压轴题型06 直线和圆中的隐形圆问题-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用）

这是一份压轴题型06 直线和圆中的隐形圆问题-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用），共36页。试卷主要包含了在中，，已知点等内容，欢迎下载使用。


在考查直线与圆的综合问题时，有些时候题设条件中没有直接给出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来求解，这类问题称为“隐圆”问题隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)1 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)2圆的内接四边形与托勒密定理
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)3 向量隐圆
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)4 米勒圆与最大视角
1.如图32­3所示，已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝eq \r(3)，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的取值范围为________．
图32­3
【答案】[7,13]
【解析】法一：将问题特殊化，所求问题与两圆的具体位置无关，只与其相对位置有关，故问题可转化为圆C1：x2＋y2＝1与C′2：(x－5)2＋y2＝1中相应问题，这样易于解决．如图，当AB⊥x轴，且AB与点P位于较近一侧时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|取得最小值，此时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|min＝2×(5－eq \f(3,2))＝7.同理，求得|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|max＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(3,2)))＝13.所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的取值范围为[7,13]．
法二：设AB的中点为M，由AB＝eq \r(3)，知C1M＝eq \f(1,2)，所以点M的轨迹为以C1为圆心，eq \f(1,2)为半径的圆．
所以|eq \(PM,\s\up6(→))|的取值范围是[eq \f(7,2)，eq \f(13,2)]．由于|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝2|eq \(PM,\s\up6(→))|, 所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的取值范围为[7,13]．
2.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,0)，B(5,0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为_________．
【答案】±eq \r(21)
【解析】设P(x0，y0)，直线PA，PB在y轴上的截距分别为a，b，则ab＝5.直线PA的方程为eq \f(x,－1)＋eq \f(y,a)＝1，代入点P(x0，y0)，得a＝eq \f(y0,1＋x0)，直线PB的方程为eq \f(x,5)＋eq \f(y,b)＝1，代入点P(x0，y0)，得b＝eq \f(5y0,5－x0)，所以ab＝eq \f(y0,1＋x0)·eq \f(5y0,5－x0)＝eq \f(5y\\al(2,0),5＋4x0－x\\al(2,0))＝5，化简得xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－4x0－5＝0，即(x0－2)2＋yeq \\al(2,0)＝9.又点P在圆M上，由题意知两圆相切，所以eq \r(4－22＋m－02)＝5或eq \r(4－22＋m－02)＝1，解得m＝±eq \r(21).
3.如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为_______.
解析：转化为与圆有两个交点，求的取值范围问题，由两圆相交的条件可知：.
已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为
A．1B．C．2D．
解析：由动直线方程得，所以该直线过定点Q（1,3），所以动点M在以PQ为直径的圆上，所以圆的半径为圆心的坐标为，所以点N到圆心的距离为，所以的最大值为. 故选：D.
5.若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，，使得，则的最小值为______.
解析：由题设圆，故圆心，半径为，
所以到的距离，故直线与圆相离，
故圆上点到直线的距离范围为，
圆上任意的点，直线上总存在不同两点、，使，
即以为直径的圆包含圆，至少要保证直线上与圆最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆，所以. 故答案为：10
6.在中，
（1）求；（2）若，求周长的最大值.
解析：（1）由正弦定理可得：，
，.
（2）由余弦定理得：，
即.（当且仅当时取等号），，
解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.
7.已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是__________.
解析：设点的坐标为，点，M为AB的中点，B的坐标为，
，解得，点满足
，即，故点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，点的轨迹方程为：．
8.已知向量满足，且向量的夹角为，则的最大值为_________.
解析：依题夹角为，而向量的夹角为，故由四点共圆结论可知，向量的终点与四点共圆，则的最大值即为圆的直径，由于
则由正弦定理：.
9.已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
解析：在平面内一点，作，，，则，则，
因为，则，故为等腰直角三角形，则，
取的中点，则，
所以，，所以，，
因为，
所以，，则，
所以，.
当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.
故选：B.
10.已知点.点为圆上一个动点，则的最大值为__________.
解析：如图，设D是圆上不同于点P的任意一点，连结DA与圆交于点E，连接
EC，由三角形外角的性质，可知，由圆周角定理：，
因此，当且仅当的外接圆与圆相切于点时，最大.
此时，可设的外接圆圆心，由于此时三点共线且
，而，则，解得：，
于是，由正弦定理，则的最大值为.
11.如图32­2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围是________．
图32­2
【答案】 [eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2)]
【解析】 法一：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，因为AB⊥AC则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(x1－1)(x2－1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，得到：x1x2＋y1y2＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)－2.又xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝4，xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＝4，则xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＋2(x1x2＋yy21)＝2(x1＋x2)＋2(y1＋y2)＋4，即(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝2(x1＋x2)＋2(y1＋y2)＋4.设BC的中点M(x，y)，则(x－eq \f(1,2))2＋(y－eq \f(1,2))2＝eq \f(3,2).又BC2＝4(4－OM2)，OM∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)－\r(2),2)，\f(\r(6)＋\r(2),2)))，则BC∈[eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2)]．
法二： 设BC的中点为M(x，y)，因为OB2＝OM2＋BM2＝OM2＋AM2，有4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2＝eq \f(3,2)，所以点M的轨迹是以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))为圆心，eq \f(\r(6),2)为半径的圆，所以AM的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)－\r(2),2)，\f(\r(6)＋\r(2),2)))，所以BC的取值范围是[eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2)].
12.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆x2＋y2＝4上，且AB＝2eq \r(2)，点P(3,1)，eq \(PO,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PA,\s\up6(→))＋\(PB,\s\up6(→))))＝16，设AB的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为________．
【答案】1，eq \f(1,5)
【解析】设AB的中点为M(x0, y0)，由AB＝2eq \r(2)，知OM＝eq \r(2)，所以点M的轨迹为以O为圆心，eq \r(2)为半径的圆. 因为eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PM,\s\up6(→))＝(2x0－6,2y0－2)，eq \(PO,\s\up6(→))＝(－3，－1)，所以eq \(PO,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))＝－3(2x0－6)－(2y0－2)＝16，即3x0＋y0－2＝0.由题意知，点P是直线3x0＋y0－2＝0与圆xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝2的公共点， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x0＋y0－2＝0,x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＝2)))，解得x0＝1或eq \f(1,5).
13.在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上两个动点，且AB＝2eq \r(11).若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，求实数a的值．
【答案】2或－18
【解析】设AB的中点为M(x0，y0)，由AB＝2eq \r(11)知，CM＝eq \r(5)，即点M的轨迹为以C为圆心，eq \r(5)为半径的圆，所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝5.设点P(x，y)，由eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PM,\s\up6(→))＝2(x0－x，y0－y)＝eq \(OC,\s\up6(→))＝(－4，a)，所以x0＝x－2，y0＝y＋eq \f(a,2)，所以(x－2)2＋(y＋eq \f(a,2))2＝5.由题意知，直线l：y＝2x与圆(x－2)2＋(y＋eq \f(a,2))2＝5只有一个公共点，所以d＝eq \f(|\f(a,2)＋4|,\r(5))＝eq \r(5)，解得a＝2或a＝－18.