2021-2022学年江苏省苏州市高新区九年级上学期数学第一次月考试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省苏州市高新区九年级上学期数学第一次月考试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下面四组线段中，成比例的是（ ）
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，D. ，，，
【答案】B
【解析】
【分析】根据成比例线段的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、2×5≠3×4，故此选项不符合题意；
B、1×4=2×2，故此选项符合题意；
C、4×10≠6×8，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，理解概念，熟练掌握成比例线段的判断方法：最小的与最大的相乘，另外的两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．
2. 已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．
【详解】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小．
3. 线段，是的黄金分割点，且，则的长度为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由黄金分割定义，得比例式PB2=AB•AP设BP=x，则AP=8-x代入得方程解方程求出即可．
【详解】解：线段，是的黄金分割点，且，
由黄金分割定义得：PB2=AB•AP，
设BP=x，则AP=8-x，
则，
整理得：，
解方程得，
∴，
．
故选择：．
【点睛】本题考查黄金分割，一元二次方程，方程的解法，掌握黄金分割的定义，会用黄金分割的定义列比例式，利用比例式构造一元二次方程，会解方程是解题关键．
4. 如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，EC交对角线BD于点F，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC，证得△DEF∽△BCF，由点E是AD的中点，得到，由此得到．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∵点E是AD的中点，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟记平行四边形的性质证得△DEF∽△BCF是解题的关键．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 等弦所对的弧相等B. 等弧所对的弦相等
C. 圆心角相等，所对的弦相等D. 弦相等所对的圆心角相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．
【详解】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；
B中，等弧所对应的弦相等，故选B
C中，圆心角相等所对应的弦可能互补；
D中，弦相等，圆心角可能互补；
故选B
【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握．
6. 下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似图形的定义解答即可．
【详解】解：A、B和C中的两个图形都是位似图形，
A中的位似中心是点C，
B中的位似中心是点O，
C中的位似中心是点O.
只有选项D的对应顶点的连线相不交于一点，对应边不互相平行，故D不是位似图像.
故选D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．
7. 已知P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有( )
A. 4个B. 8个C. 12个D. 16个
【答案】C
【解析】
【分析】应分为两种情况：①若这个点在坐标轴上，那么有四个；②若这个点在象限内，由，可知在每个象限有两个，总共12个．
【详解】试题分析：
分为两种情况；
①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（-5，0），（0，-5）；
②若这个点在象限内，
∵，而P都是整数点，
∴这样的点有8个，分别是（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4）），（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3）．
∴共12个，故选C．
考点：此题主要考查了点与圆的位置关系及勾股定理
点评：解答本题的关键是由题意得出分为两种不同的情况，再由勾股定理解决问题．
8. 如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（ ）
A. 1.2mB. 1.3mC. 1.4mD. 1.5m
【答案】A
【解析】
【分析】先根据△BFC∽BED，得，求出BC的长，从而得到AB的长，再根据△BGA∽△BFC，得，求出AG的长．
【详解】解：由题意可得：FC∥DE，
∴△BFC∽BED，
∴，即，解得：BC＝3m，
则AB＝54-3＝2.4m，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴，即，解得AG＝12m．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解．
9. 如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 以上都有可能
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC＝PB：CE，设PB＝x，则PC＝10﹣x，CE＝9时，所以x2﹣12x+36＝0，根据判别式的意义得到Δ＝0，即原方程只有一个实数根即可选出答案．
【详解】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∵∠DPC＝∠B+∠PDB，
即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB，
而∠DPE＝α，
∴∠EPC＝∠PDB，
而∠ABC＝∠ACB，
∴△PDB∽△EPC，
∴，
设PB＝x，则PC＝12﹣x，当CE＝9时，
∴，
∴x2﹣12x+36＝0，
∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，
∴点P有且只有一个，
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10. 如图，正方形中，为中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论：①；②为中点；③；④，其中结论正确的个数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】如图（见解析），过点作于点，先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用正切三角函数可得，从而可得，然后根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断①；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据角的和差可得，最后根据等腰三角形的判定可得，由此即可判断②；先根据上面过程可知，再根据相似三角形的判定即可判断③；设，从而可得，先利用勾股定理可得，再根据线段的和差可得，由此即可判断④．
【详解】解：如图，过点作于点，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，即，
，
，即，
，
又，
，结论①正确；
，
，
，
，
，
又，
，
，
，即为中点，结论②正确；
由上已得：，
，
在和中，，
