2023-2024学年山东省泰安重点中学高二（上）诊断数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省泰安重点中学高二（上）诊断数学试卷（10月份）（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线x= 3的倾斜角是( )
A. 0°B. 60°C. 90°D. 120°
2.已知两条直线l1：(m+1)x+y−1=0和l2：2x+my−1=0，若l1//l2，则实数m的值为( )
A. −2或1B. −2C. 1D. −1
3.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点，G为△ABC的重心，则GF=( )
A. −13AB+23AC+12AA1
B. 13AB+23AC+12AA1
C. −23AB+13AC−12AA1
D. 13AB−23AC+12AA1
4.在三棱锥P−ABC中，M是平面ABC上一点，且5PM=2PA+tPB+PC，则t=( )
A. 1B. 2C. 17D. 12
5.已知过点P(1,1)作直线l与两坐标轴正半轴相交，所围成的三角形面积为2，则这样的直线l有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 0条
6.已知空间直角坐标系O−xyz中，OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA⋅QB取得最小值时，点Q的坐标为( )
A. (12,34,13)B. (12,32,34)C. (43,43,83)D. (12,34,73)
7.已知直线l经过A(1,2)，且在x轴上的截距的取值范围为(−3,1)∪(1,3)，则直线l的斜率k的取值范围为( )
A. k>12或k<−1B. k>1或k<12C. k>15或k<1D. −18.阅读材料：空间直角坐标系O−xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面a的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0；过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为d=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为x−x0u=y−y0v=z−z0w.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面a的方程为3x−5y+z−7=0，直线l是平面x−3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面a所成角的正弦值为( )
A. 1035B. 75C. 715D. 1455
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.在下列四个命题中，正确的是( )
A. 若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0
B. 任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为tanα
C. 若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
D. 直线的倾斜角越大，则其斜率越大
10.在同一平面直角坐标系中，表示直线l1：y=ax+b与l2：y=bx−a的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.下列说法错误的是( )
A. “a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件
B. 直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)
C. 过(x1,y1)，(x2,y2)两点的所有直线，其方程均可写为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
D. 已知A(2,4)，B(1,1)，若直线l：kx+y+k−2=0与线段AB有公共点，则k∈[−12,23]
12.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的所有校长均相等，D，E分别是BC，CC1的中点，点P满足AP=xAB1+yAC+(1−x−y)AB，x∈[0,1]，y∈[0,1]，下列选项正确的是( )
A. 当x=y时，∠DEP为锐角
B. 当x+2y=1时，AP⊥BE
C. 当y=12时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D. 当x−y=12时，A1P/​/平面ADE
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设x，y∈R，向量a=(3,2,1)，b=(1,x,1)，c=(y,4,2)，且a⊥b，a/​/c，则|c−2b|=______．
14.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠BAD=∠BAA1=120°，∠DAA1=60°，则线段AC1的长度是______ ．
15.已知向量a=(1,1,0),b=(−1,0,2)，若向量a+kb与2a+b的夹角为锐角，求实数k的取值范围______ ．
