广东省中山市中山纪念中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题

这是一份广东省中山市中山纪念中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 90°D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜率和倾斜角的定义，直接可得答案.
【详解】化简得，，明显可见，该直线斜率不存在，倾斜角为90°
故选：C
2. 已知向量，，且与互相平行，则实数k的值为（ ）
A. －2B. 2C. 1D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量平行的坐标表示，列出方程组，求解即可．
【详解】∵向量，，
∴，，
∵与互相平行，
∴，即，解得．
故选：D．
3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. 8B. 12C. 14D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】依据等差数列的性质去求的值
【详解】等差数列的前n项和为，，
则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列
则+()+ ()+ ()=2+4+6+8=20
故选：D
4. 某班有包括甲、乙在内的4名学生到2个农场参加劳动实践活动，且每个学生只能到一个农场，每个农场2名学生.则甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
【详解】解：记四名学生为甲、乙为，，另外2名学生为，，两个农场为，，
则分配方案为：农场，农场；农场，农场；农场，农场；农场，农场；农场，农场；农场，农场，共6种，
甲、乙两名学生被安排在不同农场的分配方案为：农场，农场；农场，农场；农场，农场；农场，农场，共4种，
故甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为.
故选：C.
5. 已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则（ ）
A. 16B. C. 14D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得到，根据等比数列的性质得到，化简，即可求解.
【详解】由，是函数的两个不同零点，
可得，根据等比数列的性质，可得
则
故选：B.
6. 设为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关.若线性相关，则（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】确定，解得答案.
【详解】线性相关，
，
则，不同时为0，解得.
故选：D
7. 双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线方程求得，结合双曲线的定义求得，再结合基本不等式和函数的单调性求得的最小值.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，所以，，
当在双曲线的左支时，，
所以，
当且仅当时等号成立.
当在双曲线的右支时，，
所以（其中），
对于函数，
，
任取，
，
由于，
所以，
所以在上递增，所以.
所以的最小值为.
综上所述，的最小值为.
故选：B
8. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
A. 若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B. 存在Q点，使得平面
C. 当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D. 若，那么Q点的轨迹长度为
【答案】B
【解析】
【分析】取中点，证明平面，得动点轨迹判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由与此法向量平行确定点位置，判断B，利用空间向量法求得到到平面距离的最大值，确定点位置判断C，利用勾股定理确定点轨迹，得轨迹长度判断D．
【详解】选项A，分别取中点，连接，，由与，平行且相等得平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
连接，，，所以，同理平面，
，平面，所以平面平面，
当时，平面，所以平面，即点轨迹是线段，A正确；
选项B，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设（），
，，，
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
若平面，则，所以存在，使得，
，解得，因此正方形内（含边界）不存在点，使得平面，B错；
选项C，面积为定值，当且仅当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，，
到平面的距离为，，
时，，当时，d有最大值1，
时，，时，d有最大值，
综上，时，d取得最大值1，故与重合时，d取得最大值，三棱锥的体积最大，C正确；
选项D，平面，平面，，
所以，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角是，轨迹长度为，D正确．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查空间点的轨迹问题，解题关键是勾画出过且与平面平行的平面，由体积公式，在正方形内的点到平面的距离最大，则三棱锥体积最大．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. （多选）点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】把抛物线，化为标准形式，得 ，故准线方程为：，利用点到直线的距离可得答案.
【详解】抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的准线的距离为2，所以，解得或，
故选AB．
【点晴】焦点在轴的抛物线的标准方程为，准线方程为，计算时一定要找准的值.
10. 等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A. 若，则B. 若，则是中最大的项
C. 若， 则D. 若则.
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据等差数列的前项和性质判断．
【详解】A错：；B对：对称轴为7；
C对：，又，；
D错：，但不能得出是否为负，因此不一定有．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前项和性质，（1）是关于的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2），可由的正负确定与的大小；（3），因此可由的正负确定的正负．
11. 如图，椭圆与椭圆有公共的左顶点和左焦点，且椭圆的右项点为椭圆的中心，设椭圆与椭圆的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为和，则以下结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题中关系可得，，，结合椭圆的几何性质逐项判断即可.
【详解】由题图知，，，所以，则，故B不正确；
且，故D不正确；
因为椭圆与椭圆有公共的左顶点和左焦点，所以，则，故C正确；
因为椭圆的右项点为椭圆的中心，所以，
则，即，故A正确．
故选：AC．
12. 若数列满足，则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用斐波那契数列的递推关系进行累加求和即可判断.
【详解】A选项，，.累加得，，即.又，所以，A正确；
B选项，由A选项可知，故，B不正确；
C选项，，.
累加得，，
所以，C正确；
D选项，由C选项中同理可知，，D不正确.
故选：AC.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13. 在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：
这10名同学数学成绩的分位数是___________.
【答案】146
【解析】
【分析】根据计算分位数的步骤，计算求解即可.
【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列：
140,142,142,143,144,145,147,147,148,150
根据，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；
10名同学数学成绩的分位数为：.
故答案为：146
14. 直线将单位圆分成长度的两段弧,则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线将单位圆分成长度的两段弧，求出劣弧所对圆心角，再根据半径为1，求出圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式求出即可.
【详解】解:由题知分成长度的两段弧，
所以两段弧长所对圆心角之比为，故劣弧所对圆心角为，
记与圆交点为，则，
过点作垂线，垂足，画图如下:
则有，，，,
即圆心到直线的距离为，
，根据点到直线的距离公式有:，解得.
