广东省广州市花都区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（原卷版）

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1. 下列标志图形属于轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，判断即可．
【详解】解：在△ABC中，AB=4，BC=7，
则7-4＜AC＜7+4，即3＜AC＜11，
∴边AC的长可能是4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边．
3. 新型冠状病毒是冠状病毒的一种，该病毒是一种单链RNA病毒，侵入人体后可引起上下呼吸道感染，主要症状为发热、乏力、干咳．新型冠状病毒的直径平均约为100纳米，合约0.0000001米，用科学记数法表示0.0000001米为（ ）
A. ﹣1×106米B. ﹣1×107米C. 1×10﹣6米D. 1×10﹣7米
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000001米=1×10-7米．
故选：D．
【点睛】此题主要考查用科学记数法表示较小的数，关键是掌握科学记数法表示较小的数的方法．
4. 已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于（ ）
A. 72°B. 60°C. 50°D. 58°
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：由于两个三角形全等，
∴∠1＝180﹣50°﹣72°
＝58°，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，属于基础题型．解答本题的关键是熟练运用全等三角形的性质
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. 3x3+2x2＝5x2B. a•a2＝a3
C. 3a6÷a3＝3a2D. （ab）3＝a3b
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，整式的除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：A、3x3与2x2不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a•a2=a3，故B符合题意；
C、3a6÷a3=3a3，故C不符合题意；
D、（ab）3=a3b3，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，整式的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
6. 计算（2x+1）（x﹣5）的结果是（ ）
A. 2x2﹣9x﹣5B. 2x2﹣9x+5C. 2x2﹣11x﹣5D. 2x2﹣11x+5
【答案】A
【解析】
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算即可．
【详解】解：（2x+1）（x-5）
=2x2-10x+x-5
=2x2-9x-5，
故选：A．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是运算过程中注意符号的变化．
7. 一个凸多边形的内角和与外角和之比为2：1，则这个多边形的边数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】设多边形有n条边，则内角和为180°（n-2），再根据内角和等于外角和2倍可得方程180（n-2）=360×2，再解方程即可．
【详解】解：设多边形有n条边，由题意得：
180（n-2）=360×2，
解得：n=6，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n-2）．
8. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝8cm，BD：CD＝3：4，则点D到AC的距离为（ ）cm．
A. 3B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可先求得BD的长，再根据角平分线的性质可知D到AC的距离等于BD，可得到答案．
【详解】解：∵BC=8cm，BD：CD=3：4，
∴BD=cm，
∵AD平分∠BAC，∠B=90°，
∴D到AC的距离等于BD，
∴D点到线段AC的距离为cm，
故选：D．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
9. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（3﹣n，﹣m+1），则（m﹣n）2022的值为（ ）
A. 32022B. ﹣1C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】利用轴对称的性质构建方程组，求出m，n，可得结论．
【详解】解：∵E（2m，-n），F（3-n，-m+1）关于y轴对称，
∴，
解得，，
∴（m-n）2022=（-4+5）2022=1，
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
10. 如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7．
【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）.
