沪教版数学八年级上册第十九章几何证明（A卷）含解析答案

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第十九章 几何证明（A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
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一、单选题
1．下列语句不是命题的是（　　）
A．延长AB到D，使BD＝2AB
B．两点之间线段最短
C．两条直线相交有且只有一个交点
D．等角的补角相等
2．下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（    ）
（1）全等三角形的对应边相等； （2）对顶角相等；
（3）等角对等边；             （4）全等三角形的面积相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知垂直平分线段，，那么的度数为（    ）

A． B． C． D．
4．三角形的外心是三角形的（    ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
5．如图，在中，，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（    ）

A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（　　 ）

A．41° B．42° C．43° D．44°
7．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　）

A．3 B．6 C．12 D．16
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， =15，DE=3，AB=6，则AC长是(     )

A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（    ）

A．Р为两角平分线的交点 B．P为两边上的高的交点
C．P为两边的垂直平分线的交点 D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点
10．如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（　　）

A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°
11．如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，平分，那么下列关系中不成立的是（    ）

A． B．
C． D．
12．下列说法错误的是（    ）．
A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
B．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆
C．到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线
D．等腰三角形的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线
13．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（    ）
A．一个锐角和一条斜边分别对应相等 B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等 D．两个锐角分别对应相等
14．△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为高，若BD＝2cm，则AD等于（       ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm.
15．下列数据不是勾股数的是（　　）
A．7，14，16 B．5，12，13 C．3，4，5 D．9，40，41
16．在下列四个条件：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ）．
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
17．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（  ）

A． B． C． D．

评卷人
得分



二、填空题
18．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ．
19．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作，分别交AB、AC于点E、F．若AB＝5，AC＝4，那么△AEF的周长为 ．

20．如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A= °．

21．底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是 ．
22．到点A的距离等于6cm的点的轨迹是 ．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A= 度．

24．如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则 ．

25．在△ABC中，，△ABC的面积为3，过点A作AD⊥AB交边BC边于点D．设，．那么y与x之间的函数解析式 .（不写函数定义域）．

26．直角三角形的斜边上的高和斜边上的中线的长分别为3和4，那么这个直角三角形的面积为 ．
27．在△ABC中，AB＝10，BC＝8，∠B＝60°，则AC的长度是 ．
28．如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝ 度．

29．如图，已知长方形ABCD纸片，AB＝8，BC＝4，若将纸片沿AC折叠，点D落在，则重叠部分的图形的周长为 ．

30．已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于 ．
31．已知点、、，若点在轴上，且，则点坐标为 ．

评卷人
得分



三、解答题
32．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE









33．已知：如图，AB=DE，ÐA=ÐD，AC=DF．求证：AC∥DF．
  








34．如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．

（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)．








35．求证：等腰三角形两腰上的中线相等（要求画图，写已知、求证、证明）．








36．如图，在中，，，是上的一点，且的延长线交于，又平分，求证：．









37．如图，在已知△ABC中，AB=AC，点在BC上，过点的直线分别交AB于点E，交AC的延长线于点，且BE=CF．求证：DE=DF．









38．如图，，，，直线过点交于，交于点．求证：．









39．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF＝CG．









40．在中，，，直线经过点，且于点，于点．

（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：
①≌；
②．
（2）当直线绕点旋转到图（2）、图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．








41．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE＝BE，AD与BE相交于点F．

(1)请说明△AEF≌△BEC的理由．
(2)如果AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．








42．尺规作图．如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹）









43．如图，在中，，为的平分线，，垂足分别是，求证：.