16.如图①，在Rt△ABC中，C=π2，AC=BC=2、D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图②.若F是A1B的中点，则四面体FCDE外接球的体积是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,−1)，B(2,2)，C(4,1).求：
(1)AB边中线所在的直线方程；
(2)BC边的垂直平分线所在的直线方程．
18.(本小题12.0分)
求经过点A(2,1)，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．
19.(本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点，且BM⊥PD.求平面BAM与平面AMC夹角的余弦值．
20.(本小题12.0分)
设直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0(a∈R)，若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．
21.(本小题12.0分)
如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点．
(1)求点B到平面EAC的距离；
(2)已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出EPEC的值．
22.(本小题12.0分)
已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE夹角的正弦值最小？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为直线方程为x= 3，直线与x轴垂直，所以直线的倾斜角为90°．
故选：C．
直接通过直线方程，求出直线的倾斜角即可．
本题考查直线的方程求解直线的倾斜角的方法，考查基本知识的应用．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线的一般式方程与直线平行的关系，是基础的计算题．
由l1//l2，利用直线与直线平行的条件能求出m的值．
【解答】
解：两条直线l1：(m+1)x+y−1=0和l2：2x+my−1=0，
若l1//l2，则m(m+1)=2，解得m=−2或m=1，
当m=−2时，两条直线l1：−x+y−1=0和l2：2x−2y−1=0，满足题意，
当m=1时，两条直线l1：2x+y−1=0和l2：2x+y−1=0，此时l1与l2重合，不满足题意，
综上所述m=−2．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：GF=13AE+12BC1=13×12(AB+AC)+12(BC+BB1)=16AB+16AC+12(AC−AB+BB1)=−13AB+23AC+12BB1=−13AB+23AC+12AA1．
故选：A．
根据向量的数乘及加、减运算求解即可．
本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为5PM=2PA+tPB+PC，
所以PM=25PA+t5PB+15PC，
因为M是平面ABC上一点，即A，B，C，M四点共面，
所以25+t5+15=1，所以t=2．
故选：B．
利用空间向量的基本定理得到关于t的方程，解之即可．
本题考查空间向量的线性运算和空间向量基本定理，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：设过点P(1,1)的直线l：y=kx+b，
直线经过点(1,1)则得到：k+b=1…(1)
在y=kx+b中，令x=0，解得y=b．
令y=0，x=−bk.根据直线与两坐标轴围成的三角形面积为2．
得到：12|−bk|⋅|b|=2.即b2=4|k|…(2)
由(1)得：b=1−k.代入(2)得：1−2k+k2=4|k|…(3)
因为k<0，(3)变形为：k2+2k+1=0.方程有两个相等负根；
总之，k的值有1个．
故选：A．
设直线的解析式是y=kx+b，直线经过点(1,1)则得到：k+b=1.再根据三角形的面积是2，就可得到一个关于k，b的方程组．判断方程组解得个数即可．
把判断直线的条数的问题转化为判断一元二次方程的解的个数的问题是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：因点Q在直线OP上运动，则OQ//OP，设OQ=tOP=(t,t,2t)，则Q(t,t,2t)，
因为：OB=(2,1,2)，OA=(1,2,3)，
所以A(1,2,3)，B(2,1,2)，
因此：QB=(2−t,1−t,2−2t)，QA=(1−t,2−t,3−2t)，
于是得QA⋅QB=(1−t)(2−t)+(2−t)(1−t)+(3−2t)(2−2t)=6(t−43)2−23；
则当t=43时，取得最小值为−23，此时点Q(43,43,83)，
所以当QA⋅QB取得最小值时，点Q的坐标为(43,43,83)．
故选：C．
直接利用向量的坐标运算求出向量的数量积，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可得，直线的斜率一定存在，可设直线方程为y−2=k(x−1)，(k≠0)，
令y=0可得x=k−2k=1−2k，
由题意得−3<1−2k<3且1−2k≠1，
解得k>12或k<−1．
故选：A．
先设出符合题意的直线方程，然后结合题意可建立关系斜率k的不等式组，可求．
本题主要考查了直线方程的点斜式及直线截距的概念，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为平面a的方程为3x−5y+z−7=0，所以平面a的法向量可取n=(3,−5,1)．
同理平面x−3y+7=0的法向量可取a=(1,−3,0)，
