四川省乐山市十校2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）试题含答案

乐山十校高2023届第三学期半期联考

数学（理）试题

一、 选择题 （本题共计 12 小题  ，每题 5 分 ，共计60分）

1.  直线的倾斜角是（        ）

A.   B.             C. D.

2.  下列说法中正确的是（        ）

A.四边相等的四边形确定一个平面                     B.垂直于同一条直线的两条直线平行

C.直线 mx+2y-m=0过定点（0,1）                     D.梯形可以确定一个平面

3.  长方体中， ，则异面直线与所成角的余弦值为（        ）

A.               B.    C.       D. 

4.  已知直线和互相平行，则（        ）

A.  B.    C.或        D.或

5.  已知，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列说法正确的是(        )

A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则

6.  三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的（    ）

A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心

7.  已知，，是坐标原点，与的夹角为，则的值为        

A.    B.      C.         D.

8. 已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为（    ）

A．1 B． C．2                 D．2  

9.  数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（        ）

A.   B.       C.      D.

10.  公元前世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积V与它的直径D的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值．世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为，，，那么等于(        )

A. B. C. D.

11.  棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为C1D1，BC的中点，现有下列结论：①PQ∥BD1；②PQ∥平面BB1D1D；③PQ⊥平面AB1C；④四面体D1﹣PQB的体积等于.其中正确的是（ ）

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

12.  在正方体中，分别为棱的中点，P是线段上的动点(含端点)，则下列结论正确的个数（    ）

①

②平面

③与平面所成角正切值的最大值为

④当P位于时，三棱锥的外接球体积最小

A     1           B    2              C         3            D          4

第二部分（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.

 13.  已知一个圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为           .

14.  平面直角坐标系中，过点 ，且在且倾斜角α满足，则直线的点斜式方程为                .

15.  有一光线从点射到直线以后，再反射到点，则这条光线的反射光线所在直线的方程为                    .

16.  已知正三棱柱的各棱长都是4，点是棱的中点，动点在侧棱上，且不与点重合，设二面角的大小为，则的最小值为               

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知直线

(1) 求直线关于轴对称的直线的方程，并求与的交点；

(2) 若直线过点P且与直线垂直，求直线的方程.

18. （12分）某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥的高是长方体高的，且底面正方形的边长为．

求的长及该长方体的外接球的体积；

 求正四棱锥的斜高和体积．

19．（12分）如图，四棱锥满足，，底面.

（1）设点为的中点，证明：平面；

（2）设平面与平面的交线为，证明：平面.

20. （12分）已知直线l：（k∈R）．

（1）证明：直线l过定点；

（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

21. （12分）如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA＝PB＝AB，∠ABC＝60°，E为AB的中点．

（Ⅰ）证明：CE⊥PA；

（Ⅱ）若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°,求平面EFC与平面PBC夹角的余弦值．

22．（12分）如图，在四棱锥中，底面是圆内接四边形.，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若点在内运动，且平面，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

十校联考数学参考答案

选择题：1-5 ADDCC  6-10 ACBBD  11-12 CB

填空题：

17.解：(1)由题意，直线l3与直线l1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l1与l3必过x轴上相同点，∴直线l3的方程为2x﹣y+3＝0，...........................3分

由解得∴P（﹣2，﹣1）．.................................................5分

（2）由（1）得直线l3的斜率为2，

∴直线的斜率k=-  且过点P（﹣2，﹣1）...........................................7分

∴直线的方程：  即为....................10分

18、  解：∵   几何体为长方体且，
∴   ，..................................2分
记长方体外接球的半径为，线段就是其外接球直径，
则，
∴    ，.................................................................................................4分
∴   外接球的体积为．.................................................6分

（2）如图，设，交于点，连结，  

∴   为正四棱锥的高，
又长方体的高为，
∴   ，...................................................................................8分
取的中点，连结、，则为正四棱锥的斜高，
在中，，
∴   ，....................................................10分
∵   ，
∴   ，
∴   正四棱锥的斜高为，体积为．....................................................12分

19、解：取的中点，连接，，

则，且因为，且...............2分

所以，且所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以，........................................4分

又因为平面，平面，

所以平面...................................................................6分

（2）底面，

，又，，

，平面..........................8分

由（1）可知，

平面，平面，平面，.....10分

又平面， 且平面平面，，

平面......................................................12分

20. （1）证明：（法1）设直线l过定点（x0,y0）,则Kx0-3y0+2k+3=0对任意k∈恒成立，即k(x0+2)-3y0+3=0恒成立

∴即..............................2分

∴直线恒过定点（-2,1）.....................................3分

21.（Ⅰ）在菱形ABCD中，∵∴△ABC为正三角形，

又∵E为AB的中点  ∴，........................................................................1分

∵平面PAB与平面ABCD垂直，AB为平面PAB与平面ABCD的交线，

∴，.................................................................................................3分

又∵⊂面PAB

∴ ..............................................................................................................5分

（Ⅱ）∵，E为AB的中点，

∴，又∵，

∴，...........................................................................................7分

以E为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴

建立空间直角坐标系如图所示

设，则，，，

∴................................................8分

设，其中，则，∵为平面的法向量，∴，得，

即是的中点，∴ .............................................................................9分

设为平面的法向量，则

令，得，取，..............................................10分

设为平面的法向量，则得出

令，得，取，..........................................................11分

设平面与平面夹角为，则 .............12分

22.（1）连接、，设，连接，

，，，，则，

，即是的角平分线，，............................1分

，，平面，

平面，，

因为，，，所以，，则，

，，所以，，

所以，，即，......................................................2分

，所以，平面，......................................................3分

平面，因此，平面平面；.......................................5分

（2）因为底面是圆内接四边形，则，

故，所以，，

因为，则，则，

分别取、的中点、，连接、、，

，，故为等边三角形，

为的中点，，

在底面中，，，，

平面，平面，平面，

、分别为、的中点，则，

平面，平面，平面，

，所以，平面平面，

若点在线段上，则平面，则平面，

所以点在内的轨迹为线段，......................................................8分

底面，，以点为坐标原点，

、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、，............................................................9分

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，...................................10分

，，

设，其中，

则，

所以，...................................................11分

故当时，取得最大值.

因此，直线与平面所成角的正弦值的最大值为..............................12分