广东省广州市黄埔区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（原卷版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
【详解】解：A、不是轴对称图形，故该项符合题意；
B、是轴对称图形，故该项不符合题意；
C、是轴对称图形，故该项不符合题意；
D、是轴对称图形，故该项不符合题意；
故选：A
【点睛】此题考查轴对称图形的概念，对于轴对称图形的判断问题，应严格把握定义中的对折、重合两个方面；对于轴对称图形的概念要从以下几个方面正确理解：轴对称图形中至少有一条对称轴；对称轴两旁的部分是指同一图形的两部分，而不是两个图形；这个图形在对称轴两侧的部分能够完全重合．
2. 已知点A坐标为（3,-2）,点B与点A关于x轴对称，则点B的坐标为 ( )
A. （-3,-2）B. （-3,2）C. （2,-3）D. （3, 2）
【答案】D
【解析】
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【详解】解：∵点A(3，-2)关于x轴对称点B，
∴点B的坐标为(3，2).
故选D.
【点睛】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
3. 下列运算正确的是( )
A. (x3)2＝x5B. (－x)5＝－x5
C. x3·x2＝x6D. 3x2＋2x3＝5x5
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项的法则逐项进行计算即可得．
【详解】解：A、原式=x6，故选项错误，不符合题意；
B、原式=-x5，故选项正确，符合题意；
C、原式=x5，故选项错误，不符合题意；
D、3x2与2x3不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，解题的关键是熟练掌握各运算的运算法则．
4. 下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的概念依次判断即可．
【详解】，形式为，且B中含有字母，是分式；
，形式为，但B中不含字母，不是分式；
，形式为，且B中含有字母，是分式；
，形式为，且B中含有字母，是分式；
故一共有3个分式．
故选C
【点睛】本题主要考查了分式的定义：形如，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常数，不是字母．掌握分式的定义是解题的关键．
5. 图中的两个三角形全等，则∠等于（ ）
A. 65°B. 60°C. 55°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∠α是边a、边c的夹角，
∴∠α=180°-65°-60°=55°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6. 下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：A. 不能用平方差进行计算，故不符合题意
B. 不能用平方差进行计算，故不符合题意
C. 能用平方差公式进行计算的是，
D. 不能用平方差进行计算，故不符合题意
故选：C．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
7. 已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ）
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
【答案】C
【解析】
【详解】多边形内角和公式为（n－2）×180°，
根据题意可得：（n－2）×180°=900°，
解得：n=7．
故选C
8. 等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A. 7cmB. 3cmC. 7cm或3cmD. 8cm
【答案】B
【解析】
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【详解】解：当长是3cm的边是底边时，
三边为3cm，5cm，5cm，
等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，
底边长是：13－3－3＝7cm，
而3＋3＜7，不满足三角形的三边关系．
故底边长是：3cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
9. 如图，，∠A=45°，∠C=∠E，则∠C的度数为（ ）
A. 45°B. 22.5°C. 67.5°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质可以得出∠DOE的度数，又根据三角形的外角定理和∠C=∠E，即可得出正确选项．
【详解】∵，∠A=45°
∴∠DOE=∠A=45°
∵∠C=∠E，∠C+∠E=∠DOE
∴
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，灵活运用性质是本题的关键．
10. 如图，，点D在BC边上．若∠EAB＝50°，则∠ADE的度数是（ ）
A. 50°B. 60°C. 65°D. 30°
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠EAD，于是可得∠DAC＝∠EAB，代入即可．
【详解】解：△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠EAB＋∠BAD ＝∠DAC＋∠BAD，
∴∠DAC＝∠EAB＝50°，
∵AD＝AC
∴∠ADC＝∠C＝∠ADE＝
故选C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分满分18分．）
11. 计算：（1）x2•x6＝_____；（2）a2n•an+1＝_____；（3）（﹣2）×（﹣2）2×（﹣2）3＝_____．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】（1）利用同底数幂的乘法的法则，进行运算即可；