4y+2z+1=0的法向量可取b=(0,4,2)，
设平面x−3y+7=0与4y+2z+1=0的交线的方向向量为m=(x,y,z)，
则m⋅a=x−3y=0m⋅b=4y+2z=0，令y=1，则x=3，z=−2，所以m=(3,1,−2)．
则直线l与平面a所成角的正弦值为sinθ=|cs|=|m⋅n|m||n||= 1035．
故选：A．
根据材料先求出三个平面的法向量，再根据交线的方向向量与平面x−3y+7=0和4y+2z+1=0的法向量垂直求出直线的方向向量，在带图直线与平面夹角的正弦公式求值即可．
本题主要考查利用新定义解决线面夹角的正弦值问题，属于难题．
9.【答案】AB
【解析】解：当0°<α<90°时，其斜率k=tanα>0，所以A正确；
根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角α≠90°时，直线的斜率为tanα，所以 B正确；
若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为β=α+k×180°，k∈Z，且0°≤β<180°，故C不正确；
直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确．
故选：AB．
根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：A选项：由l1的图象可知a>0，b<0，l1经过一、三、四象限，则l2需经过二、三、四象限，故A选项正确；
B选项：由l1的图象可知a>0，b>0，l1经过一、二、三象限，则l2需经过一、三、四象限，故B选项错误；
C选项：由l1的图象可知a<0，b>0，l1经过一、二、四象限，则l2需经过一、二、三象限，故C选项正确；
D选项：由l1的图象可知a<0，b<0，l1经过二、三、四象限，则l2需经过一、二、四象限，故D选项错误；
故选：AC．
分情况讨论a与b的正负情况，分别判断各选项．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，当a=−1时，两直线分别为x−y+1=0和x+y−2=0，此时两直线垂直，充分性成立；
若两直线垂直，则a2=−1×(−a)，解得：a=0或a=−1，必要性不成立；
∴“a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充分不必要条件，A错误；
对于B，由直线xsinα+y+2=0得：y=−sinα⋅x−2，
∴直线的斜率k=−sinα∈[−1,1]，即tanθ∈[−1,1]，
又θ∈[0,π)，∴θ∈[0,π4]⋃[3π4,π)，B正确；
对于C，平行于坐标轴的直线，即x1=x2或y1=y2时，直线方程不能写为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1，C错误；
对于D，由l：kx+y+k−2=0得：l：(x+1)k+(y−2)=0，∴直线l恒过定点C(−1,2)；
∵kAC=4−22+1=23，kBC=2−1−1−1=−12，
结合图象可知：k∈[kBC,kAC]，∴k∈[−12,23]，D正确．
故选：AC．
根据两直线垂直的判断方法依次判断充分性和必要性可知A错误；由直线斜率和倾斜角关系可求得B正确；根据直线两点式方程无法表示的直线可知C错误；求得l所过定点后，由两点连线斜率公式可求得临界状态，结合图象可确定D正确．
本题考查的知识要点：直线间的位置关系，直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：建立如图的空间直角坐标系如图，
设棱长为2，则A( 3,0,0)，B1(0,1,2)，C(0,−1,0)，B(0,1,0)，E(0,−1,1)
则AB1=(− 3,1,2)，AC=(− 3,−1,0)，AB=(− 3,1,0)，
所以AP=xAB1+yAC+(1−x−y)AB=(− 3,1−2y,2x)，
A.当x=y时，ED=(0,1,−1)，EP=AP−AE=(0,2−2y,2x−1)，ED⋅EP=3−2(x+y)=3−4x，正负符号不确定，即∠DEP为锐角不一定正确，故A错误，
B.当x+2y=1时，BE=(0,−2,1)，AP⋅BE=4y−2+2x=0，所以AP⊥BE，故B正确，
C.当y=12时，BE=(0,−2,1)，A1P=AP−AA1=(− 3,1−2y,2x−2)=(− 3,0,2x−2)，BP=BA+AP=(0,−2y,2x)，
则A1P⋅BP=2x(2x−2)=0，得x=0或x=1，即满足条件的P有两个，故C错误，
D.当x−y=12时，)，A1P=AP−AA1=(− 3,1−2y,2x−2)，
设平面ADE的一个法向量为n=(a,b,c)，
则n⋅DA= 3a=0n⋅ED= b−c=0，令b=1，则c=1，a=0，即n=(0,1,1)，
∴A1P⋅n=1−2y+2x−2=2(x−y)−1=2×12−1=1−1=0，
则A1P⊥n，
∵A1P⊄平面ADE，∴A1P/​/平面ADE，故D正确，
故选：BD．
建立空间坐标系，设棱长为2，求出点的坐标，利用向量法分别进行判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线与直线的垂直关系的判断，空间线面平行的判断，建立空间直角坐标系，利用向量法求出向量坐标是解决本题的关键，是个难题．
13.【答案】2 13
【解析】解：∵x，y∈R，向量a=(3,2,1)，b=(1,x,1)，c=(y,4,2)，且a⊥b，a/​/c，
∴a⋅b=3+2x+1=0y3=42=21，解得x=−2，y=6，
∴b=(1,−2,1)，c=(6,4,2)，∴c−2b=(4,6,0)，
|c−2b|= 42+62=2 13．
故答案为：2 13．
