广东省中山市2021-2022学年高二上学期期末数学试题（含解析）

这是一份广东省中山市2021-2022学年高二上学期期末数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得，直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，根据倾斜角 SKIPIF 1 < 0 与斜率的关系得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
2. 已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 (i为虚数单位)，则复数z的共轭复数 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的除法运算与共轭复数的定义求解即可
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
3. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. -1B. SKIPIF 1 < 0 C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，得到所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以3为周期的周期数列求解.
【详解】解：因为数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以3为周期的周期数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
4. 过点 SKIPIF 1 < 0 引直线，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】就直线与 SKIPIF 1 < 0 平行或过 SKIPIF 1 < 0 的中点可求直线的方程.
【详解】若过 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 平行，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
若过 SKIPIF 1 < 0 的直线过 SKIPIF 1 < 0 的中点，因为 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5. 已知 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点，过 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 作其准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用抛物线的定义，结合已知条件，求出 SKIPIF 1 < 0 的长，进而求得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】如图所示，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 作其准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ,
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在等腰 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，根据抛物线的定义，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.

6. 将边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形 SKIPIF 1 < 0 (及其内部)绕 SKIPIF 1 < 0 旋转一周形成圆柱，如图， SKIPIF 1 < 0 长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 长为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 的同侧.则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】以O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，利用空间向量法可计算出异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的余弦值，即可得解.
【详解】以O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因此，异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角的大小，考查计算能力，属于中等题.
7. 设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. 243B. 244C. 486D. 488
【答案】C
【解析】
【分析】通过 SKIPIF 1 < 0 ，求出数列的通项公式，代入计算即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，①
所以 SKIPIF 1 < 0 ，②
②-①： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 以首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 的等比数列
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：C.
8. 已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上任意一点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径作圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 (点 SKIPIF 1 < 0 不在椭圆内部)，则 SKIPIF 1 < 0
A. SKIPIF 1 < 0 B. 4C. 3D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积运算可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 ，进一步利用椭圆的定义可转化为 SKIPIF 1 < 0 ，进而得解.
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ,设椭圆的基本量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
故答案为：3.
【点睛】本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的是( )
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 等差数列
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列
C. 若数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列
D. 若数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，C，利用等差数列定义判断即可，对于B，D，通过举反例判断
【详解】解：对于A，由等差数列的定义可知当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，所以A正确；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ，但数列 SKIPIF 1 < 0 不是等比数列，所以B错误；
对于C，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以C正确；
对于D，当等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为零，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不成等比数列，所以D错误，
故选：AC
10. (多选)已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 .则以下几个命题正确的有( )
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 B. 圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恒相交D. 直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得最长弦长时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】
求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断．
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 方程整理得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
在圆方程中令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 轴上弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在圆内，直线与圆一定相交，C正确；
直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得弦最长时，直线过圆心 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．D错．
故选：ABC．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题．(1)直线方程整理为关于参数的方程，然后由恒等式知识可得定点坐标．(2)直线与圆的位置关系的判断，若直线所过定点在圆内，则直线与圆相交，若定点在圆上，则直线与圆相交或相切，定点在圆外，直线与圆的三种位置关系都有可能．(3)直线过圆心时弦长最长，直线所过定点是弦中点时，弦长最短．
11. 已知空间四点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. 点O到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 D. O，A，B，C四点共面
【答案】ABC
【解析】
【分析】
计算数量积判断A，求向量夹角判断B，利用向量垂直判断C，根据空间向量共面定理判断D．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以点O到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，
假设若O，A，B，C四点共面，则 SKIPIF 1 < 0 共面，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D错．
故选：ABC．
12. 过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则( )
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 只有 SKIPIF 1 < 0 条B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 条
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 条D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 条
【答案】ABD
【解析】
【分析】先由双曲线方程得到焦点坐标和渐近线方程，再对直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率进行讨论，利用弦长公式即可判断.
【详解】因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
该双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线，得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，可设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
可设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，
为使 SKIPIF 1 < 0 与双曲线有两个不同的交点，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
A选项，由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 无解，因此若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程只有 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
B选项，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
C选项，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
D选项，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由两个圆的方程相减后可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【详解】因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点
故 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 若数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于___________.
【答案】30
【解析】
【分析】由通项公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而数列项两两结合进行求和.
【详解】解：由题意，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为:30.
【点睛】方法点睛:
求和的常见方法有：等差、等比数列公式法；错位相减法；裂项相消法；并向求和法等.
15. 空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，过点 SKIPIF 1 < 0 且一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且方向向量为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 是两个平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交线，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据题意，结合材料，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解.
【详解】根据材料可知，由平面 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
同理可知， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别为平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的法向量.
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 抛物线的光学性质：平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线反射后经过抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上 SKIPIF 1 < 0 这些性质可以应用在天文望远镜的设计等方面 SKIPIF 1 < 0 卡塞格林式望远镜是由两块反射镜组成的望远镜，如图 SKIPIF 1 < 0 中心截面示意图 SKIPIF 1 < 0 所示 SKIPIF 1 < 0 反射镜中大的称为主镜，小的称为副镜，通常在主镜的中央开孔，成像于主镜后面.主镜是凹抛物面镜 SKIPIF 1 < 0 中心截面是抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，当来自天体平行对称轴的光线投射到主镜上，经过主镜反射，将会汇聚到卡塞格林焦点F处，但光线尚未完全汇聚时，又受到以F为焦点的凸双面镜 SKIPIF 1 < 0 中心截面是双曲线D的一支 SKIPIF 1 < 0 的反射，穿过主镜中心孔后汇聚于另一个焦点 SKIPIF 1 < 0 处 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 的中点为原点， SKIPIF 1 < 0 为x轴，建立平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 单位：米 SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线C的方程为___________凹抛物面镜的口径MN为 SKIPIF 1 < 0 ，凸双面镜的口径ST为 SKIPIF 1 < 0 ，若所有被凹抛物面镜汇聚的光线恰好都能被凸双曲面镜反射，则双曲线D的离心率为___________.
