浙江省台州市仙居县白塔中学2023—2024学年九年级上学期10月月考数学试题

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1．二次函数y＝﹣x2+1的图象开口方向是（ ）
A．向上B．向下C．向左D．向右
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+3x+y＝0B．x+y+1＝0C．x2+x﹣1＝0D．x2++5＝0
3．一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5x2，﹣4x
4．已知关于x的一元二次方程x2+x+c＝0有一个解为x＝1，则c的值为（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2．
5．抛物线y＝2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
6．将抛物线y＝3x2平移，得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
7．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（ ）
A．B．
C．D．
8．命题人“魔力”去参加同学聚会，每两个人相互赠送礼品，他发现共送礼40件，若设有x人参加聚会，根据题意可列方程为（ ）
A．B．x（x﹣1）＝40
C．D．x（x+1）＝40
9．若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ）
A．y1＞y3＞y2B．y2＞y3＞y1C．y1＞y2＞y3D．y3＞y1＞y2
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（﹣3，y2），则y1＞y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0）；⑤am2+bm+a≥0，其中所有正确的结论是（ ）
A．①②③④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．②④⑤
二、填空题（共6小题，共24分）
11．方程x2＝4的解为 ．
12．若（m﹣2）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为 ．
13．二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是 ．
14．如果m是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，那么2m2﹣6m+2的值是 ．
15．已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）
①若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ．
②若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
16．已知函数y＝mx2+2mx+1在﹣3≤x≤2上有最大值4，则常数m的值为 ．
三、解答题（共8小题，共66分）
17．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
18．求证：一元二次方程x2+mx﹣（m+2）＝0必有两个不相等的实数根．
19．已知：二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）将函数关系式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出所给函数的图象．
20．已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），与y轴交于点（0，）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）判断点P（2，﹣）是否落在抛物线上，请说明理由．
21．某工厂一种产品去年的产量是100万件，计划明年产量达到121万件，假设去年到明年这种产品产量的年增长率相同．
（1）求去年到明年这种产品产量的年增长率；
（2）今年这种产品的产量应达到多少万件？
22．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为14米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积S有最大值吗？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．若函数G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax﹣ymin＝1，则称函数G是在m≤x≤n上的“美好函数”．
（1）函数①y＝x+1；②y＝|2x|；③y＝x2，其中函数 是在1≤x≤2上的“美好函数”；（填序号）
（2）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
①函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”，求a的值；
②当a＝1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”，请直接写出t的值；
（3）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），若函数G是在m+2≤x≤2m+1（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得k＝，求a的值．
参考答案
一、单选题（共10小题，共30分）
1．二次函数y＝﹣x2+1的图象开口方向是（ ）
A．向上B．向下C．向左D．向右
【分析】根据二次项的系数正负情况判断开口方向．
解：∵a＝﹣1＜0，
∴图象开口向下．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项的次数有关是解题关键．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+3x+y＝0B．x+y+1＝0C．x2+x﹣1＝0D．x2++5＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
解：A．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意；
B．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意；
C．此方程符合一元二次方程，符合题意；
D．此方程不是整式方程，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5x2，﹣4x
【分析】根据方程的一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．
解：一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为5，﹣4，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
4．已知关于x的一元二次方程x2+x+c＝0有一个解为x＝1，则c的值为（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2．
【分析】把x＝1代入方程x2+x+c＝0得出1+1+c＝0，求出方程的解即可．
解：把x＝1代入方程x2+x+c＝0得：1+1+c＝0，
解得：c＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的解的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，解此题的关键是得出关于c的方程．
5．抛物线y＝2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
解：由y＝2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．
故选：A．
【点评】此题考查二次函数的性质，解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
6．将抛物线y＝3x2平移，得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
解：∵y＝3x2的顶点坐标为（0，0），y＝3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
7．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】熟记求根公式x＝，进行选择即可．
解：当a≠0，b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程的求根公式为x＝，
故选：D．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，解一元二次方程的方法还有，配方法、因式分解法，要熟练掌握．
8．命题人“魔力”去参加同学聚会，每两个人相互赠送礼品，他发现共送礼40件，若设有x人参加聚会，根据题意可列方程为（ ）
