤3设t＝2x，所以t∈（0，1），不等式化为|1+at+t2|≤3当0时，1且2+a≤3得﹣2≤a＜0当或即a≤﹣2或a≥0时，得﹣5≤a≤﹣2或0≤a≤1综上有﹣5≤a≤1（Ⅲ），∵m＞0，x∈[0，1]∴g（x）在[0，1]上递减，∴g（1）≤g（x）≤g（0）即①当，即时，， 此时， ②当，即时，，此时，综上所述，当时，T的取值范围是；当时，T的取值范围是[，）【点睛】本题考查函数的综合问题，关键是利用条件中新定义的有界函数的意义来解题，主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为已有的知识和方法去解决，体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，属于较难题型．