压轴题型03 抽象函数问题-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用）

这是一份压轴题型03 抽象函数问题-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用），共36页。试卷主要包含了借鉴函数模型进行类比探究， 赋值法等内容，欢迎下载使用。


抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)1 定义域问题
解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)2求值问题
通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)3值域问题
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)4解析式问题

通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)5单调性与奇偶性问题
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)6周期性与对称性问题
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)7 几类抽象函数解法
求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）
2. 赋值法（令或1，求出或、令或等等）
几种抽象函数模型：
正比例函数：——————————；
幂函数：——————————————，；
注：反比例函数：一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模型写成反比例函数模型。
指数函数：———————————，
对数函数：————————，
三角函数：————————————
余弦函数：———————
一、单选题
1．已知定义在上的函数满足，若一组平行线分别与图象的交点为，，...，,且，其中，则
A．B．C．D．
2．是定义在上的函数，，且对任意，满足，，则
A．2015B．2016C．2017D．2018
3．已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．D．的一个周期为8
4．已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且,则不等式的解集是
A．B．
C．D．
5．已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有6个根，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题(共0分)
6．下列说法中错误的为（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．若，则
C．函数的值域为：
D．已知在上是增函数，则实数的取值范围是
7．若定义在R上的函数满足：
（ⅰ）存在，使得；
（ⅱ）存在，使得；
（ⅲ）任意恒有．
则下列关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．任意恒有B．函数是偶函数
C．函数在区间上是减函数D．函数最大值是1，最小值是-1
8．已知的定义域为，且对任意，有，且当时，，则（ ）
A．B．的图象关于点中心对称
C．在上不单调D．当时，
9．已知定义域为的函数满足：①，；②当时，，则（ ）
A．B．，
C．函数的值域为D．，
10．已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（ ）
A．为奇函数B．是上的增函数
C．D．是周期函数
11．定义在上的函数满足，，若，则（ ）
A．是周期函数B．
C．的图象关于对称D．
12．已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（ ）
A．函数为偶函数B．函数的图像关于点对称
C．D．
三、填空题
13．下列命题中所有正确的序号是__________.
①函数()在R上是增函数；
②函数的定义域是，则函数的定义域为；
③已知，且，则；
④为奇函数.
⑤函数值域为
14．给出下列四个命题：
①函数与函数表示同一个函数；
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；
④若函数的定义域为，则函数的定义域为；
⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根；
其中正确命题的序号是_____________．（填上所有正确命题的序号）
15．已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为,求实数m的取值范围__________.
16．给出下列说法：
①集合，则它的真子集有8个；
②的值域为；
③若函数的定义域为，则函数的定义域为；
④函数的定义在R上的奇函数，当时，，则当时，
⑤设（其中为常数，），若，则；其中正确的是_______（只写序号）．
17．函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为___________.
18．对任意集合，定义，已知集合、，则对任意的，下列命题中真命题的序号是________.（1）若，则；（2）；（3）；（4）（其中符合表示不大于的最大正数）
19．设为，的反函数，则的最大值为_________.
20．定义在上的函数，对任意的都有且当时，，则不等式的解集为__________．
21．已知函数若关于x的方程恰有5个不同的实数解，则实数a的取值范围是_____．
22．已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有个零点，则实数 的取值范围是______________．
双空题
23．设函数是定义在整数集Z上的函数，且满足，，对任意的，都有，则______；______．
解答题
24．已知定义域为R的函数，，若对任意，均有，则称是S关联．
(1)判断函数是否是关联，并说明理由：
(2)若是关联，当时，，解不等式：；
(3)判断“是关联”是“是关联”的什么条件?试证明你的结论．
25．设函数其中P，M是非空数集．记f(P）＝{y|y＝f(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝f(x)，x∈M}．
（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；
（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M；
（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．
26．已知是定义在上的奇函数，且.若对任意的，都有.
（1）用函数单调性的定义证明：在定义域上为增函数；
（2）若，求的取值范围；
（3）若不等式对所有的 和都恒成立，求实数的取值范围.
27．已知函数，若存在非零实数､，使得对定义域内任意的，均有成立，则称该函数为阶梯周期函数.
（1）判断函数是否为阶梯周期函数，请说明理由.(其中表示不超过的最大整数，例如：，)
（2）已知函数，的图像既关于点对称，又关于点对称.
①求证：函数为阶梯周期函数；
②当时，(､为实数)，求函数的值域.
28．已知函数对于任意的，都有，当时，，且．
（1）求，的值；
（2）当时，求函数的最大值和最小值；
（3）设函数，判断函数g(x) 最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．
29．已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”.
（1）判断函数，是否是“函数”；
（2）若是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对；
（3）若定义域为的函数是“-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.
30．设函数对任意实数，都有，且时，，.
（1）求证是奇函数；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
31．已知函数的定义域为，且同时满足①；②恒成立，③若，则有．
（1）试求函数的最大值和最小值；
（2）试比较f（）与（n∈N）的大小．
（3）某人发现：当（n∈N）时，有，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．
32．已知，是定义在上的一系列函数，满足：，.
(1)求的解析式；
(2)若为定义在上的函数，且.
①求的解析式；
②若方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围.
33．设是一个定义域为的函数.若是的一个非空子集，且对于任意的，都有，则称是关联的.
(1)判断函数和函数是否是关联的，无需说明理由.（表示不超过的最大整数）
(2)若函数是关联的，且在上，，解不等式.
(3)已知正实数满足，且函数是关联的，求的解析式.
34．已知定义域为的函数满足：①对，恒有；②当时，.
(1)求的值；
(2)求出当，时的函数解析式；
(3)求出方程在中所有解的和.
35．f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．
（Ⅰ） 求a、b的值，并写出切线l的方程；
（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．