浙江省台州市仙居县白塔中学2023-2024学年九年级上学期开学考数学试卷

2023-2024学年九年级开学考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一元二次方程的解为(    )

A.  B. ，
C. ， D.

4.  将方程化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  方程的左边配成完全平方后所得方程为．(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列一元二次方程中，没有实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知，则代数式的值为．(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  电影流浪地球讲述了太阳即将毁灭，毁灭之后的太阳系已经不适合人类生存，而面对绝境，人类将开启“流浪地球”计划，试图带着地球一起逃离太阳系，寻找人类新家园的故事一经上映就获得追捧，第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达到了亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为，则可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处把沿直线折叠，使点落在线段上的点处，，，则矩形的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  方程的根是          ．

12.  若是方程的一个根，则          ．

13.  三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是______．

14.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ．

15.  如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏，已知墙长，则围成矩形的长为______ ．

16.  代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  用适当方法解方程

；               

四、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分

已知关于的方程．

求证：该方程总有两个不相等的实数根

若该方程有一个根为，求的值．

19.  本小题分
有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．

21.  本小题分

阅读材料：

由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．
示例：

分解因式：．

尝试：分解因式                    

应用：请用上述方法解方程．

拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为                  ．

22.  本小题分
“杭州亚运三人制篮球”赛将于月月日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服月份平均每天售出件，每件盈利元为了扩大销售、增加盈利，月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
若降价元，求平均每天的销售数量；
当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？

23.  本小题分
【问题提出】在年抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习，七年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀，互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班名同学共通过多少次电话呢？
【模型构建】用点、、、、分别表示第、、、、名同学，把该班级人数与视频通话次数之间的关系用如图模型表示：

【问题解决】
填写如图中第个图中的值为______．
通过探索发现，通电话次数与该班级人数之间的关系式为______，则当时，对应的______．
若该班全体女生相互之间共通话次，求该班共有多少名女生？
【问题拓展】
若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信问候，小明统计全组共发送微信条，则该班数学兴趣小组的人数是______人．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程；
B、是一元一次方程；
C、是二元一次方程；
D、不是一元二次方程．
故选：．
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程逐项进行排查即可．
本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于的方程．
把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可．
【解答】
解：把代入方程得：，
解得：．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．

【详解】解：  ，

  ，

  ，  ，

故选：．

4.【答案】 

【解析】解：方程整理得：，其中一次项系数为，
故选：．
方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据配方法的步骤对方程进行配方即可．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．
【解答】
解：，
，
，
，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
利用根的判别式分别进行判定即可．
【解答】
解：，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
B.，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
C.，没有实数根，故此选项符合题意；
D.，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：，
．
．
故选：．
由，得，再代入．
本题主要考查整体的思想，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则解决此题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】
解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是，
依题意得：，
整理得：，
解得：不合题意，舍去，．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
根据第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达到了亿元，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
设，则，根据折叠的性质得出，，再利用勾股定理建立方程求出的值，得出，的长，进而可得出面积．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
由折叠的性质得：，
设，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，舍去，
，，，
矩形的面积，
故选：．
  

11.【答案】， 

【解析】解：，
，
，
，，
故答案为：，．
利用直接开平方法求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法直接开平方法，利用直接开平方法求解一元二次方程的一般步骤：把方程化为左平方，右常数；把系数化为；开平方取正负；分开求得方程解．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
把代入方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】
解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，，
若，即第三边为，，不能构成三角形，舍去；
当时，这个三角形周长为，
故答案为：．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为，然后计算三角形的周长．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及三角形的三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．熟记这些内容是解题关键．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：设宽为，则长为．
由题意，得，
解得，．
当时，舍去，
当时，．
即：围成矩形的长为．
故答案为：．
设宽为，则长为，然后根据平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．
此题是利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找到等量关系准确的列出方程．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
阴影部分的面积为，
，
设，
则，
同理：先构造一个面积为的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，
得到大正方形的面积为，
则该方程的正数解为，
故答案为：．
根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积阴影部分的面积个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：，

移项得，

配方得，即，

  ，

  ，  ；

解： ，

移项得，

，

或，

，    

【解析】利用配方法求解即可；

利用因式分解法求解即可．

18.【答案】解：证明：，
方程总有两个不相等的实数根，

把代入原方程，得，
即，
，，，
，
，
解得，． 

【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，正确熟练解一元二次方程是解题的关键．
计算，可得判别式的值为，由此可得结论；
将一个根代入可得关于的一元二次方程，然后再用求根公式解答即可．
 

19.【答案】解：设每轮传染中平均每人传染了人，
依题意得：，
即，
解得：不符合题意舍去，，
答：每轮传染中平均每人传染了人． 

【解析】设每轮传染中平均每人传染了人，由题意：有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有人感染了该种病毒，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：方程有实数根，
，
解得：．
故的取值范围是；
，是方程的两个实数根，
，，
，
，
解得，
由可得，
的取值范围是． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
根据根与系数的关系可得出、，由结合结论可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；根据根与系数的关系结合及，求出的取值范围．
 

21.【答案】解：

，

．

则或．

，．

或或

【解析】阅读材料，用类比法确定，的值，从而用因式分解法解方程．
 

22.【答案】解：平均每天的销售数量为：件，
答：平均每天的销售数量件；
设每件商品降价元，
根据题意，得：，
解得：，，
答：当每件商品降价元或元时，该商店每天销售利润为元． 

【解析】利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可得出结论；
设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，利用总利润每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，求解即可．
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：；
，；
设该班共有女生名，根据题意，
得，
解得，不符合题意，舍去，
答：该班共有名女生．
． 

【解析】解：根据图形可知，
故答案为：．
通过几个图形，可以得出规律：，
当时，代入得．
故答案为：，．
设该班共有女生名，根据题意，
得，
解得，不符合题意，舍去，
答：该班共有名女生．
设该班数学兴趣小组有人，根据题意，
得，
解方程得，不符合题意，舍去，
故答案为：．
根据图形即可得知；
由前面几个图形可以得出规律，然后将代入即可；
设该班有名女生，根据题意，列方程，解方程即可；
设该班数学兴趣小组有人，根据题意列方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的实际应用，推出图形的规律并根据题意列方程是解决本题的关键．