44．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）









45．如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积．










参考答案：
1．A
【分析】根据命题的概念判断即可．
【详解】解：A、延长AB到D，使BD＝2AB，没有对事情作出判断，不是命题，符合题意；
B、两点之间线段最短，是命题，不符合题意；
C、两条直线相交有且只有一个交点，是命题，不符合题意；
D、等角的补角相等，是命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题．
2．B
【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
【详解】（1）逆命题是：对应边相等的两个三角形全等，正确；
（2）逆命题是：相等的角是对顶角，错误；
（3）逆命题是：等边对等角，正确；
（4）逆命题是：面积相等，两三角形全等，错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真，难度适中．
3．C
【分析】根据垂直平分线可得AB=AC，即可得到．
【详解】∵垂直平分线段，
∴AB=AC，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形等边对等角的性质，解题的关键是找到等腰三角形．
4．C
【分析】根据三角形的外心的定义（三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点）即可得．
【详解】解：三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外心，熟记定义是解题关键．
5．C
【分析】根据等边对等角先求解 再求解 结合尺规作图可得平分 从而可得答案．
【详解】解： ，

由作图可得：
由作图可得：是的角平分线，

故选C
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的作图，掌握“等腰三角形的等边对等角”是解本题的关键．
6．B
【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解．
【详解】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝7x°，
∵∠B＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴7x+7x+x＝90，
解得：x＝6，
∴∠C＝7×6°＝42°，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．
7．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE=AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8．A
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，再由S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．
【详解】解：作DF⊥AC于F，如图：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=3，
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴，
∴AC=4．
故选：A．


【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
9．D
【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵P到∠A的两边的距离相等，
∴P在∠A的角平分线上；
∵PA＝PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
10．C
【分析】如图，证明∠DFB=∠DEB，此为解决问题的关键性结论；求出∠DEB=130°，即可解决问题．
【详解】过点作，

如图,DF=DF′=DE；
∵BD平分∠ABC，


,
,


△BDE≌△BDF，
∴∠DFB=∠DEB；
∵DE∥AB,∠ABC=40°，
∴∠DEB=180°−40°=140°；
∴∠DFB=140°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=40°.
故选：C
【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的判定与性质．
11．D
【分析】根据线段垂直平分线的性质，，则，再由平分，得．从而得出答案．
【详解】解：、，且，
，
又平分，
，
故．正确，不符合题意；
、在与中，，，
根据三角形内角和定理．正确，不符合题意；
、，且，
∴EB=EA
，正确，不符合题意；
、不一定成立，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
12．D
【分析】根据角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的性质结合图形进行解答即可．
【详解】A.在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故该选项正确，
B.到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆，故该选项正确，
C.到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，故该选项正确；
D.等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（BC的中点除外），故该选项错误，
故选D．
【点睛】本题考查的是点的轨迹，掌握角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13．D
【分析】根据全等三角形的判定定理依次判断．
【详解】解：A、一个锐角和一条斜边分别对应相等的两个直角三角形可以根据AAS判定全等，故不符合题意；
B、两条直角边分别对应相等的两个直角三角形可以根据SAS判定全等，故不符合题意；
C、一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形可以根据HL判定全等，故不符合题意；
D、两个锐角分别对应相等的两个直角三角形根据AAA不能判定全等，故符号题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，判定定理有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，熟记判定定理是解题的关键．
14．C
【分析】在Rt△CDB中，利用含30度角的直角三角形的性质求得CB的长，再在Rt△ACB中，利用含30度角的直角三角形的性质求得AB的长，即可求得AD的长
【详解】如图，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，又CD是高，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD=4(cm)，
∵∠A=30°，
∴AB=2BC=8(cm)，
∴AD= AB- BD=6(cm)，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
15．A
【分析】根据勾股数可直接进行求解．
【详解】解：A、，所以不是勾股数，故符合题意；
B、，所以是勾股数，故不符合题意；
C、，所以是勾股数，故不符合题意；
D、，所以是勾股数，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．
16．D
【分析】利用勾股定理逆定理即可知①能确定是直角三角形，再根据三角形内角和为，可求出②③④中分别有一个角等于，所以②③④也能确定是直角三角形．
【详解】①．，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，故①能确定．
②．∵，即，
∴．
∴是直角三角形，故②能确定．
③．∵，，
∴，即．
∴是直角三角形，故③能确定．
④．，设，则，，
∵，即，
解得，
∴，
∴是直角三角形，故④能确定．
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，根据勾股定理逆定理和利用三角形内角和等于来求出其中一个角为即判定该三角形为直角三角形是解答本题的关键．
17．B
【分析】利用勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案．
【详解】∵AC＝6m，BC＝3m，
∴AB＝＝＝3m，
∵AC′＝6m，B′C′＝m，
∴AB′＝＝＝m，
∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；
故选：B．
【点睛】考查了二次根式的应用和勾股定理，解题关键是根据已知条件求出AB和AB′的长度．
18．有两个角相等的三角形是等腰三角形；
【分析】先找到原命题的题设和结论，在将题设和结论互换，即可得到答案．
【详解】解：原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是：“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”．
【点睛】本题考查命题的转化，准确找到命题的题设和结论进行转化是解题的关键．
19．9
【分析】根据角平分线的性质，可得∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，根据平行线的性质，可得∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，进而可知∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，由等角对等边得EO＝BE，OF＝FC，然后计算三角形的周长即可．
【详解】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，
∴EO＝BE，OF＝FC，
∴的周长为，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边．解题的关键在于明确EO＝BE，OF＝FC．
20．74
【分析】连接BD，由题意易得BD=CD=AB，然后可得∠DBC=∠C=37°，进而根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：