【答案】 ①. SKIPIF 1 < 0 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据抛物线C的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求得其方程；根据 SKIPIF 1 < 0 ，求得M的坐标，由ST= SKIPIF 1 < 0 ，求得S的纵坐标，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，求得其横坐标，再根据双曲线的焦点为F，设双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将S的坐标代入求解.
【详解】因为曲线C的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则抛物线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为ST= SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又双曲线的焦点为F，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入上式，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 过三个点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过原点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于不同的 SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)设圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，列出方程组，求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求得圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，得到以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程，再联立两圆的方程组，求得交点坐标，即可得到点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【小问1详解】
解：设圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 过三个点 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
18. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面四边形 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间平面向量夹角公式
【小问1详解】
如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 .由题意可知，在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由(1)可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两两垂直，故可以 SKIPIF 1 < 0 点为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项之积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)设 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 即得解；
(2)设等比数列 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即得解.
【小问1详解】
解：设 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项之积，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也满足上式，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于A， SKIPIF 1 < 0 两点，过点A作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)根据椭圆的定义，结合题干条件，可求得a、c值，根据a，b，c的关系，可求得b值，即可得答案.
(2)当直线 SKIPIF 1 < 0 不与x轴平行时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将直线与椭圆联立，根据韦达定理，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表达式，化简计算，可得直线BN的方程，即可求得定点；当直线 SKIPIF 1 < 0 平行x轴时，经检验符合题意，即可得证.
【详解】(1)解：由椭圆定义知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)证明：当直线 SKIPIF 1 < 0 不与x轴平行时，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线BN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ③，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ④，
将①､②式代入④式化简得： SKIPIF 1 < 0 ⑤，
⑤代入③化简得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
当直线 SKIPIF 1 < 0 平行x轴时，交点A， SKIPIF 1 < 0 为长轴两个端点，则直线BN为x轴，经过点 SKIPIF 1 < 0 .
综上：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】解题的关键是熟练掌握椭圆的定义、韦达定理的应用等知识，易错点为：设直线 SKIPIF 1 < 0 时，需检验与x轴平行的直线是否满足题意.
21. 容器A内装有6升浓度为20%的酒精水溶液，容器B内装有4升浓度为5%的酒精水溶液，先将A内的酒精水溶液倒1升进入B内，再将B内的酒精水溶液倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的酒精水溶液浓度分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(酒精水溶液浓度=(酒精水溶液中乙醇体积/酒精水溶液总体积)×100%)
(1)请计算 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并判断数列 SKIPIF 1 < 0 是否为等比数列?若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
(2)至少要经过几次操作，A、B两容器中溶液浓度之差小于1%?( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )
(3)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的表达式.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，是， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)至少要操作7次才能达到要求；
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)先根据题意求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求出通项公式；
(2)在第一问的基础上列出不等式，解不等式求出答案；
(3)根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，由累加法求出 SKIPIF 1 < 0 ，并求出 SKIPIF 1 < 0 .
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以至少要操作7次才能达到要求；
【小问3详解】
由(1)知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
22. 如图所示，定点 SKIPIF 1 < 0 到定直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离等于它到定直线 SKIPIF 1 < 0 距离的2倍.设动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是曲线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)请以线段 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，以线段 SKIPIF 1 < 0 上的某一点为坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，建立适当的平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，使得曲线 SKIPIF 1 < 0 经过坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，并求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)请指出(1)中的曲线 SKIPIF 1 < 0 的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.
(3)设(1)中的曲线 SKIPIF 1 < 0 除了经过坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，还与 SKIPIF 1 < 0 轴交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)建系答案见解析， SKIPIF 1 < 0 ；(2)答案见解析；(3)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)根据“定点 SKIPIF 1 < 0 到定直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离等于它到定直线 SKIPIF 1 < 0 距离的2倍”，建立坐标系得到关于P点的坐标 SKIPIF 1 < 0 的关系式，即曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程，原点距点M的距离为1.
(2)根据曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 以及图像的特点，得出曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个性质，范围和对称性.
(3)证明 SKIPIF 1 < 0 ，即是证明 SKIPIF 1 < 0 ，故需联立直线与曲线方程得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .然后得出结果为0，即得到证明.
【详解】解：(1)在线段 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为原点，以线段 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
设动点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意，有
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 .①
(2)①范围： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
②对称性：
曲线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 成轴对称；
曲线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 成轴对称；
曲线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 成中心对称.
范围证明：
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
对称性证明：
在方程①中，把 SKIPIF 1 < 0 换成 SKIPIF 1 < 0 ，方程①不变，
所以，曲线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 成轴对称；
在方程①中，把 SKIPIF 1 < 0 换成 SKIPIF 1 < 0 ，方程①不变，
所以，曲线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 成轴对称；
在方程①中，把 SKIPIF 1 < 0 换成 SKIPIF 1 < 0 ，或把 SKIPIF 1 < 0 换成 SKIPIF 1 < 0 ，方程①不变，
所以，曲线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 成中心对称；
(3)将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (舍).
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(i)若直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴：
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时， SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 .所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
(ii)若直线 SKIPIF 1 < 0 不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴：
设 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入 SKIPIF 1 < 0 ，整理得，
SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故， SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】(1)根据题目信息建立适当坐标系，得到关于点的横纵坐标的等量关系.
(2)利用图形观察特点，得出性质.
(3)将证明垂直的问题转化为证明向量乘积为0的问题，联立方程组，对基本的运算由一定的要求.