2023届辽宁省大连市滨城联盟高三上学期期中考试数学试题（解析版）

2023届辽宁省大连市滨城联盟高三上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知，是虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ）

A．0 B．1或-1 C． D．1

【答案】D

【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解.

【详解】为纯虚数，

，即.

故选：.

【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础的计算题.

2．已知集合，， ，则C中元素的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据题意写出集合C的元素，可得答案.

【详解】由题意，当时， ，当，时， ，

当，时， ，

即C中有三个元素，

故选：C

3．“”是“直线与平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】利用定义法，分充分性和必要性分别判断.

【详解】充分性：当时，直线与即为：与，所以两直线平行.故充分性满足；

必要性：直线与平行，则有：，解得：或.

当时，直线与即为：与，所以两直线平行，不重合；

当时，直线与即为：与，所以两直线平行，不重合；

所以或.

故必要性不满足.

故“”是“直线与平行”的充分不必要条件.

故选：A

4．已知函数若，则m的值为（    ）

A． B．2 C．9 D．2或9

【答案】C

【分析】由题可得或，即求.

【详解】∵函数，，

∴或，

解得.

故选：C.

5．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称

C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增

【答案】D

【分析】根据平移变换和伸缩变换求出函数的解析式，再利用函数的性质，即可得到答案；

【详解】函数的图象向右平移个单位长度可得：

，

再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得，

对A，的最小正周期为，故A错误；

对B，所以不是函数的对称轴，故B错误；

对C，因为，所以，所函数是先减再增，故C错误；

对D，因为，所以，所以在区间上单调递增，故D正确；

故选：D.

【点睛】本题考查函数的变换和性质，注意平移变换和伸缩变换是针对自变量而言的。

6．济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，表示出，由求出，再进一步求出，即可求出答案.

【详解】过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，

在中，，所以，，

所以在直角三角形中，，所以，所以，而，

所以，所以.

故选：A.

7．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题可得为的中点，建立坐标系利用坐标法即得.

【详解】∵D在线段BC上，且，

∴，又为线段AD上一点，若与的面积相等，

∴，为的中点，

如图建立平面直角坐标系，则，

∴，

∴.

故选：D.

8．已知数列，，，，，，，，，，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为，则满足且的n的最小值为（    ）

A．47 B．48 C．57 D．58

【答案】C

【分析】将数列的项分组，设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上，由此列式，求得，结合，即可求得答案.

【详解】将数列分组为（），（，），（，，），（，，，），…，

设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上，

则 ，

此时数列共有项数为 ，

即得，解得 由于 ，

而，故 ，

又,故符合条件的m,的最小值为11，

则满足且的n的最小值为 ，

故选：C

【点睛】本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律特点，分组，从而列出相应的等式或不等式关系，这是解题的关键所在.

二、多选题

9．设m，n是两条不同的直线，是平面，m，n不在内，下列结论中正确的是（    ）．

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】ABC

【分析】根据线线平行与垂直、线面平行与垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，由于，所以存在直线且，

由于，所以，所以，所以A选项正确.

B选项，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以B选项正确.

C选项，若， ，则存在，，由于，所以，所以C选项正确.

D选项，若，，则可能与平行，D选项错误.

故选：ABC

10．下列不等关系中一定成立的是（    ）

A． B．

C．， D．，

【答案】ABC

【分析】A.利用对数函数的单调性判断；B.利用指数函数和幂函数的单调性判断； C.利用作差法判断；D.取特殊值判断.

【详解】A. 因为，所以，故正确

 B.因为在上递增，则，因为在上递减，则，所以 ，故正确；

C. 因为，所以，，故正确；

D. 当时， ，故错误；

故选：ABC

11．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为4 B．  

C．△NAB面积的最小值为6 D．若直线AB的斜率为，则

【答案】ABD

【分析】设直线AB方程为 , ，根据弦长公式表示出，可判断A;求出点N的坐标，根据斜率之间的关系，可判断B;表示出点点N到直线AB的距离，继而求得，可判断C; 直线AB的斜率为，结合可求得，即可判断D.