（2）利用同底数幂的乘法的法则，进行运算即可；
（3）利用同底数幂的乘法的法则，进行运算即可．
【详解】（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝．
故答案为：；；．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法的法则，掌握同底数幂的乘法的法则是解题的关键．
12. 计算：（1）_____；（2）_____；（3）_____．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】（1）利用积的乘方法则计算可得；
（2）利用单项式乘单项式的乘法法则计算可得；
（3）利用幂的除法法则计算可得．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查幂的运算的理解与运用能力，单项式与单项式的乘法．幂的乘法法则：；幂的除法法则：（，，均为正整数，并且）．幂的乘方法则：（为正整数）．熟练掌握幂的运算法则是解本题的关键．
13. 分解因式：（1）ax+ay＝_____；（2）＝_____；（3）＝_____．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】（1）利用提取公因式进行分解因式即可；
（2）利用完全平方公式法分解因式；
（3）利用平方差公式法分解因式．
【详解】解：（1）ax+ay＝；
（2）；
（3）．
故答案为: ;;．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
14. 已知△ABC的面积为10，D为AC中点，则△ABD的面积为 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】根据三角形中线的性质求解即可．
详解】解：如图,
∵△ABC中，D为AC中点，
∴BD是AC边上的中线，
∴S△ABD=S△CBD=S△ABC=，
故答案为5．
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质：三角形的任意一条中线将原三角形分成的两个三角形面积相等，掌握这一性质是解题的关键．
15. 已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为_______．
【答案】10
【解析】
【详解】试题分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以PD=PE=10．
考点：角平分线的性质定理．
16. 如图，在锐角△ABC中，BC=4，∠ABC=30°，∠ABD=15°，直线BD交边AC于点D，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】作点关于BD的对称点M，连接CM，当时．此时PQ+PC取得最小值．
【详解】解：∵∠ABC=30°，∠ABD=15°，
∴BD是∠ABC的平分线，
作点关于BD的对称点M，连接PM、CM，
由对称的性质可知，,
∴，
∵,
∴,
∵,
∴M在AB上,
由垂线段最短可知：当时．取得最小值，
∴此时PQ+PC也取得最小值．
∵，
∴，
∵,
∴,
∴PQ+PC的最小值为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题、的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 尺规作图：如图，已知△ABC，作BC边的垂直平分线交AB于点D，连接DC．（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】分别以B、C为圆心，以大于BC的二分之一的长为半径画弧，两弧两两相交然后连接两弧的交点，交AB于点D，连接DC即可．
【详解】如图：
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的作法，关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方法．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先利用平方差公式、整式的乘法法则，再合并同类项对式子进行化简；将代入最简式中计算即可得出结果．
【详解】原式．
当，．
【点睛】本题考查整式的混合运算化简求值的运算能力．在解题过程中，要把原式化到最简，再把数值代入最简式中进行计算是解本题的关键．
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】原式括号中两项通分后利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果．
【详解】解：原式=
=
=
=
=
=
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．
20 计算：．
【答案】x＝
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、解整式方程、验根得结论即可．
【详解】解：将整理得，
方程两边同乘以x（x＋1）得15x＋2＝3x，
解得x＝，
检验：当x＝时，x（x＋1）0，
因此，x＝是原分式方程的解，
所以，原分式方程的解为x＝．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，牢记验根是解决分式方程问题的关键．
21. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点与点E都是格点．
（1）作出四边形ABCD关于直线AC对称的四边形AB′CD′；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）若在直线AC上有一点P，使得P到D、E的距离之和最小，请作出点P的位置．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）分别作出两点关于直线的对称点，连接,四边形AB′CD′即为所求四边形；
