2021-2022学年江苏省连云港市灌云县西片九年级上学期数学第一次月考试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省连云港市灌云县西片九年级上学期数学第一次月考试题及答案，共15页。试卷主要包含了 一元二次方程x2＝3x的根是等内容，欢迎下载使用。
1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. 3x-4=0B. x2-3x=0
C. x+3y=2D. =3
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2. 若关于的一元二次方程为的解是，则的值是（ ）
A. 2016B. 2020C. 2025D. 2026
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b=-1，然后把2021-a-b变形为2021-（a+b），再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把x=1代入方程ax2+bx+5=0得a+b+5=0，
所以a+b=-5，
所以2021-a-b=2021-（a+b）=2021+5=2026．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】一元二次方程的二次项系数不能为0，且当时，有两个实数根，计算即可得到参数取值范围．
【详解】解：∵是一元二次方程
∴
∴
又∵一元二次方程有两个实数根
∴
即：

∴满足题意的的取值范围是：且
故选：C
【点睛】本题考查一元二次方程判别式，以及一元二次方程的定义，根据知识点解题是关键．
4. 一元二次方程x2＝3x的根是（ ）
A. 3B. 3或﹣3C. 0或3D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵x2＝3x，
∴x2﹣3x＝0，
则x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5. 平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点在⊙O内B. 点在⊙O上C. 点在⊙O外D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题根据题意可作图可知，即可判定点与的位置关系.
【详解】解：由题意可作图，如下图所示：
∵，
∴点在内.
故A正确，B、C、D错误，
故选：A.
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟记d，r法则是解题的关键．
6. 如图，为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（ ）
A. 40°B. 60°C. 80°D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可求解
【详解】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴ 的度数是120°，
∵C、D是上的三等分点，
∴弧CD与弧BC的度数都是40度，
∴∠BOD=80°．
故选D．
【点睛】本题考查邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7. 如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD＝（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理推论：直径所对圆周角直角、同圆中等弧所对圆周角相等即可得到结论．
【详解】解：是的外接圆的直径，
点，，，在上，
，
，
是的外接圆的直径，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由圆周角定理得到，是解题的关键．
8. 在今年举办的东京奥运会上，杨倩在女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是22500个．若月25日和26日较前一天的增长率均为x，则满足的方程是（ ）
A. 5000（1+x）2＝22500
B. 5000（1﹣x） 2＝22500
C. 5000+5000（1+x）+5000（1+x） 2＝22500
D. 5000（1+x）+5000（1+x） 2＝22500
【答案】D
【解析】
【分析】设年平均增长率为，根据7月25日和7月26日的总销量是22500个可得方程．
【详解】解：设日平均增长率为，依题意有
5000（1+x）+5000（1+x） 2＝22500
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
二．填空题（共8小题）
9. 一元二次方程3x2﹣x+9＝0的一次项是_____．
【答案】-x
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：一元二次方程3x2﹣x+9＝0的一次项是-x．
故答案为：-x．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
10. 方程配成的形式为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据配方法的一般步骤计算：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】解：∵3x2−8x−3=0，
∴3x2−8x=3，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
11. 直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是_____．
【答案】5．
【解析】
【分析】根据勾股定理可得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，即可得出其外接圆的半径．
【详解】∵直角边长分别为6和8，
∴斜边==10，
∴这个直角三角形的外接圆的半径为10÷2=5．
故答案为：5
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是解题关键．
12. 如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为____．
【答案】24
【解析】
【分析】设三边长分别为：，根据勾股定理解方程即可求得各边长，继而求得周长．
【详解】设三边长分别为：
根据勾股定理可得：
解得：（不符合题意，舍去）
三角形的三边长分别为：
则周长为：
故答案为：24．
【点睛】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，设未知数解方程是解题的关键．
13. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是__．=
【答案】10
【解析】
【分析】连接OC，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接OC，
∵CD⊥AB，垂足为D，CD=4，OD=3，
AB=2OC=10
