四川省广元市重点高中2021-2022学年高二上学期期中考试 数学（理）试题

这是一份四川省广元市重点高中2021-2022学年高二上学期期中考试 数学（理）试题，共8页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案。主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内。
3．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.直线的倾斜角为（ ）
A． B． C．D．
2．已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B．2 C．D．0
4．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )A．2x＋3y＋8＝0 B．3x－2y－6＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋7＝0
已知实数x，y满足，则z =2x -y的最小值是（ ）
A．5 B．0 C． D．-1
在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 ，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．3
已知直线ax＋y+1＝0, x＋ay+1＝0 和 x＋y+a＝0 能构成三角形，则a的取值范围是（ ）
a ≠ - 2 B．a ≠ - 2且a ≠
C．a ≠ D．a ≠ - 2且a ≠ 1
8．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知平面上一点若直线l上存在点P使则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ）
A． B． C． D．
10．过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（ ）
A．1B．2 C．3 D．4
11.如图，已知多面体是正方体，，分别是棱，的中点，点是棱上的动点，过点，，的平面与棱交于点，则以下说法不正确的是（ ）
四边形是平行四边形
四边形是菱形
C．当点从点往点运动时，四边形的面积先增大后减小
D．当点从点往点运动时，三棱锥的体积一直增大
12．设球是棱长为2的正方体的外接球，为的中点，点在球面上运动，且总有则点的轨迹的周长为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是________________;
14.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则________；
15.已知 =(2,-1,2),=(2,2,1),则以,为邻边的平行四边形的面积是_____；
16．点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1（线段BC1）上运动，给出下列五个命题，正确的是________________。
(14题图） （16题图）
①直线AD与直线B1P为异面直线；②A1P∥面ACD1；
③三棱锥A－D1PC的体积为定值；④面PDB1⊥面ACD1．
= 5 \* GB3 ⑤直线与平面所成角的大小不变；
三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.）
17. (本题满分10分)一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：）
（1）求该几何体的体积；
（2）求该几何体的表面积.
18．(本题满分12分)已知△ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).
（1）求BC边上的中线所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程.
19．(本题满分12分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求证：AC⊥EF.
20．(本题满分12分)已知直线方程为，其中.
（1）求直线恒过定点的坐标。当变化时，求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程；
（2）若直线分别与轴､轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程.
21.(本题满分12分)已知四棱锥如图所示,，，，平面平面，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
22.(本题满分12分)如图1，在中，，，别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连结，
（1）求证：平面平面；
（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值；
线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
2021～2022学年度上期半期考试
高二理科数学答案
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.D 2. A 3.B 4.A 5. B 6. C 7. B 8. B 9. C 10. D 11. C 12. A 解:如图，根据题意，该正方体的外接球半径为由题意，取的中点，连接 ，以为原点，建立如下图所示的空间直角坐
，
则， 又平面，平面 点的轨迹为平面与外接球的交线设点到平面距离为，则到过平面距离截面圆的半径点的轨迹周长为 故选：A
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13． 14. 15. 1 16.(2)(3)(4)
三．解答题：(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17（10分）解：（1）由图知该几何体是一个上面是正四棱锥，下面是一个正方体的组合体.且正四棱锥的底面边长为4，四棱锥的高为2，所以体积分
（2）由三视图知，四棱锥的侧面三角形的高.
该几何体表面积为分18．（12分）解：（1）B(1，1)，C(7，3)，BC的中点为M(4，2).
又A(2，4)在BC边上的中线上，所求直线方程为=，即BC边上的中线所在直线的方程为x+y-6=分
（2）B(1，1)，C(7，3)，直线BC的斜率为=. 而BC边上的高所在直线与直BC垂直，BC边上的高所在直线的斜率为-3.又A(2，4)在BC边上的高上，所求直线方程为y-4=-3(x-2)，即BC边上的高所在直线的方程为3x+y-10=分
19.（12分）解：(1)如图所示，连接CD1.∵P、Q分别为AD1、AC的中点．∴PQ∥CD1.而CD1平面DCC1D1，PQ//平面DCC1D1，∴PQ∥平面分
(2)如图，取CD中点H，连接EH，FH.
∵F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH//D1D.而D1D⊥面ABCD，∴FH⊥面ABCD，而AC面ABCD，∴AC⊥FH.又E、H分别为BC、CD的中点，∴EH∥DB.而AC⊥BD，∴AC⊥EH.
因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC⊥平面EFH，
而EF平面EFH，所以AC⊥分
20．（12分）解：（1）直线方程为，
可化为对任意都成立，
所以，解得，所以直线恒过定点分
设定点为当变化时，直线时，
点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，
即，此时直线过点且与垂直，
∴，解得 故直线的方程为分
（2）由于直线经过定点．直线的斜率存在且，
可设直线方程为可得与轴、轴的负半轴交于，两点∴，，解得．
∴
当且仅当时取等号，面积的最小值为4 , 此时直线的方程为：
，即：．分
21.（12分）（1）证明：取中点，连接 ，
，，即又，，四边形为平行四边形，，，分别是，的中点，，
又平面,平面,平面，同理平面,
又平面,,平面平面，
平面，平面．分
（2）解：平面，且，平面，
过点作平面的高，交平面于点，，
，，，
面面且面，面，，
，，
，记点到平面的距离为，，
作，则有且，
，
，，
点到平面的距离为．分
22.（12分）（1）证明：，分别为，中点，//．
，．．，．
又 =， 平面．
又平面，平面 平面．分
解： ，，，，，两两互相垂直．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有，，，，，．则，，，，，．设平面的一个法向量，则有，即，令得，．
所以．设直线与平面所成角为，则．
故直线与平面所成角的正弦值为．分
（3）解：假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为．
设，，则，即 ．，，.易得平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量，则有，即，
令，则．若二面角的余弦值为，
则有，即，
解得，，．又因为，所以．
故线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且分