，结论③正确；
设，则，
，
，
，
，
，结论④正确；
综上，结论正确的个数有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是判断①，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填写在答题卡相应位置上．
11. 在比例尺为的旅游地图上，某条道路的长为3cm，则这条道路的实际长度为__km．
【答案】1.14####
【解析】
【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺．代值计算即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：
3÷=114000（cm），
114000 cm =1.14 km．
故答案为：1.14．
【点睛】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位换算问题．
12. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由分式的运算法则进行计算，即可得到答案．
【详解】解：
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行计算．
13. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC_____BD（填“＞”“＜”或“=”）
【答案】=
【解析】
【分析】根据弧AB=弧CD，即有弧AB+弧BC=弧BC+弧CD，即弧AC=弧BD，因此AC与BD相等．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴AC=BD，
故答案为：=．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化．
14. 已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△的最短边为10，则△的周长是____
【答案】36
【解析】
【分析】由△ABC与△相似，可得：再把代入解方程即可得到答案．
【详解】解： △ABC与△相似，


经检验：符合题意；
故答案为：
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．
15. 如图，在中，，，，平分，，则的长是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】在中，由勾股定理求得，由平分，可得∠ABD=∠DBC再由，根据平行线的性质可得∠ADB=∠DBC，即可得∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定方法可得AB=AD=5．
【详解】在中，，，，
∴，
∵平分，
∴∠ABD=∠DBC，
∵，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了勾股定理、平行线的性质及等腰三角形的判定方法，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
16. 一块含有角的直角三角板按如图所示的方式放置，若顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】过点B作BD⊥OD于点D，根据△ABC为直角三角形可证明△BCD∽△CAO，设点B坐标为（x，y），根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】
过点B作BD⊥OD于点D，
∵△ABC为直角三角形，
∴，
∴△BCD∽△CAO，
∴，
设点B坐标为(x,y)，
则，
，
∴=
AC=2，
∵有图知，，
∴，
解得：，
则y=3.
即点B的坐标为.
故答案为
【点睛】本题考查了坐标与图形性质、相似三角形的判定及性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是要求出BC和AC的值和30度角的三角函数联系起来，作辅助线构造直角三角形为三角函数作铺垫．
17. 如图：中，，，，把边长分别为，，，的个正方形依次放在中：第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在△的各边上，其他正方形依次放入，则第2022个正方形的边长x2022为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质就可以求出第一个正方形的边长，同理求得其它正方形的边长，观察规律即可求得第n个正方形的边长，即可求解．
【详解】解：设第一个正方形的边长是，
∵∥AC，∥BC，
∴△△BAC，△△ABC，
则，
同理得到，
两式相加得到，
解得=，
同理求得：
第二个的边长是，
第三个的边长是，
…
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，考查了学生的观察归纳能力．解题的关键是数形结合思想与方程思想的应用．
18. 已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接.现有以下四个结论：①；②在点运动过程中，的面积始终不变；③连接，则；④不存在点，使得.其中正确的结论的序号是__________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】①由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b，并找出点C坐标，根据AC=3CD，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论；
②根据①得出A、C的坐标，由AB∥x轴找出B点的坐标，由此即可得出AB、AC的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论；
③已知B(,)，C(a,)，D(a,0)，E(0,)四点坐标，B、C、D、E四点坐标，经过B、C两点的直线斜率k1=，经过D、E两点的直线斜率k2=，得出，即
④先假设，得到对应边成比例，列出关于a的等式，看a是否有解，即可求解．
【详解】①∵A(a,b)，且A在反比例函数的图象上，
∴
∵AC∥y轴，且C在反比例函数的图象上，
∴C(a,)
又∵AC=3CD，
∴AD=4CD，即
∴k=2．
故①正确
②由①可知：A(a,)，C(a,)
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为，
∵点B在反比例函数的函数图象上，
∴，解得：x=，
∴点B(,)，
∴AB=a−=，AC=−=
∴S=AB×AC=××=
∴点A运动过程中，△ABC面积不变，始终等于
故②正确
③连接DE，如图所示
∵B(,)，C(a,)
∴经过B、C两点的直线斜率k1=
∵轴，轴
∴D(a,0)，E(0,)
∴经过D、E两点的直线斜率k2=
∴，即
故③正确
④假设
∴
∴
解得
∴当时，
故④错误
故答案为：①②③
【点睛】本题是反比例函数的综合题目，考查了反比例函数性质，相似三角形的性质，一次函数斜率求法．
三、解答题：本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上．
19. 解下列一元二次方程：
（1）x2+x＝0；
（2）x2﹣4x﹣7＝0．
【答案】（1），；（2），．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】解：（1），
，
或，
，；
（2），
，
，即，
，
，．
【点睛】本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键．
20. 已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由AB＝CD可得弧AB＝弧CD，则可得弧AC＝弧BD，从而证得结论．
【详解】解：∵AB＝CD
∴弧AB＝弧CD
∴弧AC＝弧BD
∴∠AOC＝∠BOD．
【点睛】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
21. 如图，在中，点在边上，.