【详解】由题意知 ,设直线AB方程为 , ，

联立 ，可得 ， ，

故，

则，

故当 时，的最小值为4，故A正确；

又 ，即M点纵坐标为2m,故 ，

当时，轴，NF在x轴上，此时 ;

当时, ， ，故，

综合可知，,故B正确；

又点N到直线AB的距离为 ，

故 ，当 时，取最小值4，故C错误；

若直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即 ，

则，

由于A在第一象限，故解得 ，

故 ，由于同向，故，故D正确，

故选：ABD

12．在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为线段，CD，CB上的动点（E，F，G均不与点C重合），则下列说法正确的是（    ）

A．存在点E，F，G，使得平面EFG

B．存在点E，F，G，使得

C．当平面EFG时，三棱锥与C-EFG体积之和的最大值为

D．记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为，，，则

【答案】ACD

【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，对于A，当时，易证得，则要使平面EFG，只需即可，利用向量法即可得出结论；对于B，要使，只需要即可，判断和是否相等，即可；对于C，根据平面EFG，可得的关系，由，只要求出的最大值即可；对于D，利用等体积法求出到平面的距离，分别求出，即可判断.

【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，

对于A，因为平面，平面，

所以，

又因，

所以平面，

又平面，所以，

当时，，此时，

要使平面EFG，只需即可，

，

则，

则，即，

当时，，

故存在点E，F，G，使得平面EFG，故A正确；

对于B，，

则，

要使，

只需要即可，

，

，

，

则，

故，

因为，所以，

所以，

所以不存在点E，F，G，使得，故B错误；

对于C，因为平面EFG，

所以，

，

则，

则，所以，

要使最大，则，此时，

所以体积之和的最大值为，故C正确；

对于D，由B，，

则，

因为，

所以到平面的距离满足，

所以，

所以，

，

，

所以，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知，则__________．

【答案】

【分析】利用诱导公式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】

.

故答案为：

14．已知，分别为双曲线的左､右焦点，点P在双曲线上，若，，则双曲线的离心率为___________.

【答案】

【分析】不妨假设点P在双曲线右支上，可根据双曲线定义结合条件求得，再结合，即可求得答案.

【详解】不妨假设点P在双曲线右支上，则 ，

由于，，故，

故，

而 ，

故 ，

故答案为：

15．已知有序数对，满足，有序数对满足，定义，则D的最小值为__________．

【答案】##

【分析】根据题意，得到和，令和，因为为一次函数，故利用切线的性质，当时，可以求出对应的，根据点到直线的距离公式，进而得到D的最小值

【详解】对于有序数对，整理得，令，则

对于有序数对，整理得，令，则，

根据切线的性质，当取最小值时，必有，令，得到，代入，得，

故点到直线的距离设为，即的最小值为，

则所求的的最小值为

故答案为：

16．在高为2的直三棱柱中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为___________.

【答案】##

【分析】先求出内切球的半径，时，即 ，底面△ABC周长的最小，代入即可求出答案.

【详解】因为直三棱柱的高为2，设内切球的半径为，所以，所以，

又因为AB⊥AC，所以设，所以.，因为，所以 △ABC周长的最小值即为面积的最小值，而，当且仅当 “”时取等.

当时，底面△ABC周长最小，所以，所以

，所以此时

△ABC周长的最小值：.

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，设数列的前n项和，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明.

【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，

又因为数列的公比为2，所以，

即，解得，所以．

（2）由（1）知，则，

所以，    ①

，    ②

①②得

．

所以．

又因为，

所以是递增数列，所以，所以．

18．在①，②，③．

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，且．

(1)求角C的值；

(2)求a的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选择条件①，则利用正弦定理化简已知条件，从而求得.选择条件②，则利用余弦定理化简已知条件，从而求得.选择条件③，则利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，从而求得.