∵DE垂直平分BC，AB=CD，
∴BD=CD=AB，
∵∠C=37°，
∴∠DBC=∠C=37°，
∴∠ADB=2∠C=74°，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB=74°，
故答案为74．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
21．底边BC的垂直平分线（除底边中点外）
【分析】由等腰三角形三线合一的性质可以确定答案．
【详解】在已知线段BC的等腰三角形ABC中，根据等腰三角形三线合一的性质，顶点A必在底边BC的垂直平分线上．
故答案为：底边BC的垂直平分线（除底边中点外）．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质并运用是解题的关键．
22．以A为圆心，6cm为半径的圆
【分析】到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，据此解题即可．
【详解】根据圆的定义，到点A的距离等于定长6cm的点的轨迹是以点A为圆心,6cm为半径的圆，
故答案为：以点A为圆心，6cm为半径的圆．
【点睛】本题考查点的轨迹、圆的定义，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
23．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，根据角平分线性质求出，然后通过证明是等边三角形得出，由三角形内角和定理即可求解．
【详解】证明：过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，则，
∵，
∴,
∵EF是的中线，
∴，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD=2，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
故答案为：30．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质的应用及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是做辅助线证明是等边三角形，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
24．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得DF=BE，最后根据直角三角形30度的性质得AC=AE，从而得出，即可得出答案．
【详解】证明：如图，联结CE，

∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE,∠EDB=90°，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=30°，
Rt△EDB中，∵F是BE的中点，
∴DF=BE，
Rt△ACE中,∵∠AEC=30°，
∴AC=AE，
∴AC=DF=4．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及30°所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本性质得出线段关系是解题的关键．
25．
【分析】取BD中点E，连接AE，过点A作，垂足为H．根据△ABC的面积计算出，再根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，推导，同时由，可知，借助“30°角所对直角边是斜边的一半”可知，进而得到，然后整理即可得到y与x之间的函数解析式．
【详解】解：取BD中点E，连接AE，过点A作，垂足为H，

根据题意，，即，
解得，
∵在中，AD⊥AB，E为BD中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，，
即有，整理得．
∴y与x之间的函数解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形面积的求解方法、直角三角形中斜边上的中线性质、30°角所对直角边是斜边的一半等知识，解题关键是准确作出辅助线，掌握三角形面积的求解方法．
26．12
【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出斜边AB，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】作图，E是斜边AB中点，CD⊥AB于D，如图所示：

∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CE是△ACB中线，CE=4，
∴AB=2CE=8，
∴△ACB的面积是×AB×CD=×8×3=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质和三角形面积的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
27．
【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用直角三角形的性质、勾股定理可得的长，从而可得的长，再在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，