（1）求证：；
（2）若求的长.
【答案】（1）见解析；（2）6
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．
（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴，即，
解得：AC=6.
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，属于基础题型．
22. 如图，O为原点，B，C两点坐标分别为(3，−1) ，(2，1)．
（1）以O为位似中心在y轴左侧将ΔOBC放大两倍，并画出图形；
（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
（3）已知M(x，y)为ΔOBC内部一点，写出M的对应点M′的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）B′（-6，2），C′（-4，-2）；（3）M′（-2x，-2y）．
【解析】
【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′即可；
（2）根据B′，C′的位置，写出坐标即可；
（3）探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，△OB′C′即为所求；
（2）如图所示：B′（-6，2），C′（-4，-2）；
（3）从坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M的坐标为（x，y），则M的对应点M′的坐标为M′（-2x，-2y）．
【点睛】本题考查了作图-位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，学会探究规律，利用规律解决问题．
23. 已知如图，AD是ABC的中线，且，E为AD上一点，．
（1）求证：；
（2）若，，试求线段AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质，由CD=CE得到∠CED=∠EDC，则可根据等角的补角相等得到∠AEC=∠ADB，加上∠DAC=∠B，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ACE∽△BAD．
（2）由∠DAC=∠B及公共角相等证明△ACD∽△BCA，利用相似比求AC，再由（1）的结论△ACE∽△BAD，利用相似比求AD．
【详解】（1）证明：∵CD=CE，
∴∠CED=∠EDC，
∵∠AEC+∠CED=180°，∠ADB+∠EDC=180°，
∴∠CEA=∠ADB，
∵∠DAC=∠B
∴△ACE∽△BAD．
（2）∵AD是三角形ABC的中线，
∴
∵∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
，即
∵△ACE∽△BAD，
，即
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用已知相等角，等腰三角形底角的外角相等，证明三角形相似．
24. 如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯AB和CD之间时，自己右边的影子NE的长为3m，左边的影子ME的长为1.5m，又知小亮的身高EF为1.80m，两盏路灯AC之间的距离为12m，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？
【答案】路灯高6.6米．
【解析】
【分析】首先根据已知条件求证出△FEN∽△BAN，△FEM∽△DCM，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯AB的高度．
【详解】解：设AM＝x米，则MC＝(12﹣x)米，再设路灯的高为h米，
∵AB⊥AC，EF⊥AC，DC⊥AC，
∴△FEN∽△BAN，△FEM∽△DCM，
∴＝，＝，
即＝，＝，
则＝，
解得：x＝6.5，
故＝，
解得：h＝6.6．
答：路灯高6.6米．
故答案为路灯高6.6米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质.