（2）利用三角形的面积公式求得，结合正弦定理，用表示出并求得的取值范围，进而求得的取值范围.

【详解】（1）选择条件①．

∵，

∴由正弦定理，得．

∵，∴，

∴，∴，

即，∴．

∵，∴，∴．

选择条件②．

由，得，

∴．

则由余弦定理，得．

∵，∴．

选择条件③．

∵，∴，

结合，得．

由正弦定理，得，即．

则由余弦定理，得．

∵，∴．

（2）∵，∴．

∵为锐角三角形，且，

∴，∴．

又，∴，∴．

由正弦定理，得，

∴，

∴，∴，即a的取值范围为．

19．在底面为正三角形的三棱柱中，平面ABC⊥平面，，.

(1)证明：；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）求出，利用勾股定理证明，再根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；

（2）以为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.

【详解】（1）证明：因为，，

所以，则，

所以，即，

因为平面ABC∥平面，平面ABC⊥平面，

所以平面平面，

因为平面平面，

所以平面，又平面，

所以；

（2）解：如图，以为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则，即，取x=1，则，

又因为x轴⊥平面ABC，所以取平面ABC的法向量，

所以，

由图可知，二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

20．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠（其余为绿洲），从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的 被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里．

（1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；

（2）判断是否是等比数列，并说明理由；

（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？

【答案】(1)    (2) 是等比数列，理由见解析.    (3) 至少经过6年，绿洲面积可超过60%．

【解析】（1）由题意得化简可得答案；

（2）由（1）得，整理得，从而得是等比数列.

（3）由（2）得，整理并在两边取常用对数可求得从而得出结论．

【详解】（1）由题意得，

所以；

（2）由（1）得，∴，

所以是等比数列.

（3）由（2）有，又，所以，

∴，即；

，即，两边取常用对数得：

，所以，

∴．

∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．

【点睛】思路点睛：解决数列应用题时，常用的解题思路是审题——建模——研究模型——返回实际．研究模型时需注意：(1) 量(多个量) ；(2) 量间的关系(规律)：等差、等比规律；递推关系；其它规律——由特殊到一般——归纳总结；(3) 与通项公式有关或与前n项和有关等．

21．已知椭圆C的焦点坐标为和，且椭圆经过点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若，椭圆C上四点M，N，P，Q满足，，求直线MN的斜率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得到c=1，再将点代入椭圆方程求解；

（2）设，，，，，由得到，根据，都在椭圆上，得到，同理得，两式相减求解.

【详解】（1）解：由题意可知，c=1，

设椭圆方程为，将点代入椭圆方程，

得，

解得（舍），，

所以椭圆方程为.

（2）设，，，，，

因为，所以，即，

又，都在椭圆上，

所以，，

即，

②-①得，

即……③，

又，同理得……④

④-③得，

所以.

22．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，方程有两个实根，求实数m的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再分，判断导数的正负，从而可得函数的单调区间；

（2）方程有两个实根，转化为函数有两个零点，而，令，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且，所以只需函数有两个零点，令，得，令，然后利用导数求出函数的单调区间和极值，画出函数图像，结合图像求解即可

【详解】解：（1）由题意知函数的定义域为，

因为，

所以．            

①当时，在区间上恒成立，

所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间．      

②当时，

令，得，

令，得，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．      

（2）方程有两个实根，即关于x的方程有两个实根，

即函数有两个零点．

又，      

令，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且，

所以只需函数有两个零点．      

令，得，

令，则，            

易知当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以当时，取得最大值．      

又因为当时，，当时，，

，则函数的图象如图所示，

所以当，即时，函数有两个零点．

所以实数m的取值范围为

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是方程有两个实根，转化为函数有两个零点，结合（1）转化为函数有两个零点，再利用导数求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题