根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出x，y，再由向量的坐标及模的坐标表示求解．
本题考查空间向量运算法则、向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】2 2
【解析】解：根据平行四边形法则可得AC1=AB+AD+AA1，
所以|AC1|2=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2AB⋅AD+2AB⋅AA1+2AD⋅AA1=4+4+4+2×2×2×2×cs120°+2×2×2×cs60°=8，所以AC1=2 2，
故答案为：2 2．
先利用AC1=AB+AD+AA1，再应用数量积及模长公式计算即可求解．
本题考查了空间向量的应用，属于中档题．
15.【答案】(−1,12)⋃(12,+∞)
【解析】因为a=(1,1,0),b=(−1,0,2)，
所以a+kb=(1−k,1,2k)，2a+b=(1,2,2)，
因为向量a+kb与2a+b的夹角为锐角，
所以(a+kb)⋅(2a+b)=1−k+2+4k=3k+3>0，解得k>−1，
而当(a+kb)//(2a+b)时，1−k1=12=2k2，解得k=12，
所以实数k的取值范围为(−1,12)⋃(12,+∞)．
故答案为：(−1,12)⋃(12,+∞)
根据已知条件及向量的线性运算的坐标表示，再利用向量的数量积的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解．
本题考查空间向量的数量积与夹角，属于中档题．
16.【答案】 23π
【解析】解：依题意得CD⊥DE，A1D⊥DE，A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面A1DC，
所以DE⊥平面A1DC，又A1D⊥CD，
故以D为坐标原点，CD，DE，DA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图示：
则D(0,0,0)，C(1,0,0)，E(0,1,0)，
B(1,2,0)，A1(0,0,1)，F(12,1,12)，
依题意△DCE为直角三角形，所以△DCE的外接圆的圆心在CE的中点(12,12,0)处，
设四面体FCDE外接球的球心为M(12,12,m)半径为R，则|DM|=|MF|=R，
即R= (12)2+(12)2+m2= (12−12)2+(1−12)2+(12−m)2，解得m=0，所以R= 22，
所以四面体FCDE外接球的体积V=43πR3= 23π.
故答案为： 23π.
以D为坐标原点，CD，DE，DA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设出四面体FCDE外接球的球心为M(12,12,m)，求出m的值，从而求出球的半径，求出球的体积即可．
本题考查了球的性质，考查空间坐标系的应用以及线面关系，是中档题．
17.【答案】解：(1)AB中点坐标为(2,12)，所以AB边中线所在直线方程为y−112−1=x−42−4，
即y=14x．
(2)BC中点坐标为(3,32)，kBC=1−24−2=−12，
所以BC边的垂直平分线的斜率为2，
所以BC边的垂直平分线所在直线方程为y−32=2(x−3)，
即4x−2y−9=0．
【解析】(1)直接利用中点坐标公式求出中点坐标，进一步利用两点式求出直线的方程；
(2)利用直线垂直的充要条件求出直线的方程．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：设所求直线在x，y轴上的截距分别为a，b，则有a=b，
当a=0时，直线经过原点，则直线斜率k=1−02−0=12，
此时直线方程为y=12x，即x−2y=0，
当a≠0时，设直线方程为xa+ya=1，则2a+1a=1，解得a=3，
此时直线方程为x3+y3=1，即x+y−3=0，
所以所求直线方程为x−2y=0或x+y−3=0．
【解析】设出直线的横纵截距，再按直线是否过原点求解即得．
本题主要考查了直线的一般方程，属于基础题．
19.【答案】解：∵PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥AD，
∴如图，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

∵PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点，
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，C(2,4,0)，M(0,m,4−m)，
∴BM=(−2,m,4−m)，PD=(0,4,−4)，
∵BM⊥PD．
∴BM⋅PD=0，即4m−4(4−m)=0，解得m=2，
∴M(0,2,2)，
∵AB⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD，
∵BM⊥PD，AB⋂BM=B，
∴PD⊥平面ABM，
∴平面ABM的法向量为PD=(0,4,−4)，
设平面ACM的法向量为n=(a,b,c)，AM=(0,2,2)，AC=(2,4,0)，
则n⋅AM=0n⋅AC=0，即2b+2c=02a+4b=0，令b=1得n=(−2,1,−1)，
则cs〈PD,n〉=PD⋅n|PD|⋅|n|=|(0,4,−4)⋅(−2,1,−1)|4 2× 6= 33，
设二面角B−AM−C的大小为θ，由题意知，θ为锐角，
则csθ=cs〈PD,n〉= 33，
∴平面BAM与平面AMC夹角的余弦值为 33．
【解析】推导出PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BAM与平面AMC夹角的余弦值．