A．B．x（x﹣1）＝40
C．D．x（x+1）＝40
【分析】设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，根据共送礼物40件，列出方程．
解：设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，
由题意得：x（x﹣1）＝40．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
9．若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ）
A．y1＞y3＞y2B．y2＞y3＞y1C．y1＞y2＞y3D．y3＞y1＞y2
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为2、﹣2和﹣5所对应的函数值，然后比较函数的大小即可．
解：当x＝﹣1时，y1＝﹣x2+6x+c＝﹣1﹣6+c＝﹣7+c；
当x＝2时，y2＝﹣x2+6x+c＝﹣4+12+c＝8+c；
当x＝5时，y3＝﹣x2+6x+c＝﹣25+30+c＝5+c，
所以y2＞y3＞y1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（﹣3，y2），则y1＞y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0）；⑤am2+bm+a≥0，其中所有正确的结论是（ ）
A．①②③④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．②④⑤
【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x＝3时的函数值及a＞0可判断②；由抛物线的增减性可判断③；由当x＝﹣时，y＝a•（﹣）2+b•（﹣）+c＝且a﹣b+c＝0可判断④；由x＝1时函数y取得最小值及b＝﹣2a可判断⑤．
解：由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，
顶点在y轴右侧，则b＜0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c过点（3，0），
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＝0，
∵a＞0，
∴10a+3b+c＞0，故②正确；
∵对称轴为x＝1，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∴y1＜y2，故③错误；
当x＝﹣时，y＝a•（﹣）2+b•（﹣）+c＝
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴当x＝﹣时，y＝a•（﹣）2+b•（﹣）+c＝0，
即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0），故④正确；
x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，
x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，
又∵x＝1时函数取得最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
∵b＝﹣2a，
∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（共6小题，共24分）
11．方程x2＝4的解为 x1＝2，x2＝﹣2 ．
【分析】利用直接开平方法，求解即可．
解：开方得，x＝±2，
即x1＝2，x2＝﹣2．
故答案为，x1＝2，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣直接开平方法，比较简单．
12．若（m﹣2）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为 m≠2 ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式，可知二次项系数不为0，根据这一条件列出不等式，求出m的值即可．
解：由题意，得
m﹣2≠0，
∴m≠2，
故答案为：m≠2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握ax2+bx+c＝0是一元二次方程的条件是a≠0是解题的关键．
13．二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是 （0，﹣3） ．
【分析】把x＝0代入求出y，即可得出答案．
解：当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，明确y轴上点的横坐标为0是解题关键．
14．如果m是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，那么2m2﹣6m+2的值是 6 ．
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2﹣3m＝2，再把2m2﹣6m+2变形为2（m2﹣3m）+2，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m为一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根．
∴m2﹣3m﹣2＝0，
即m2﹣3m＝2，
∴2m2﹣6m+2＝2（m2﹣3m）+2＝2×2+2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）
①若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 m＝4 ．
②若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞4或m＝0 ．
【分析】方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个，2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有3个，2个交点，由此即可解决问题．
解：①方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有3个交点，
因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），
观察图象可知，两个函数图象有3个交点时，m＝4．
故答案为：m＝4．
②方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有2个交点，
因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），
观察图象可知，两个函数图象有2个交点时，m＞4或m＝0．
故答案为：m＞4或m＝0．
【点评】本题考查二次函数的图象、根的判别式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
16．已知函数y＝mx2+2mx+1在﹣3≤x≤2上有最大值4，则常数m的值为 或﹣3 ．
【分析】分两种情况：m＞0和m＜0分别求y的最大值即可
解：y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1．
当m＞0时，
当x＝2时，y有最大值，
∴4m+4m+1＝4，
∴m＝；
当m＜0时，
当x＝﹣1时，y有最大值，
∴m﹣2m+1＝4，
∴m＝﹣3，
综上所述：m的值为或﹣3．
故答案为：或﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题时，注意要分类讨论，以防漏解．
三、解答题（共8小题，共66分）
17．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
解：（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（2）∵x2+3x+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．求证：一元二次方程x2+mx﹣（m+2）＝0必有两个不相等的实数根．
【分析】先进行判别式的值，再利用配方法得到Δ＝（m+2）2+4，接着利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论．
【解答】证明：Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×[﹣（m+2）]
＝m2+4m+8
＝（m+2）2+4，
∵（m+2）2≥0，
∴（m+2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴一元二次方程x2+mx﹣（m+2）＝0必有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
19．已知：二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）将函数关系式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出所给函数的图象．