25. 如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC=3，AB=4，求CD的长．
【答案】（1）65°；（2）．
【解析】
【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可；
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．
【详解】解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，
∴∠ACD=70°．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，
∴∠DAE=90°-40°=50°．
又∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE= (180°−50°) =65°；
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=5．
又∵•AF•BC=•AC•AB，
∴AF=，
∴CF=．
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴CD=2CF=．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26. 如图，矩形内接于（矩形各顶点在三角形边上），，在上，，分别在，上，且于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，设，矩形的面积为，求出与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）由四边形是矩形，可得，即可证明；
（2）由可表示出的长度，再由矩形的面积，即可求出与之间的函数表达式．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，设，AN⊥HG
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形的面积，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示出的长度是解决本题的关键．
27. 已知：如图，等边中，点、分别在、边上，且，、相交于点，连接．
（1）如图1，当时，的度数为 ；
（2）如图2，当时，
①求的值；
②求证：．
【答案】（1）120°；（2）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据AD=CE以及△ABC为等边三角形即可求出∠BOC的度数；
（2）①过A作AF∥BC交BD延长线于F得△AFD∽△CBD，△AOF∽△EOB，从而AF=BC，AD=EC=BC，再由△ABC为等边三角形可证△ABD≌△CAE，即BD=AE，即可求出的值；
②由△ABD≌△CAE得∠ABO=∠CAO，即∠BOE=60°，取OB中点M，连接AM，可证△ABM≌△CAO，即可证明BO⊥OC．
【详解】（1）解：等边△ABC中，∵AD=CE，且AD=DC，
∴E为BC中点，
∴BD⊥AC，AE⊥BC，OC为∠ACB的角平分线，BD为∠ABC的角平分线，
∴∠OBE=30°，∠OCE=30°，
∴∠BOC=∠BOE+∠COE=60°+60°=120°，
故答案为：120°；
（2）①解：如图1，过A作AF∥BC交BD延长线于F，
∴△AFD∽△CBD，△AOF∽△EOB，
∴，，
∴AF=BC，AD=EC=BC，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠ACE=60°，
∵AD=CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴BD=AE，
设AE=BD=x，则FD=x，
∴；
②证明：如图2，由△ABD≌△CAE得∠ABO=∠CAO，
∴∠BOE=∠ABO+∠BAO=∠CAO+∠BAO=60°，
取OB中点M，连接AM，
由①得 =，，，
∴，
∵BD=AE，AO=AE，BM=OM=BD，
∴BM=OM=AO，
∴∠OAM=∠OMA=30°，
∵AB=AC，∠ABO=∠CAO，
∴BM=AO，
∴△ABM≌△CAO（ASA），
∴∠AMB=∠COA=180°-30°=150°，
∴∠COE=30°，
∴∠BOC=60°+30°=90°，
∴BO⊥OC．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决此题的关键是过A作AF∥BC构造相似三角形以及取OB中点M，连接AM，构造△ABM≌△CAO．
28. 矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，设运动时间为t（单位：s）．
（1）如图1，若动点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时，ΔAPC的面积S（cm2）随时间t（秒）变化的函数图象．
①点P的运动速度是 cm/s，m+n= ；
②若PC=2PB，求t的值；
（2）如图3，若点P，Q，R分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点Q到达点C（即点Q与点C重合）时，三个点随之停止运动；若点P运动速度与（1）中相同，且点P，Q，R的运动速度的比为2:4:3，是否存在t，使ΔPBQ与ΔQCR相似，若存在，求出所有的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①2，27；②t的值为或；（2）存在，t的值为或．
【解析】
【分析】（1）①由图2可知，点P从B到C运动时间为4s，故点P的运动速度为=2（cm/s）．再求出点P在AB的运动时间即可解决问题；
②证明∠PCB=30°，解直角三角形求出PB即可解决问题；
（2）分两种情形：①当时，△PBQ与△QCR相似，②当时，△PBQ与△QCR相似，分别构建方程求解即可．
【详解】解：（1）①观察图2可知，点P从B到C的运动时间为4s，故点P的运动速度为=2（cm/s）．
∴m==3，此时n=×6×8=24，
∴m+n=3+24=27．
故答案为：2，27；
②当点P在直线AB上，∵∠B=90°，PC=2PB，
∴∠PCB=30°，
∴PB=BC•tan30°=（cm），
∴PA=6-（cm），
∴t==3-．
当点P在线段BC时，t=（6+）=，
综上所述，t的值为或；
（2）∵点P的运动速度为2cm/s，且点P，Q，R的运动速度的比为2：4：3，
∴点Q的运动速度为4cm/s，点R的运动速度为3cm/s．
如图3中，由题意，PB=6-2t，BQ=4t，CQ=8-4t，CR=3t，
①当时，△PBQ与△QCR相似，
∴，
解得t=，
经检验，t=是分式方程的解，且符合题意．
②当时，△PBQ与△QCR相似，
∴，
解得t=或（舍弃），
经检验，t=是分式方程的解，且符合题意．
综上所述，满足条件的t的值为或．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．