在中，，
，
，
，
则在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题关键．
28．
【分析】连接、，根据勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】解：连接、，如下图：

由勾股定理得，，，
，，
∵，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，为直角三角形，
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理．
29．/
【分析】先说明△AFD′≌△CFB可得BF＝D′F，设D′F＝x，在Rt△AFD′中根据勾股定理求得x，再根据AF＝AB−BF求得AF，勾股定理求得，最后根据周长公式求解即可．
【详解】解：由于折叠可得：AD′=BC，∠D′=∠B，
又∵∠AFD′=∠CFB，
∴△AFD′≌△CFB（AAS），
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8−x，
在Rt△AFD′中，（8−x）2＝x2＋42，解得：x＝3，
∴AF＝AB−FB＝8−3＝5，

在中,
∴重叠部分的图形的周长为
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的正确运用，在直角三角形AFD′中运用勾股定理求出BF的长是解答本题的关键．
30．5．
【分析】根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB=
【详解】A. B两点间的距离为：AB== =5,
故答案为5,
故答案是：5.
【点睛】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式．
31．或
【分析】根据两点间距离公式得到，由于C在x轴上，则b=0，然后根据勾股定理得到，在解一元二次方程即可
【详解】解：
因为∠ACB=90°，C点在x轴上，
所以
即，整理得，
解得
所以点C坐标为（-4,0）或（1,0）
【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理
32．证明见详解．
【分析】根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.
【详解】证明：在△ABE和△ACD中，
∵,
△ABE≌△ACD (ASA)，
∴AE=AD，
∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
33．见解析
【分析】由边角边证得△ABC≌△DEF，得到∠ACB=∠DFE，由同位角相等两直线平行即可得证.
【详解】证明：在△ABC和△DEF中，
，
所以△ABC≌△DEF（SAS），
所以∠ACB=∠DFE，
所以AC∥DF.
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，要牢固掌握并灵活运用这些知识．
34．（1）可构造如下几个命题：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）证明见解析．
【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．
【详解】解：（1）有：如果那么；
如果那么；
如果，那么；
（2）如图：

∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
∴如果那么为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
∴如果那么为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
∴如果，那么为真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
35．见解析．
【分析】先根据已知画出图形，再结合图形写出已知，求证，然后再根据已知和图形进行证明．可根据等腰三角形的性质得出相关的等角或相等的线段：，，，可证明，所以，即等腰三角形的两腰上的中线相等．
【详解】已知：如图所示，中，，、为的中线，

求证：．
证明：，
∴，
又∵、为的中线，即，，
，．
，
．
．
即等腰三角形的两腰上的中线相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；命题证明的步骤是：先根据题意画出图形，再根据图形写出已知和求证，最后写出证明过程．
36．详见解析
【分析】延长，交于点，根据在Rt△BEF中，∠EBF+∠F=90°，在Rt△ACF中∠FAC+∠F=90°，可得∠EBF=∠FAC，进而可证≌，可得，易证≌，可得，即，所以.
【详解】解：延长，交于点，

∵，，，
∴．
∵在和中，，
∴≌（ASA）．∴．
∵在和中，，
∴≌（ASA）．∴，即．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形证明中与等腰三角形三线合一相关的辅助线，如果一个题目中一条线段既是高线又是角平分线，那么我们可以将这个高线和角平分线所在的三角形补全，即可证得等腰三角形，就可以利用这些条件构造全等.
37．证明见解析
【分析】过点作交于，根据平行的性质可得，再根据等边对等角可得，进而得到，再根据等角对等边可得BE=GE，从而得到GE=CF，利用AAS证得，根据全等三角形的性质可得DE=DF.
【详解】证明：过点作交于，
∴，
∵
∴
∴
∴．
又∵
∴．
∵在和中
，
∴（AAS）．
∴．

【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形的判定与性质，构造出全等三角形是解答本题的关键.
38．详见解析
【分析】在线段上取，连接，易证≌，可得，因为得，∠D+∠C=180°，再根据邻补角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C，可证≌，可得BC=BF，再进行等量代换即可得出答案.
【详解】解：在线段上取，连接，