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC_____BD（填“＞”“＜”或“=”）
【答案】=
【解析】
【分析】根据弧AB=弧CD，即有弧AB+弧BC=弧BC+弧CD，即弧AC=弧BD，因此AC与BD相等．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴AC=BD，
故答案为：=．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化．
15. 若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝8，则S△ABC＝___________．
【答案】32+16或32﹣16
【解析】
【分析】作AD⊥BC于D，如图，利用等腰三角形的性质得BD＝CD＝4，则AD垂直平分BC，根据外心的定义得点O在AD上，再利用∠BOC＝60°得到△OBC为等边三角形，则OB＝BC＝8，OD＝4，讨论：当等腰△ABC为锐角三角形时，AD＝8＋4，当等腰△A′BC为钝角三角形时，A′D＝8−4，然后根据三角形面积公式分别计算两种情况下的三角形面积．
【详解】解：作AD⊥BC于D，如图，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝4，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在AD上，
∵∠BOC＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝8，
在△OBD中，OD＝＝4，
当等腰△ABC为锐角三角形时，AD＝8＋4，此时△ABC的面积＝×8×（8＋4）＝32＋16；
当等腰△A′BC为钝角三角形时，A′D＝8−4，此时△ABC的面积＝×8×（8−4）＝32−16．
综上所述，△ABC的面积为32＋16或32−16．
故答案为32＋16或32−16．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质和勾股定理，分类讨论是解题的关键．
16. 解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为______________．
【答案】x1＝﹣2，x2＝﹣1
【解析】
【分析】首先根据题意可以设y＝2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3＝0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x．
【详解】解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0，
设y＝2x+5，
方程可以变为 y2﹣4y+3＝0，
∴y1＝1，y2＝3，
当y＝1时，即2x+5＝1，解得x＝﹣2；
当y＝3时，即2x+5＝3，解得x＝﹣1，
所以原方程的解为：x1＝﹣2，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝﹣1．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程进行解题．
三．解答题（共10小题）
17. 解下列一元二次方程：
（1）x2+x＝0；
（2）x2﹣4x﹣7＝0．
【答案】（1），；（2），．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】解：（1），
，
或，
，；
（2），
，
，即，
，
，．
【点睛】本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键．
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）若，求此方程的解；
（2）若该方程无实数根，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）把代入方程得，然后求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】解：（1）把代入方程得，
∴，即，
解得：；
（2）∵该方程无实数根，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解题的关键．
19. 如图所示,AB为☉O的直径,CD是☉O的弦,AB,CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,∠AEC=20°.求∠AOC的度数.
【答案】∠AOC=60°.
【解析】
【分析】连接OD，如图，由AB＝2DE，AB＝2OD得到OD＝DE，根据等腰三角形的性质得∠DOE＝∠E＝20°，再利用三角形外角性质得到∠CDO＝40°，加上∠C＝∠ODC＝40°，然后再利用三角形外角性质即可计算出∠AOC．
【详解】
解:连接OD.
∵AB=2DE,AB=2OD,∴OD=DE,
∴∠DOE=∠E=20°,∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°,
∵OC=OD,∴∠C=∠ODC=40°,
∴∠AOC=∠C+∠E=60°.
【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
20. 如图1，点表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．
【答案】水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．
【解析】
【分析】如图：过点作半径于，则，由垂径定理得，在利用勾股定理可求得，水深，即可求解．
【详解】如图：过点作半径于

在中，
水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为
【点睛】本题考查了垂径定理的，解题关键在于作辅助线利用勾股定理计算．
21. 如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M （填内、外、上）．
【答案】（1）（2，0）；（2）；（3）内
【解析】
【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出即可；
（3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．
【详解】解：（1）如图，圆心的坐标为；
（2），，
，
即的半径为；
（3），，
，
，
点在内．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系．
22. 已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD=DC．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】连结OC，根据平行线的性质得到∠1=∠B，∠2=∠3，而∠B=∠3，所以∠1=∠2，则根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．
【详解】连结OC，如图，
∵OD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