本题考查二面角及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：由题意知a+1≠0，令x=0，解得y=a−2<0，解得a<2．
令y=0，解得x=a−2a+1>0，解得a>2或a<−1．
综上有a<−1，
所以S△AOB=12|a−2||a−2a+1|=12|a+1+9a+1−6|=3+12[(−a−1)+9−a−1]
≥3+12×2 (−a−1)×9−a−1=6，
当且仅当−a−1=9−a−1，即a=−4时取等号，
所以△AOB(O为坐标原点)面积S的最小值是6，
此时直线方程−3x+y+6=0，即3x−y−6=0．
【解析】根据题意，求得直线在坐标轴的截距，化简得到S△AOB=3+12[(−a−1)+9−a−1]，结合基本不等式，即可求解．
本题主要考查求直线和坐标轴的交点，基本不等式的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)解：连接MC，∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，
∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM⊂平面ABE，
∴EM⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴EM⊥AD，
∵EM⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，
∴EM⊥CM，菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，
∴MC⊥AB.∴ME、MC、MB两两垂直，
以点M为坐标原点，MB、MC、ME所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则M(0,0,0)，A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(0, 3,0)，E(0,0, 3)，
AC=(1, 3,0)，AE=(1,0, 3)，BA=(−2,0,0)，
设m=(x,y,z)是平面ACE的一个法向量，则m⊥AC，m⊥AE，
则有m⋅AC=x+ 3y=0m⋅AE=x+ 3z=0，令z=1，得m=(− 3,1,1)，
设点B到平面ACE的距离为d，则d=|m⋅BA|m||=2 155，
∴点B到平面EAC的距离为2 155；
(2)由题意可知，平面ABE的一个法向量为n=(0,1,0)，
AE=(1,0, 3)，EC=(0, 3,− 3)，
设EP=λEC=(0, 3λ,− 3λ)(0≤λ≤1)，
则AP=AE+EP=(1, 3λ, 3− 3λ)，
∵直线AP与平面ABE所成的角为45°，
则sin45°=|cs|=|AE⋅n||AP|⋅|n|=| 3λ| 1+3λ2+3−6λ+3λ2×1= 22，
即3λ26λ2−6λ+4=12，整理可得4−6λ=0，解得λ=23，满足0≤λ≤1，
所以直线AP与平面ABE所成的角为45°时，EPEC=23．
【解析】(1)连接MC，证明出ME、MC、MB两两垂直，然后以点M为坐标原点，MB、MC、ME所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点B到平面EAC的距离；
(2)设EP=λEC=(0, 3λ,− 3λ)，(0≤λ≤1)，求出向量AP的坐标，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合0≤λ≤1可求出λ的值，即可求出EPEC的值．
本题考查利用空间向量求点到平面的距离，考查线面角的求法，属中档题．
22.【答案】解：∵三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，
∵A1B1/​/AB，BF⊥A1B1，∴BF⊥AB，
又BB1∩BF=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∴BA，BC，BB1两两垂直，
以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．

则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0,2)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，E(1,1,0)，F(0,2,1)．
由题设D(a,0,2)(0≤a≤2)．
(1)因为BF=(0,2,1)，DE=(1−a,1,−2)，
所以BF⋅DE=0，所以BF⊥DE．
(2)设平面DFE的法向量为m=(x,y,z)，
因为EF=(−1,1,1)，DE=(1−a,1,−2)，
所以m⋅EF=0m⋅DE=0，即−x+y+z=0(1−a)x+y−2z=0．
令z=2−a，则m=(3,1+a,2−a)，
因为平面BCC1B1的法向量为BA=(2,0,0)，
设平面BCC1B1与平面DEF的二面角的平面角为θ，
则|csθ|=|m⋅BA||m|⋅|BA|=62 2a2−2a+14，当a=12时，2a2−2a+4取最小值为272，
此时csθ取最大值为3 272= 63.所以(sinθ)min= 1−( 63)2= 33，此时B1D=12．
【解析】(1)以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BF⊥DE．
(2)求出平面DFE的法向量和平面BCC1B1的法向量，利用向量法能求出结果．
本题考查线面垂直的判定与性质、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．