【分析】（1）用配方法把二次函数化为顶点式，从而求出抛物线对称轴和顶点坐标；
（2）用五点法画出函数图象．
解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4）；
（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
令x＝0，则y＝3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
图象如图所示：
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是对抛物线顶点坐标，对称轴，与坐标轴交点的应用．
20．已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），与y轴交于点（0，）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）判断点P（2，﹣）是否落在抛物线上，请说明理由．
【分析】（1）设出抛物线的顶点式，代入计算可得答案；
（2）将P的横坐标x＝2代入抛物线求解，看其解是否为点P的纵坐标即可得到答案．
解：（1）由题意：设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+2，
将（0，）代入得，＝a+2
∴a＝﹣0.5，
∴抛物线饿解析式为y＝﹣（x+1）2+2；
（2）P点落在抛物线上．理由如下：
将P的横坐标x＝2代入抛物线y＝﹣（x+1）2+2，
解得y＝﹣，
∴P点落在抛物线上．
【点评】此题考查的是二次函数的性质，掌握待定系数法求解析式是解决此题关键．
21．某工厂一种产品去年的产量是100万件，计划明年产量达到121万件，假设去年到明年这种产品产量的年增长率相同．
（1）求去年到明年这种产品产量的年增长率；
（2）今年这种产品的产量应达到多少万件？
【分析】（1）设去年到明年这种产品产量的年增长率为x，利用计划明年这种产品产量＝去年这种产品产量×（1+去年到明年这种产品产量的年增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用今年这种产品产量＝去年这种产品产量×（1+去年到明年这种产品产量的年增长率），即可求出结论．
解：（1）设去年到明年这种产品产量的年增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝121，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
答：去年到明年这种产品产量的年增长率为10%；
（2）根据题意得：100×（1+10%）＝110（万件）．
答：今年这种产品的产量应达到110万件．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为14米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积S有最大值吗？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据长×宽＝面积列方程求解可得；
（2）根据平行于墙的一边长不小于8米且墙长为14米求得x的范围，再结合二次函数的解析式，利用二次函数的性质求得最值即可得．
解：（1）设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（30﹣2x）米．
依题意可列方程：x（30﹣2x）＝72，
即x2﹣15x+36＝0．
解得x1＝3，x2＝12，
当x＝3时，30﹣2x＝24＞14，舍去，
∴x＝12．
（2）依题意，得：8≤30﹣2x≤14．
解得：8≤x≤11．
S＝x（30﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+，
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，
又∵8≤x≤11，
∴在对称轴的右侧S随x的增大而减小，
当x＝8时，S有最大值，S最大＝112．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据矩形的面积公式得出函数解析式是解题的根本，由题意求得x的范围，结合函数的性质求得最值是解题的关键．
23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得x1＝60，x2＝80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w元，则：
w＝（x﹣50）（﹣2x+180）
＝﹣2（x﹣70）2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝70时，w最大值＝800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
24．若函数G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax﹣ymin＝1，则称函数G是在m≤x≤n上的“美好函数”．
（1）函数①y＝x+1；②y＝|2x|；③y＝x2，其中函数 ① 是在1≤x≤2上的“美好函数”；（填序号）
（2）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
①函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”，求a的值；
②当a＝1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”，请直接写出t的值；
（3）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），若函数G是在m+2≤x≤2m+1（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得k＝，求a的值．
【分析】（1）根据材料提示的“美好函数”的计算方法即可求解；
（2）①根据二次函数的特点，确定自变量取值范围内的最大值，最小值，再根据材料提示“美好函数”的计算方法即可求解；②根据材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解；
（3）根据二次函数图象的性质，结合材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解．
解：（1）对于①y＝x+1，
当x＝1时，y＝2，
当x＝2时，y＝3，
∴ymax﹣ymin＝1，符合题意；
对于②y＝|2x|，
当x＝1时，y＝2，
当x＝2时，y＝4，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合题意；
对于③y＝x2，
当x＝1时，y＝1，
当x＝2时，y﹣4，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合题意；
故答案为：①；
（2）①二次函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y1＝4a，当x＝2时，y2＝﹣3a，
当a＞0时，则当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴y2﹣y1＝﹣3a﹣（﹣4a）＝1，
∴a＝1，
当a＜0时，则当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴y2﹣y1＝﹣4a﹣（﹣3a）＝1，
∴a＝﹣1，
综上所述，a＝1或a＝﹣1；
②二次函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）为y＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1，
当x＝t，y1＝t2﹣2t﹣3，
当x＝t+1时，y2＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3＝t2﹣4，
当x＝1时，y3＝﹣4．
若t＞1，则y2﹣y1＝t2﹣4﹣（t2﹣2t﹣3）＝1，解得t＝1（舍去）；
若≤t≤1，则y2﹣y3＝t2﹣4﹣（﹣4）＝1，解得t＝﹣1（舍去），t＝1；
若0≤t＜，则y1﹣y3＝（t2﹣2t﹣3）﹣（﹣4）＝1，解得t＝0，t＝2（舍去）；
若t＜0，则y1﹣y2＝t2﹣2t﹣3﹣（t2﹣4）＝1，解得t＝0（舍去）．
综上所述，t＝0或t＝1；
（3）由上可知，二次函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）对称轴为直线x＝1，
又∵m+2≤x≤2m+1，
∴m＞1，
∴3＜m+2≤x≤2m+1，
∴当m+2≤x≤2m+1时，y随x的增大而增大，
当x＝2m+1时取得最大值，x＝m+2时取得最小值，
∴k＝＝＝＝4﹣，
∵m，k为整数，且m＞1，
∴m+3＝8，即m的值为5，
又∵ymax﹣ymin＝1，
∴a（10+1）2﹣2a（10+1）﹣3a﹣[a（5+2）2﹣2a（5+2）﹣3a]＝1，
∴a＝．
【点评】本题属于函数与定义新运算的综合，考查了二次函数的性质，新定义问题，解题的关键是分类讨论，分析在一定范围内的最值问题，属于中考压轴题．
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40