（2）根据网格的特点，S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD即可求得答案；
（3）连接与直线交于点，由，可得P到D、E的距离之和最小，则点即为所求作的点．
【详解】（1）如图，分别作出两点关于直线的对称点，连接,四边形AB′CD′即为所求四边形；
（2）S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD= =9；
（3）如图, 连接与直线交于点，由，可得P到D、E的距离之和最小，则点即为所求作的点；
【点睛】本题考查了轴对称作图，轴对称的性质，求网格中四边形的面积，掌握轴对称的性质是解题的关键．
22. 已知正实数x、y，满足（x+y）2＝25，xy＝4．
（1）求x2+y2的值；
（2）若m＝（x﹣y）2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．
【答案】（1）17 （2）±12
【解析】
【分析】（1）依据完全平方公式可知即可求解；
（2）由题意可知m的值，再依据完全平方公式的特点可求n的值
【小问1详解】
∵，
∴，
∴=17．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴是完全平方式，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于要理解它的特征，灵活运用．
23. 为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用4000元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用6400元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜5元．问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？
【答案】第一批口罩每包的价格是25元，公司前后两批一共购进480包口罩
【解析】
【分析】设第一批口罩每包的价格是x元，则第二批口罩每包（x−5）元，根据数量＝总价÷单价，结合第二批口罩的数量是第一批的2倍，即可得出关于x的分式方程，解出检验后即可得出结论．
【详解】解：设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包元．根据题意，得
．
解得．
经检验，是所列方程的根．
则（包）．
答：第一批口罩每包的价格是25元，公司前后两批一共购进480包口罩．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，抓住第二批口罩的数量是第一批的2倍，找到相等关系是解决问题的关键．
24. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）求证：；
（2）测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想；
（3）在“筝形”ABCD中，已知AC=6，BD=4，求“筝形”ABCD的面积．
【答案】（1）见解析 （2）OB=OD、
（3）12
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可；
（2）测量得出OB=OD、，故猜想：OB=OD、，根据垂直平分线的判定和性质即可得出证明；
（3）根据进行计算即可．
【小问1详解】
证明：△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC，
【小问2详解】
猜想：OB=OD、，证明如下：
∵AB=AD，BC=DC，
∴在的垂直平分线上，
∴,平分，
∴，OB=OD，
∴，OB=OD，
【小问3详解】
∵
∴
=
=
=
=
=
∴“筝形”ABCD的面积为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质,垂直平分的判定和性质，“筝形”的面积求法,掌握以上知识点是解题的关键．
25. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC上一点，DE、AE分别为∠ADC、∠DAB的平分线．
（1）∠DEA＝ ；（需说明理由）
（2）求证：CE＝EB；
（3）探究CD、DA、AB三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）90°；
（2）见详解； （3）CD+AB=DA．
【解析】
【分析】（1）由∠B=∠C=90º可得CD∥AB，再由平行线的性质和角平分线的性质可得∠EDA+∠DAE=90º，因此∠DEA=90º．
（2）作EF丄AD于F，由角平分线的性质定理可得EC=EF=EB，结论得证．
（3）先由HL证明Rt△DCE≌Rt△DFE，因此得DC=DF，同理可证AF=AB，结论得证．
【小问1详解】
解：∵∠B=∠C=90º，
∴∠B+∠C=180º，
∴AB∥CD，
∴∠ADC+∠DAB=180º．
∵DE、AE分别为∠ADC、∠DAB的平分线，
∴∠EDA=∠ADC，∠DAE=∠DAB，
∴∠EDA+∠DAE=（∠ADC + ∠DAB ）
=
=90°．
∴∠DEA=180º-(∠EDA+∠DAE)
=90º．
故答案为90°．
【小问2详解】
证明：作EF丄AD于F
∵DE平分∠ADC，且∠C=90º，EF丄AD，
∴CE=FE．
∵AE平分∠DAB，且∠B=90º，EF丄AD，
∴FE=EB，
∴CE=EB．
【小问3详解】
在Rt△DCE和Rt△DFE中

∴Rt△DCE≌Rt△DFE，
∴DC=DF．
同理可证：Rt△AFE≌Rt△ABE，
∴AF=AB，
∴CD+AB=DF+AF=AD．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．