辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高三上学期期中（Ⅰ）考试数学试题

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滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中1考试

数学

命题人：大连市第二十三中学    马晓晶        校对人：大连市第二十三中学    刘金秋

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设命题，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为 （    ）

A． B． C．（0，2） D．

3．若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限  C．第三象限 D．第四象限

4．已知幂函数在上是减函数，则的值为（    ）

A．3 B．1 C．-3 D．-1

5．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ）

A．9 B．8 C． D．

6．已知中，，，，在线段BD上取点E，使得，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．设函数（且）满足以下条件：

①，满足；②，使得；且，则关于x的不等式的最小正整数解为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列结论正确的是（    ）

A．若a，b为正实数，，则

B．若a，b，m为正实数，，则

C．若，则“”是“”的充分不必要条件

D．不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是

10．已知向量，满足，，且，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知为R上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（    ）

A．为奇函数

B．若的一个零点为，且，则

C．在区间的零点个数为3个

D．若大于1的零点从小到大依次为，，…，则

12．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（    ）

A．的图象关于（0，1）对称

B．

C．在上的最大值是10

D．不等式的解集为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，则______．

14．已知，，，若，则______

15．函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围是______．

16．牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，以点为切点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；以点为切点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值，以点为切点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，设的零点为r，取，则r的2次近似值为______：设，数列的前n项积为．若任意的，恒成立，则整数的最小值为______．

四、解答题：本大题共6小题，共10分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）设是公差不为0的等差数列的前n项和，已知与的等比中项为，且与 的等差中项为．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

18．（12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知．

（1）求角A的大小；

（2）给出以下三个条件：①，；②；③．若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件，并说明理由，再回答下面问题：

（i）求的值；

（ii）的角平分线交BC于点D，求AD的长．

19．（12分)已知数列中，，设为前n项和，．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

20．（12分）已知函数（且）的两个相邻的对称中心的距离为．

（1）求在R上的单调递增区间；

（2）将图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数，若，，求的值．

21．（12分）已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．

22．（12分）已知函数．

（1）若直线与的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值；

（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明：．

滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中1考试

数学答案

一、单选题

1．A   2．C   3．C   4．B   5．B   6．D   7．A   8．B

9．ACD    10．ABC    11．ABD    12．ACD

三、填空题

13． 14． 15．

16． 2（第一空2分，第二空3分）

四、解答题

17．（1）设数列的公差为．

由题意，得，

即，解得，

所以数列的通项公式为．

（2），

所以

．

18．（1）解：因为，若，则，

不满足，所以，，

∵，∴．

（2）解：由及①，由余弦定理可得，即，

∵，解得；

由及②，由余弦定理可得，

由可得，可得；

由及③，由三角形的面积公式可得，可得．

经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故，．

（1）将，代入②可得，可得．

在中，由正弦定理，

故．

（2）因为，即，

所以，．

19．（1）因为，

当时，，即；当时，，即，

当时，，所以，

化简得：，

当时，，即，

当时都满足上式，所以．

（2）因为，所以，

，

两式相减得，

，

即，．

20．（1）

，

由题意知，的最小正周期为，所以，解得，

∴，

令，，解得，

所以在R上的单调递增区间为

（2），，得，

∵，∴，

∴，

∴

21．（1）的定义域为，

求导得：，

若时，则，此时在单调递增；

若时，则当时，在单调递减，

当时，，在单调递增．

（2）当时，，

由题意在上恒成立，

令，则，

令，则，所以在上递增，

又，，所以在上有唯一零点，

由得，

当时，即，单调递减；时，即，单调递增，所以为在定义域内的最小值．

即．

令，则方程等价于，

又易知单调递增，所以，即

所以，的最小值

所以，即实数的取值范围是

22．已知函数．

（1）若直线与的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数和的值；

（2）若函数在上存在两个极值点，且，证明：．

（1）由题意，切点坐标为，，

所以切线斜率为，所以，

切线为，整理得，所以．

（2）由（1）知．

由函数在上存在两个极值点，，且，知，

则且，

联立得，

即，

设，则，

要证，只需证，只需证，

只需证．

构造函数，则．

故，在上递增，，即，

所以．