11. 若分式有意义，则应满足的条件是____．
【答案】x≠3
【解析】
【分析】若分式有意义，则分式的分母，求解即可．
【详解】若分式有意义，
则，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不为零．
12. 计算＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先化简各数，然后再进行计算即可．
【详解】解：
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
13. 如图，已知∠1＝∠2，要判定△ABD≌△ACD，请你添加一个条件是 _____．（写出一个即可）
【答案】AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠ADC
【解析】
【分析】判断△ABD≌△ACD，已知条件是：∠1=∠2，AD=AD，根据全等三角形的判定定理即可确定．
【详解】解：判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠1=∠2，AD=AD，
因而根据SAS，可以添加条件：AB=AC；
根据AAS，可以添加条件：∠B=∠C；
根据ASA可以添加∠ADB=∠ADC．
故答案是：AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠ADC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解判定方法是关键．
14. 如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE＝6，S△ABD＝15，则CD＝_____．
【答案】5
【解析】
【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD的长，再由中线的定义可得CD=BD，从而得解．
【详解】解：∵S△ABD=15，AE是BC边上的高，
∴BD•AE=15，
则×6BD=15，
解得：BD=5，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD的长．
15. 已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高夹角为20°，则这个等腰三角形的顶角为 _____°．
【答案】70或110
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，画出图形分两种情况讨论即可解决问题．
【详解】解：①∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BDC-∠ABD=90°-20°=70°；
②∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=20°+90°=110°．
故答案为：70或110．
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．
16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD；③S四边形ABCD＝AC•BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，则MN＝AM+CN，其中正确的结论有 _____．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】由“筝形”的性质可得AB=BC，AD=CD，可证△ABC是等边三角形，故①正确；由“SSS”可证△ABD≌△CBD，可得∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，由直角三角形的性质可得BD=2AD，故②正确；由面积关系可求S四边形ABCD=×AC×BD，故③错误；延长BC到E，使CE=AM，连接DE，由“SAS”可证△MDN≌△EDN，可得MN=EN，由线段和差关系可得MN=AM+CN，故④正确，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是“筝形”四边形，
∴AB=BC，AD=CD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，故①正确；
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∵AD=CD，∠ADC=120°，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠DAB=90°，
∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，
∴BD=2AD，故②正确；
∵∠DOC=∠DAC+∠ADB=60°+30°=90°，
∴AC⊥BD，
∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB，
∴S四边形ABCD=×AC×OD+×AC×OB=×AC×BD，故③错误；
延长BC到E，使CE=AM，连接DE，如图所示：
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠DAB=∠DCE=90°，
又∵AM=CE，AD=CD，
∴△ADM≌△CDE（SAS），
∴∠ADM=∠CDE，DM=DE，
∵∠ADC=120°，
∵∠MDN=60°，
∴∠ADM+∠CDN=∠ADC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠CDN=∠EDN=60°，
∴∠EDN=∠MDN，
又∵DN=DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN，
∵EN=CE+CN=AM+CN，
∴AM+CN=MN，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17. 解方程：．
【答案】x=-6
【解析】
【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【详解】解：，
3x=2（x-3），
3x=2x-6，
3x-2x=-6，
x=-6，
经检验，x=-6是方程的根，
∴原方程的解为x=-6．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．
18. 因式分解：ab2﹣4a．
【答案】a（b+2）（b-2）
【解析】
【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：ab2-4a．
=a（b2-4）
=a（b+2）（b-2）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
19. 如图，AB⊥AC，CD⊥BD，AB＝DC，AC与BD交于点O．求证：OB＝OC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCB，可得∠DBC=∠ACB，可得OB=OC．
【详解】解：证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠DBC=∠ACB，
∴OB=OC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AD、BE分别是∠BAC与∠ABC的平分线，并交于点H．
（1）若DC＝2，则AD＝ ；
（2）∠AHB度数．
【答案】（1）4 （2）135°
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠CAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可；
（2）根据角平分线的定义分别求出∠DAB、∠EBA，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
小问1详解】
解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，DC=2，
∴AD=2CD=2×2=4，
故答案为：4；