故答案为：.
15. 已知定点到椭圆上的点的距离的最小值为1，则a的值为___________．
【答案】2或4
【解析】
【分析】设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，求出|PA|的解析式，再利用二次函数的性质分析解答得解.
【详解】解：设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，
则，
当时，有.∴当时，，
得 (舍)，
当时，有，
当且仅当x＝3时， ，
故a＝2或a＝4，
综上得a＝2或4.
故答案为：2或4.
16. 圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1: + = 1和双曲线C2: - =1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为 _________ .

【答案】
【解析】
【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.
【详解】椭圆；双曲线，
双曲线和椭圆的焦点重合.
根据双曲线的定义有，
所以①，②，
根据椭圆的定义由，
所以路程
.
故答案为：
四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点满足
（1）求动点的轨迹的方程
（2）若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设，根据动点满足，用两点间距离公式化简求解.
（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得答案.
【小问1详解】
设，则由，
即，
化简得，
所以P点的轨迹方程为．
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，方程为，
圆心到直线l的距离为2，又因为圆的半径为2，所以相切；
当直线l的斜率存在时，设，
即，
由到l的距离，解得，
所以直线方程为，即，
综上，l的方程为或.
18. 如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，分别为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求直线与平面的距离；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）平面得到，，得到线面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算平面的法向量为，平面的一个法向量为，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
（3）假设存在，设，计算，根据平行得到，确定，再利用向量的距离公式计算得到答案.
【小问1详解】
平面，平面，故；
为等边三角形，为中点，故；
，且平面，故平面.
【小问2详解】
取的中点，连接，则，故平面，
平面，故，.
为等边三角形，所以.
以为原点，以、、所在直线分别为、、 轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，则，，
令，得平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为.
.
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【小问3详解】
假设在棱上存在点，使得平面，且设，
则，
，，，，
则，所以，
要使得平面，则，得，
故，
直线与平面的距离为
19. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点到其准线的距离为2，直线过点且与交于两点.
（1）求值及直线的斜率的取值范围；
（2）若，求直线的方程.
【答案】（1），直线的斜率的取值范围为
（2）或.
【解析】
【分析】（1）结合题意，根据抛物线的焦准距得，再设直线的方程为，进而与抛物线联立，结合判别式求解即可；
（2）设，，进而结合韦达定理与焦半径公式得，再解方程即可得答案.
【小问1详解】
解：因为抛物线：的焦点到其准线的距离为2，
所以，解得.
所以抛物线方程为，
因为直线过点且与交于两点，
所以，设直线的斜率为，方程为，
所以，联立得，故方程有两个不等的实数解.
，解得且
所以，直线的斜率的取值范围为
【小问2详解】
解：设，，
由（1）知，
又由焦半径公式得，
所以，，即，解得或.
所以，直线的方程为或.
20. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种主流经济形式．某直播平台对平台内800个直播商家进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图．
（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），并将平均日利润超过300元的商家称为“优秀商家”，所得频率直方图如图所示．
（i）请根据频率直方图计算抽取的商家中“优秀商家”个数，并以此估计该直播平台“优秀商家”的个数；
（ii）若从抽取的“优秀商家”中随机邀请两个商家分享经验，求邀请到的商家来自不同平均日利润组别的概率．
【答案】（1）16家；4家；
（2）（i）6家；120家；（ii）.
【解析】
【分析】（1）由已知，可先计算小吃类、玩具类商家所占的比例，然后按照分层抽样的方法直接计算；
（2）由已知题意和图像可先求解出，然后再直接计算直播平台优秀商家个数；可根据条件，优秀商家中来自300-350元平均日利润组的有4家，来白350-400元平均日利润组的有2家，直接计算邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件的概率.
【小问1详解】
抽取小吃类商家（家），
抽取玩具类商家（家）；
【小问2详解】
由图可得，
（i）该直播平台“优秀商家”个数约为（家）；
（ii）由已知得：抽取的“优秀商家”中来自300-350元平均日利润组的有4家，
来白350-400元平均日利润组的有2家．
设邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件为，则．
21. 已知正项数列的前n项和为，其中．
（1）求的通项公式，并判断是否是等差数列，说明理由；
（2）证明：当时，．
【答案】（1），数列不是等差数列，理由见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由得，当时，，然后两式相减得，即数列从第2项起为等差数列，根据和得到，即可得到，数列不是等差数列，然后求通项即可；
（2）利用裂项相消方法求，即可证明.
【小问1详解】
由得，当时，，两式相减得，整理得，
因为数列为正项数列，所以，则，即，
在中，令，则，
解得或-1（舍去），所以，
所以数列从第2项起为等差数列，公差为2，
所以，数列不是等差数列.
【小问2详解】
当时，，
所以当时，
，
因为，所以，即.
22. 已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆E上，直线与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为．
【解析】
【分析】（1）由椭圆定义知为两圆半径之和，由点差法可得，求出，从而得到椭圆方程；
（2）设直线PQ的方程为，根据中点在直线上求得值，注意检验直线PQ与椭圆有两个交点.
【小问1详解】
因圆与圆相交，且交点在椭圆上，所以，，
设，，的中点，
，①－② ，
，
，
则椭圆E的方程：；
【小问2详解】
假设存在P、Q两点关于l对称，设直线PQ的方程为，
，，PQ中点，
，
，
，，即，
由N在l上，，此时，
故存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为．