在与中，，
∴≌（SAS）．
∴．
由又可得，
∴．
又，
∴．
在与中，，
∴≌（AAS）．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形证明中辅助线其中一种截长补短的方法，在遇到两条线段和等于第三条线段的时候可用截长补短构造全等三角形，即在较长的线段上截取某条较短线段长度，或者延长一条较短线段长度使之等于另一条线段长度.
39．见解析
【分析】首先延长FE至Q，使EQ＝EF，连接CQ，利用证明，再利用全等三角形的性质，得出BF＝CQ，∠BFE＝∠Q，然后再根据角平分线的定义，得出∠CAD＝∠BAD，然后再利用平行线的性质，得出∠CAD＝∠G，∠BAD＝∠GFA，根据等量代换，得出∠G＝∠GFA，再根据对顶角相等，得出∠GFA＝∠BFE，又因为∠BFE＝∠Q，根据等式的传递性，得出∠G＝∠Q，进而利用等角对等边，得出CQ＝CG，又因为CQ＝BF，利用等式的传递性，即可得出结论．
【详解】证明：延长FE至Q，使EQ＝EF，连接CQ，
∵E为BC边的中点，
∴BE＝CE，
在△BEF和△CEQ中
∵，
∴，
∴BF＝CQ，∠BFE＝∠Q，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵EFAD，
∴∠CAD＝∠G，∠BAD＝∠GFA，
∴∠G＝∠GFA，
∴∠GFA＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠Q（已证），
∴∠G＝∠Q，
∴CQ＝CG，
∵CQ＝BF，
∴BF＝CG．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质、对顶角相等，解本题的关键在正确作出辅助线．
40．（1）①见解析；②见解析；（2）．
【分析】（1）①利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，
②由（1）得，CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；
（2）进行分类讨论，证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，根据位置不同可得结论．
【详解】（1）①∵，，
∴．
∵，
∴，．
∴．
在和中，
，
∴≌（AAS）．
②由（1）知：≌，
∴，．
∵，
∴．
（2）．
绕点旋转到图（2）的位置时，．
绕点旋转到图（3）的位置时，．
绕点旋转垂直于时，，
综合以上得．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
41．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，推出∠DAC＝∠EBC，即可证明△AEF≌△BEC；
（2）根据AF＝BC，AF＝2BD，推出D是BC的中点，利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等推出AB＝AC，利用等腰三角形三线合一的性质即可求证AD平分∠BAC．
【详解】（1）解：∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°
∴∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°
∴∠DAC＝90°﹣∠C，∠EBC＝90°﹣∠C
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（ASA）；
（2）解：由（1）知，AF＝BC，
∵AF＝2BD，
∴BC＝2BD，
∴D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD⊥BC，
∴AB=AC
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一的性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解答本题的关键．
42．作图详见解析.
【分析】因为点P满足PC=PD 所以点 P在线段CD的垂直平分线上， 又P到∠AOB两边的距离相等 ，所以点P在∠AOB或∠AOB补角的角平分线上.
【详解】解：根据题意作图，得

其中，点P和点P’即为所求
43．见解析
【分析】欲证明BE=CF，只要证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；
【详解】证明：∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF.
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题关键在于掌握判定定理.
44．见解析
【详解】先根据线段垂直平分线的性质得：AE＝BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．
【解答】证明：联结AE，
∵DE是AB的垂直平分线（已知），
∴AE＝BE，∠EDB＝90°（线段垂直平分线的性质），
∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等边对等角），
∴∠AEC＝30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
Rt△EDB中，
∵F是BE的中点（已知），
∴DF＝BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），
∴AC＝AE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴AC＝DF（等量代换）．

【点睛】本题考查中垂线的性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30°角所对的边与斜边之间的关系，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
45．234
【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积直角的面积．
【详解】解：连接如图所示：

，，，
；
在中，
，，，
，即，
是直角三角形．




；
即绿地的面积为234．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键．