又∵OB=OC，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD=DC．
【点睛】考点: 圆心角、弧、弦的关系．
23. 先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣3，n＝3．
问题：
（1）若x2+2y2+2xy+4y+4＝0，求yx的值．
（2）已知△ABC的三边长分别为a，b，c（其中a，b，c均不相等），满足a2+b2＝6a+8b﹣25，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
【答案】（1）yx＝4；（2）4≤c＜7．
【解析】
【分析】（1）将原式配方得（x+y）2+（y+2）2=0，求出x，y的值，进而求解；
（2）将原式整理配方得（a-3）2+（b-4）2=0，从而求出a，b的值，再由三角形三边关系求解．
【详解】（1）∵x2+2y2+2xy+4y+4＝（x+y）2+（y+2）2＝0，
∴x+y＝0，y+2＝0，
∴x＝2，y＝﹣2，
∴yx＝（﹣2）2＝4．
（2）∵a2+b2＝6a+8b﹣25，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝3，b＝4，
∵c为三角形最长边，
∴b≤c＜a+b，
即4≤c＜7．
【点睛】本题主要考查配方法的应用，解决本题的关键是将等式配方，根据偶次方的非负性求解．
24. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．
（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；
（2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？
【答案】（1）15m；（2）不能围成，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设BC＝xm，则AB＝CD＝（40﹣x）m，x≤25，则（40﹣x）x＝150，解得：x＝10或30（舍去30），即可求解；
（2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，化简得：x2﹣40x+420＝0，△＝1600﹣4×420＜0，即可求解．
【详解】（1）设BC＝xm，则AB＝CD＝（40﹣x）m，x≤25，
则（40﹣x）x＝150，
解得：x＝10或30（舍去30），
故x＝10（m）；
∴AB＝15（m）．
答：当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2；
（2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，
化简得：x2﹣40x+420＝0，
△＝1600﹣4×420＜0，
故不能围成矩形花园面积为210m2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
25. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000．
（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台；当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台．若商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的售价应为多少元？
【答案】（1）10%；（2）每台售价为2750元
【解析】
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是3000（1-x）元，第二次后的价格是3000（1-x）2元，据此即可列方程求解；
（2）假设下调a个50元，销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数=5000元，即可列方程求解．
【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x，
由题意可得：，
∴
∴
解得：（舍），
答：每次降价的百分率是10%；
（2）假设下调a个50元，依题意得：5000=（2900-2500-50a）（8+4a）．
解得a=3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
26. 方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？
（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为 ；
（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解；
（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）
（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．
【答案】（1）0；（2）x1＝﹣1，x2＝2，x3＝3；（3）有无数个，理由见解析；（4）当m＝时，方程有无数个解；当m≥3时，方程有2个解；m＜时无解．
【解析】
【分析】（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”进行解答即可得；
（2）根据“几个数相乘，若有因数0，则乘积为0”进行解答即可得；
（3）分情况讨论：当x≤﹣1时，有﹣x﹣1+3﹣x＝4，解得x＝﹣1，当﹣1＜x≤3时，有x+1+3﹣x＝4，x为﹣1＜x≤3中任意一个数，当x＞3时，有x+1+x﹣3＝4，解得x＝3（舍）即可得；
（4）根据题意分两种情况：①m＜3时和②m≥3进行解答即可得．
【详解】解：（1）关于x的方程x2+1＝0的解的个数为0，
故答案为0；
（2）∵（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，x3＝3；
（3）有无数个，理由如下：
|x+1|+|x﹣3|＝4，
当x≤﹣1时，有﹣x﹣1+3﹣x＝4，解得x＝﹣1，
当﹣1＜x≤3时，有x+1+3﹣x＝4，x为﹣1＜x≤3中任意一个数，
当x＞3时，有x+1+x﹣3＝4，解得x＝3（舍），
综上，方程的解为：﹣1≤x≤3中任意一个数；
（4）根据题意分两种情况：
①m＜3时，如图①数轴，
当m≤x≤3时，|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1，即3﹣m＝2m+1，
解得m＝，
即≤x≤3，x有无数个解；
②m≥3，如图②数轴，
∵3≤x≤m时，|x﹣m|+|x﹣3|＝m﹣3＝2m+1，解得m＝﹣4（与m≥3矛盾，故舍去），
∴x在3的左侧或m的右侧，
当x1在3左侧时，|x1﹣m|+|x1﹣3|＝m﹣x1+3﹣x1＝2m+1，解得，
当x2在m右侧时，|x2﹣m|+|x2﹣3|＝x2﹣m+x2﹣3＝2m+1，解得，
综上所述：方程的解的个数与对应的m的取值情况为：
当m＝时，方程有无数个解；
当m≥3时，方程有2个解；m＜时无解．
【点睛】本题考查了一元二次方程解，数轴，绝对值，解题的关键是综合掌握以上知识．