【小问2详解】
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
则∠ABC=30°，
∵AD、BE分别是∠BAC与∠ABC的平分线，
∴∠DAB=∠CAB=30°，∠EBA=∠ABC=15°，
∴∠AHB=180°-∠DAB-∠EBA=180°-30°-15°=135°．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
21. 已知：．
（1）化简A；
（2）当a3＝8时，求A的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）原式中被减式的分子分母进行因式分解后约分化简，然后再按照同分母分式减法运算法则进行计算；
（2）利用立方根的概念求得a的值，然后代入求值即可．
【21题详解】
解：原式=
=
=
=
∴化简A的结果为；
【22题详解】
∵a3=8，
∴a==2，
∴原式==1，
即A的值为1．
【点睛】本题考查分式的化简求值，理解立方根的概念，掌握利用公式法进行因式分解是解题关键．
22. 我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）△BDC是黄金三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）作∠ABC的角平分线，交AC于点D；
（2）由角平分线的定义得∠ABD=∠CBD=36°，再由等腰三角形的性质得∠ABC=∠C=72°，然后证证∠BDC=∠C，则BD=BC，即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示，BD即为所求；
【小问2详解】
△BDC是黄金三角形，理由如下：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-36°）=72°，
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴△BDC是黄金三角形．
【点睛】本题考查了黄金三角形的判定、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
23. 某校推行“新时代好少年•红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资10000元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了10%，实际总投资为15400元，并比原计划多建设了2间党史“读书吧”．
（1）原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？
（2）该校实际共建设了多少间青少年党史“读书吧”？
【答案】（1）2000
（2）7
【解析】
【分析】（1）设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是x元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用是（1+10%）x元，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据总价÷单价=间数，可得结论．
【小问1详解】
解：设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是x元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用为（1+10%）x元，
根据题意得：，
解得：x=2000，
经检验：x=2000是原方程的解，
答：原计划每间党史“读书吧”的建设费用是2000元；
【小问2详解】
由题意可得：，
答：该校实际共建设了7间青少年党史“读书吧”．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
24. 如图1，有A型、B型、C型三种不同形状纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）12 （3）
【解析】
【分析】（1）由观察图2可得两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）由题意得，a2+2ab+b2=49，a2+b2=25，两个等式作差可求得此题结果；
（3）由题意得=，从而可解得此题结果．
【小问1详解】
解：用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，
关于a，b的等式（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2=a2+2ab+b2；
【小问2详解】
由题意得，（a+b）2=a2+2ab+b2=49，a2+b2=25，
∴ab==12；
【小问3详解】
由题意得图3中阴影部分的面积为：==，
∴当a+b=8，ab=15时，
图3中阴影部分的面积为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行变式应用．
25. 如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．
（1）当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
（2）已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
（3）若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝ °；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）60°-α
（3）①30；②QB=2QP+QC
【解析】
【分析】（1）由CE平分∠ACD，得∠ACE=60°，从而证明∠BAC=∠ACE，则AB∥CE；
（2）首先利用SAS证明△ACP≌△FCP，得AC=CF，从而有BC=CF，∠BFC=∠CBF=（180°−∠BCF）=（180°−∠ACB−∠ACE−∠ECF），代入即可得出答案；
（3）①根据角之间的转化可得∠AFB=∠AFC-∠BFC=∠CAP-∠BFC，代入化简即可；
②过C作CN⊥BF于N，得∠NCQ=∠AFB=30°，从而有QC=2QN，QF=2QP，由BN=FN，得QB=QF+2QN，从而解决问题．
【小问1详解】
解：证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=BC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=120°，∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE；
【小问2详解】
如图，
∵点A关于直线CE的对称点为F，
∴CE⊥AF，AP=PF，
∴∠APC=∠FPC=90°，
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△FCP（SAS），
∴AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，
∴BC=CF，
∴∠BFC=∠CBF=（180°−∠BCF）=（180°−∠ACB−∠ACE−∠ECF），
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠BFC=（180°−∠ACB−∠ACE−∠ECF）=60°-α；
小问3详解】
①∠AFB=∠AFC-∠BFC
=∠CAP-∠BFC
=180°-∠CPA-∠ACE-∠BFC
=90°-α-∠BFC
=90°-α-（60°-α）
=30°，
故答案为：30；
②QB=2QP+QC，理由如下：
过C作CN⊥BF于N，
∴∠NCQ=∠AFB=30°，
∴QC=2QN，QF=2QP，
∵BC=CF，
∴BN=FN，
∴QB=QF+2QN，
∴QB=2QP+QC．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，平行线判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，利用角之间的转化是解题的关键．